2023年高考数学一模试题（江苏）10 计数原理概率随机变量及其分布（解析版）

专题io计数原理、柢率、随机变量及其分布

一、单选题

1.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）二项式的展开式中常数项为（）

A.80B.-80C.-40D.40

【答案】B

15-5A

Λ

【解析】二项的展开式的通项为TM=C=(-2)C*X-

15一5”

令=0,则左=3,

所以常数项为（-2）3C；=-80.

故选：B.

2.（2023•江苏盐城•统考三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A,B,C三门德

育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一

位同学参加，则不同的报名方法有（）

A.54种B.240种C.150种D.60种

【答案】C

【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A,B,C三门德育校本课程,

每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，

①三组人数为1、1、3,此时有隼G∙Aj=60种；

L此时有等次=9。种.

②三组人数为2、2、

所以共有60+90=150种.

故选：C

3.（2023•江苏连云港•模拟预测）某航母编队将进行一次编队配置科学演练，要求2艘攻击型核潜艇一前一

后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左右，每侧2艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为

（）

A.16B.32C.36D.64

【答案】B

【解析】2艘攻击型核潜艇放在中间，共有2种顺序,

这2艘攻击型核潜艇前方是1艘护卫舰和1艘驱逐舰，剩余的1艘护卫舰和1艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后

方，

由分步乘法计数原理可知，不同的配方案的方法数为2x232x2=32.

故选：B.

4.(2022•江苏常州•统考模拟预测)已知随机变量J服从正态分布若函数f(x)=P(x≤J≤x+2)

是偶函数，则实数〃=()

A.0B.ɪC.ɪD.2

【答案】C

【解析】因为函数f(x)=P(x≤J≤x+2)是偶函数，

所以/(-X)=/(x),即P(T<ξ<-x+2)=P(x<ξ≤x+2),

故选：C

5.(2023・江苏•统考一模)若随机变量X~B(3,p),y~N(2,"),若P(X≥1)=0.657,P(0<V<2)=p,

则p(y>4)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】A

【解析】山题意，P(X≥1)=I-P(X=O)=1-(1-p)3=0.657,解得P=C).3,则P(0<V<2)=0.3,所以

p(y>4)=p(y<o)=o.5-p(o<y<2)=o.2.

故选：A.

6.(2023•江苏连云港•江苏省赣榆高级中学校考模拟预测)(∕r+l)(χ+l)6的展开式中V的系数为()

A.5B.6C.7D.15

【答案】A

6r

【解析】(x+l)6展开式通项为：C^x-;

令6—r=5,即r=l,!¾∣J∙v2C⅛x3=6x7；令6—r=6,B∣Jr=0,则-XC*=-『；

.•.J的系数为6-1=5.

故选：A.

7.(2023•江苏南通・沐阳如东中学校联考模拟预测)。->+2)5的展开式中，的系数为()

A.80B.40C.-80D.-40

【答案】D

【解析】（x-y+2）5=[x-（y-2）T的展开式中含/的项为C&3（y_2「

（尸2）2的展开式中含〉的项为。»（-2）,

所以（x-y+2）5的展开式中，Jy的系数为*•&•（-2）=-40,

故选：D

8.（2023♦江苏苏州•苏州市第六中学校校考三模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、

冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的

分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有

Cs×4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

9.（2023•江苏连云港・统考模拟预测）现要从A,B,C,D,E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁

4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）

A.56种B.64种C.72种D.96种

【答案】D

【解析】由题意可知：根据A是否入选进行分类：

若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有C；=3种，再给剩下三个岗位安排人有

A：=4X3X2=24种，共有3x24=72种方法；

若A不入选：则4个人4个岗位全排有A：=4、3、2、1=24种方法，

所以共有72+24=96种不同的安排方法，

故选：D.

10.（2023•江苏苏州・苏州中学校考模拟预测）在A,8,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%

的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流

感的概率为（）

A.0.515B.0.05C.0.0495D.0.0485

【答案】D

【解析】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，

578

故这个人患流感的概率为P=6%X——+5%×——+4%×——=0.0485,

5+7+85+7+85+7+8

故选：D

二、多选题

11.(2023•江苏扬州・统考模拟预测)已知f(x)=(χ2+gj,则下列说法中正确的有()

A.f(x)的展开式中的常数项为84

B./(x)的展开式中不含提的项

C./(x)的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等

D./(x)的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项

【答案】AC

【解析】因为卜+gj展开式的通项公式J=G(X2广［』'=3心，所以

当r=6,1=C；=84,A正确;

当r=7时，I=C；犷3=与，B错误；

X

/(X)的展开式中各项系数和为2"，二项式系数之和为23C正确；

根据二项式系数的性质可知l,C；=C；最大,所以，〃x)的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，

D错误.

故选：AC.

12.(2023•江苏泰州•统考一模)一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋

中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,则()

A.P(A)=∣B.A8为互斥事件

C.P(8∣A)=gD.A8相互独立

【答案】AC

【解析】P(A)=AiE确;

A,8可同时发生，即“即第一次取红球，第：次取黄球”，AB不互斥，B错误;

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为1,C正确；

P(B)=gxg+gxO=g，P(A8)=gx：=:，2(AB)HP(A)P(B),..4,8不独立，

D错误；

故选；AC.

13.(2022∙江苏南京•统考模拟预测)下列命题中，正确的命题的序号为()

A.已知随机变量X服从二项分布8(",p),若E(X)=3O,D(X)=2O,贝∣Jp=(

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C.设随机变量J服从正态分布N(0,1),若PC>1)=。，则P(-l<J≤O)=g-p

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X〜8(10,0.8),则当X=8时概率最大

【答案】BCD

[E(X)=np=301

【解析】对于A,,",解得P=：，A错误；

[D(X)=np(l-p)=203

对FB,方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值

的偏移不变，方差恒不变，B正确；

为HFC,J服从正态分布N(0,l),P(-l<⅞≤O)=P(O<⅞<l)=l-P(⅞>l)=l-p,C正确；

对于D,X~B(10,0.8),则P(X=A)=CO.8"X()2。"，

Cζ0.8*×O.2'o^t≥CV'0.8A^I×0.2"-t

111‹11解得M≤k≤W,所以左=8.D正确.

lotlt+19A

[C1*)0,8*×O.2^>Cl^0.8×0.2^

故选：BCD.

14.(2023•江苏镇江•扬中市第二高级中学校考模拟预测)若(1-2X产2=%+叩+々/+...+嗫/2°22,则下

列结果正确的是()

∣+3≡2

A.%+4+&+…+O2(l21~ɪB.%+的+%+…+42022=ɔ

C.?+工+•••+黑=0D.at+2a2+3a3+...+2022⅛2=4044

【答案】ABD

【解析】令X=I可得4+4+«2+…+%022=(-1)-",=1,①，故A正确；

2022

令X=-I可得：a0-a1÷a2-a3+...+a2022=3,②

1.o2022

=+,

①+②可得：2(¾+6t2+¾+...+¾)22)ɪɜɪ故%+〃2+。4+…+。2022=，故BlE确；

令X=Ouj得：⅝=I2022=1,③

令X=T可得：+黑=0,④

把③代入④即可得出：自+墨+…+黑=T,故C错误；

两边对X求导得一4044(l-2x)202∣=4+24^+36/+…+2O22∕o"χ2⑼.

令X=I可得q+2色+3%+…+2022i⅛a=4044,故D正确.

故选：ABD

15.(2023•江苏常州・华罗庚中学校联考三模)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3

个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A，&和A,表示由甲口袋

取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是红球的

事件，则下列结论中正确的是()

A.A,A2,4是两两互斥的事件B.事件A与事件B相互独立

32

C∙P(8∣4)=ττD.P(B)=M

【答案】AC

【解析】由题意得可知A,A2,4是两两互斥的事件，故A正确;

32I1

尸⑷=历，^2)=-=-,ΛA)=-

13

，尸(司4)=今翳=斗■=《，故C正确；

5

24

由尸(始)=山=事,

k1"P(A)311

10

P(B)=P(网)+P(%)+P(8AJ=∕Q3*Hq

P(8∣A)≠P(8)

事件A与事件B不独立，故B、D错误;

故选：AC

三、填空题

16.(2023•江苏南京•南京市江宁高级中学校考模拟预测)某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间

的先后顺序已确定，则不同的排法有种.

【答案】20

【解析】根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为“，b,

分2步进行分析：①，将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，②，排好后有4个空位，将。安排到空位中，

有4种情况，排好后有5个空位，将匕安排到空位中，有5种情况，则不同的排法有4x5=20种；

故答案为：20

17.(2023•江苏苏州•校联考模拟预测)已知χ5=%+%(l+χ)+%(l+χ)2+-+%(l+x)5,则q=.

【答案】5

【解析】因为V=%+4(l+x)+a2(l+x/+…+为(l+x)5，

5

令t=x+l,则x=r-l,则(f-l)'=%+α∣f+%产H----Fa5t,

其中(一1)5展开式的通项为0I=C"A(T)',令5-厂=1,解得r=4,

所以4=C)(-l)4=5r,所以4=5；

故答案为：5

18.(2023・江苏常州•统考模拟预测)设随机变量J的分布列如下：

自12345678910

P%。2〃3%R%%《0

且数列｛%｝满足PCSk)=kak｛k=1,2,3,,10),则Ee)=

【答案】5.5

【解析】令SLPe,,k)=%(k=l,2,3,…，10),

1

WJ¾÷l=SM-Sli=(k+1)¾+,-kak,即4+∣=%,(⅛=1,2,3,…，9),

乂4+^2+4++4o=i,所以q=%=…=4o=Jʒ,

所以Ee)=IX^-+2X'+3X-!→+10×ɪ

10101010

,、1(l+10)×101

=(1+2+3+.10)×-ɪʌ-------,——x—=5.5

'+7102IO

故答案为：5.5

19.(2023•江苏连云港•江苏省赣榆高级中学校考模拟预测)柯西分布(Ca"c%ydis疗沏是一个数学期望不

存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X~C(y,Λ0),其中当，=1,XO=O时的特例称为

标准柯西分布，其概率密度函数为/(x)=Mɪgj.已知X~C(l,0),P(∣X∣≤√5)=∣,P(1≤X≤6)=∖,

则P(X≤-1)=.

【答案】：##0.25

4

【解析】由已知，概率密度函数图象关于X=O对称，

p(∣X∣≤√3)=∣,.∙.p(θ≤x≤√3)=∣

又∙P(1≤X≤√3)=^,

.∙.P(O≤X≤1)=-,P(-1≤X≤O)=;,

.∙.P(X≤T)=g-P(7≤X≤0)=gL

故答案为：—.

4

20.(2023•江苏扬州•模拟预测)甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5

名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你

当然不会是最差的"，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有种不同的情况.(用数字作答)

【答案】54

【解析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3种情况，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，

其他三名同学排在三位置全排列有A；种，

由分步乘法计数原理可知共有3x3xA；=54种，

故答案为：54.

四、解答题

21.(2023∙江苏连云港•统考模拟预测)为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，

学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，

进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项

目A中甲班每一局获胜的概率为g,在项目B中甲班每一局获胜的概率为且每一局之间没有影响.

(1)求甲班在项目A中获胜的概率;

(2)设甲班获胜的项目个数为X,求X的分布列及数学期望.

【解析】(1)记“甲班在项目A中获胜”为事件A,

则P(A)g∣x沁X图WX沁djXl噜

所以甲班在项目A中获胜的概率为暮

O1

(2)记“甲班在项目8中获胜”为事件8,

35

则P(B)+C；X

X的可能取值为0，1，2,

117

则P(X=O)=P(通)=P⑸P⑻=_I_X__=____

812^162,

P(X=2)=P(AB)=WA)P⑻=箫奇

o1Zo1

P(X=1)=1—P(X=O)-P(X=2)=；.

所以X的分布列为

X012

1732

Pɪ

1622丽

L/SC17I1C32209

E(X)=OX------1-1×—F2X—=-------.

v7162281162

所以甲班获胜的项目个数的数学期望为2普09

IoZ

22.(2023•江苏南通•校联考模拟预测)2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得

亚军，追平历史最佳成绩统计数据显示，中国队主力队员A能够胜任小前锋(SF)大前锋(PF)和得分后

卫(SG)三个位置，且出任三个位置的概率分别为；,罟，同时，当队员A出任这三个位置时，球队赢

482

球的概率分别为(队员A参加所有比赛均分出胜负)

(1)当队员A参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率;

(2)在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积T分.本轮比赛球队一共进行5场比

赛，且至少获胜3场才可晋级第二轮，已知队员A每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮

比赛最终积分为X,求X的数学期望.

141R1??

【解析】（1）解：根据题意，队员A参加比赛时，比赛获胜的概率为P=；x?+：x'+：x3=3.

4949233

（2）解：根据题意，可得A赢3场，负两场积分7；A赢4场负一场积分10；A赢5场，积分15分，所

以随机变量X的所有可能取值为7,11,15,记G表示第一轮比赛最终积分为£（，=7,",15）,。表示“A所

在的球队顺利晋级第二轮”，

可得陪展4|15苧P（GQ）=C5（啰,

竽，则P(Z))=竽,

P(G.H)=

ɔɔ

所以P(X=7)=P(G⑼卷，尸(X=Il)=P(CUg)=晦

P(X=I5)=pz(q⑼.∖=P3(C总HD)气1，

所以随机变量X的分布列如下表：

X71115

55ɪ

P

12126

期望为E（X）=7x』+llx』+15x，=10.

12126

23.（2023•江苏南通•校联考模拟预测）某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多

个选项符合题目要求.评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分.由于准备不

充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的（包括一个也不选）.

（1）已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；

（2）已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项.小明准备从以下两个方案中选择一种

进行答题.为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由.

方案一：每道题都随机选1个选项；

方案二：每道题都随机选2个选项.

【解析】（1）合计得14分的情形为一题全部选对，-题部分选对，P=C；.Jr生卢=上

242464

（2）若选方案一，小明得分X的所有可能取值为0,4,8,

小明对有2个正确选项那题部分选对的概率[=；,选错的概率不=；

31

小明对有3个正确选项那题部分选对的概率邛=[,选错的概率g

.∙.P（X=0）=1χ1=LP（X=4）=1χLL2=LP（χ=8]=-×-=~

‘7248'724242v7248

113

得分X的数学期望为：E(X)=0×→4×→8×^=5

o2o

若选方案二，小明得分X'的所有可能取值为0,4,10,14,

小明对有2个正确选项那题选错的概率为：全部选对的概率为,

6o

小明对有3个正确选项那题选错的概率为：ɪ,部分选对的概率为T

p(x∙=o)=9χLW,p(χ,=4)=9χLW

P(X=IO)=IxL=J-,p(χ>=i4)=LLJ-

`76212`76212

•••得分X'的期望为E(X')=0x[+4x]+10χ]+14x]=q,

1乙1乙1乙ɪ乙J

•；E(X)<E(X),

•••应选择方案一作答.

24.(2023•江苏苏州•苏州市第六中学校校考三模)2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们

津津乐道.高山滑雪(AIPineSkiing)是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，

沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目，冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目.其

中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目，现有

90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在

前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛,

加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛，现已知每位参赛运动员水平相当.

(1)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析.

【解析】(1)每位运动员进入胜者组的概率为P=黑=J，且

所以P(X=〃)=*)]|j",其中〃=0,1,2,3,4,5.

所以P(X=O)=(IJ=募P(X=…刖Ij喘,

P-?)=4J(Ij=篝尸(X=3)Y

p(χ=4)=cg)æ嗜,P(x=5)=(g)=击,

所以X的分布列为

X012345

32808040101

P

243243243243243243

其数学期望为E(X)=5xg=g.

(2)设从败者组选取的IO人中有k人复活.

因为每位败者组运动员复活的概率为P=W所以“。喝,

6

∖0-k

所以P(A)=Co

P(⅛)≥P(A-1),

当P(Z)最大时，应满足

P(⅛)≥P(⅛+1),

≥cτ

解得。≤A≤2,

GP-

OO

又因为％∈N*,所以左=1,即最有可能有1人能复活.

25.(2023•江苏南京•南京市宁海中学校考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被

淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期

间，如果备件不足再购买，则每个300元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并

整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零

件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,

n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一，应选用哪个更合理？

【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得,

一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,

X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,

从而P(X=I6)=02x0.2=0.04；

P(X=I7)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=I8)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24；

P(X=I9)=2x0.2x0.2+2x04x0.2=0.24；

P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2×0.2=0.2；

P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x0.2=0.04；

所以X的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)购买零件所需费用含两部分：

一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，

当”=19时，费用的期望为：

19x100+300x0.2+600x0.08+900x0.04=2044元，

当〃=20时，费用的期望为：

20χ100+300χ0.08+600χ0.04=2048元，

因为2044<2048,所以选〃=19更适合.

26.(2023・江苏•统考一模)某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选

拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良"、“中"三个成绩等第；

当参选同学在某个项目中获得“优''或"良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则

该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模

社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良"、"中''的概率分别为:，

O

且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.

(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；

(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望.

【解析】⑴该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，→-⅞+4=1'解得P=1，

则甲在每个项目中通过的概率都为』+与=I，设事件A为甲能进入到数学建模社团，

623

因甲在每个项目中通过的概率都为ɔ:，且在每个项目中的成绩均相互独立，则有P(A22)2=行X，

Q

所以甲能进入到数学建模社团的概率为输.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=O)=LP(X=I)=NxL2……2214779Q

一,P(X=2)=一×一×一=—,P(X=3)=-x-x-=-

33393332733327

则X的概率分布为：

XO123

48

pɪ2

Γ

392727

1ɔAQaQ

^≡XWW≡E(X)=0x→lx→2x-÷3x-=-.

27.(2023•江苏南京•校考模拟预测)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证

成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有IOOOO

名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分视为100分)作为样

本，整理得到如下频数分布表：

笔试成绩X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,l∞]

人数5153530105

(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至

少有1人笔试成绩为优秀的概率；

(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布,其中〃近似为100名样本

考生笔试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)，=180,据此估计该市全体考生中

笔试成绩不低于82.4的人数(结果四舍五入精确到个位)；

(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题

答对得3分，答错得。分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分.已知考生甲答对前两题的

概率都是:，答对最后一题的概率为4，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分V的分布列及数

学期望.(参考数据：√180≈13.4i若X~TV(",52),则P(M-S<X<M+S)念0.6827,

P(〃-%<X<4+加卜0.9545,P(M-3S<X<+35卜().9973.)

【解析】(1)由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人.

故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为P=G=9.

C∣57

(2)由表格中的数据可知,μ=0.05×45÷0.15×55+().35×65+().3×75+0.1()×85+0.05×95=69,

又4二180,即CrBI3.4,

.∙.P(X≥82.4)=P(X≥∕∕+^)=i[l-P(∕∕-σ<X<∕z+σ)]≈0.15865,

由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.

(3)考生甲的总得分丫的所有可能取值为0,3,4,6,7,10,

1

则呼=0)伞"哈叩=3)=叱"M4)=出XlV

6-

"=6)=(%9!P(y=7)=c名卜滑，=

故y的分布列为:

Y0346710

1ɪɪ11ɪ

P

n66T236

E(y)=0xL3x』+4x1+6xL7x1+10xLU.

126612363

28.(2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测)中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼

在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人

的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效

果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情,医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，

平均分成A,B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为

33

139

B组3人康复的概率分别为正,4-4-

(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件。表示B组中恰好有1人康复，求P(C/))；

(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪

种药性更好？

【解析】(1)依题意有，尸(C)=CX巨x(l=呈

315I,15J1125

9111c4=3

P(D)=一X—X-H-------X

10441024432

又事件C与。相互独立,

52313

则P(Cz))=P(C)P(D)=——X—=——，

1125323000

13

所以尸3）=耐

（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为X一则X

∏B

所以E(XJ=3X^=M

设A组的积分为X2,则X2=2x∣,

所以E(XJ=2E(XJ=等

设B组中服用乙种中药康复的人数为X,则X的可能取值为：0,123,

P(Y,=O)=LXLXJ=^-

L71044160

oλvlλ9111E1315

v17104410244160

93113363

P(X=2)=qX-----X-X------1-------X-X-=--------

IO441044160

93381

Pa=3)=一×-×-=---,

1044160

故X的分布列为

O123

1156381

P

160T60T60160

所以Ea)=OX-L+1X叵+2x至+3x生=出=IZ

'"1601601601601605

设8组的枳分为匕，则匕=2乂，

24

所以石化)=E(2X)=2E(K)=M

,ɪ,ʌ.2624

因为W'

所以甲种中药药性更好.

29.（2023∙江苏南京•统考模拟预测）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策某路桥公司

为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有

600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间［20,40）,

9：40-10：OO记作［40,60),10：00-10：20记作［60,80),10：20-10：40记作［80,100］,例如：10点04

（1）估计这600辆车在9：20-10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间

的中点值代表）;

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4

辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望:

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻7服从正态分布N（〃,〃），其中〃可用这

600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，4可用样本的方差近似代替（同

一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有IOOO辆车通过该收费点,估计在9：46~10：

40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

参考数据：若则尸(〃一σ∙<T<M+b)=0.6826,P(//-2σ<T<χ∕+2σ)=0.9544,

P(∕7-3σ<T<∕∕+3σ)=0.9974.

【解析】（1）解：这600辆乍在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

(30×0.∞5+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10：04

（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是

位于时间分组中在［20,60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）x20x10=4,所以X的可能的取值为0,

1,2,3,4.

所以P(X=O)=母=(,P(X=I)=等=春，P(X=2)=警=]P(X=3)=等

"=4）唔*

所以X的分布列为:

XO123