浙江省温州市实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023-2024学年浙江省温州实验中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多

选、错选，均不给分）

1.（3分）已知。的半径为5,点P在内，则0P的长可能是（）

A.7B.6C.5D.4

2.（3分）抛物线y=（x—6）2+3的顶点坐标为（）

A.(6,3)B.(-6,3)C.(6,-3)D.(-6,-3)

3.(3分)如图，在ZVIBC中，点O,E分别在A8,AC边上，DE//BC,若人。:。3=3:1,则A£：AC=

C.3：5D.2：3

4.（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试

验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）

A.15个B.20个C.30个D.35个

5.（3分）如图，点A、B、C、。在上，"=60°,AB=AC,则NABC等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.（3分）抛物线y=+6x+l与x轴的交点个数为（）

A.OB.lC.2D.3

7.（3分）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△石07"则NA6C+NACB的度数为（）

A.135°B.90°C.60°D.45°

8.（3分）利用圆的等分，在半径为2月的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为（）

C.12D.12A/3

9.（3分）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所

在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,

。四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25cm,AB=2.5cm,CD=6cm.请你帮忙计算纸杯的直径为

（）

13

A.6cmB.—cmC.7cmD.—cm

22

10.（3分）已知抛物线y=%2—2相%（—IV租V2）经过点A（p,。和点+则/的最小值是（）

A.-3B.-lC.OD.1

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=2,b=3,c=6,则d的值是.

12.（4分）若正多边形的一个外角是45。，则该正多边形的边数是.

13.（4分）如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的3'处得△AB'C,若

ZA=35°,则NBC3'的度数为.

14.（4分）如图，A3是△A0C外接圆的直径，ZD=40°,则NC钻的度数为.

B

15.（4分）如图，抛物线y=；x（x—8）与x轴交于点。，E,矩形ABC。的边A8在线段0E上，点5（2,0）

在点A的左侧，点C,。在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且

直线GH平分矩形A3。的面积时，则抛物线平移的距离为.

16.（4分）如图，在正方形A3C。的右下角有一个正方形G/CJ,以点G为顶点向左构造正方形EFGH使点

GF

E,尸分别落在边A8,8/上，当A,H,J三点共线时，则——的值是

GI

三、解答题（本题有7小题，共66分.解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）

17.（8分）小明同学报名参加学校运动会，有以下4个项目可供选择：

径赛项目：100m,200m,400m（分别用人、4、&表示）；

田赛项目：立定跳远（用B表示）.

（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为；

（2）小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目

和一个径赛项目的概率.

18.（8分）如图，点E是矩形A8CD的边C8上的一点，A尸，DE于点E

（1）求证：△AFDSADCE.

（2）若AB=4,AD=2,CE=1,求AF的长度.

19.（8分）设二次函数y=0x2+6%+。（〃。0,匕是实数）.已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所

示：

x...0123...

y...60-20...

(1)求二次函数的表达式.

(2)若点是抛物线上一点，且0＜根＜3,则〃的取值范围是.

20.(8分)我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形.在如下9x9的方格中已给出格点三角形ABC和格

点O,请根据下列要求在方格中画图.

(1)在图1中，将△ABC绕点。顺时针旋转90。，画出旋转后得到的与G；

(2)在图2中，作与/XABC相似的格点△AOD.

图1图2

21.(8分)如图，A8是。。的直径.菱形AOCD交。。于点C,点E.

(1)连结AC,求证：CE=CB.

(2)连结BC,若AB=25,BC=15,求AE的长.

22.(12分)图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更

真实地模拟实战.图2是发球机从中线OB的端点0的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞

行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点其高度为0.4m.以。为原点，OB,。4所在直线分别为无轴，

y轴建立平面直角坐标系.

(1)求图2中抛物线的表达式.

(2)记图2中的落球点为点E,则OE的长为多少？

(3)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点再反

弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m.

若最后球也落在点E,则OD的长为多少？

图1

图2图3

23.（14分）如图，A3是。。的直径，点。在。外，8c平分NABQ交。。于点C,CDLBD于点、D,连

结。。交BC于点E

（1）求证：AABCsACBD.

（2）若A3=4,ZABD=60°,求8。的长.

DE

（3）当△BOE是直角三角形时，求——的值.

EO

2023-2024学年浙江省温州实验中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多

选、错选，均不给分）

1.【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断.

【解答】解：：。的半径为5,点P在（。内，

/.OP<5.

故选：D.

2.【分析】根据二次函数顶点式特点即可解答.

【解答】解：：抛物线y=（x—//丫+左的顶点坐标为（〃,女），

，抛物线y=(x—6y+3的顶点坐标为(6,3).

故选：A.

AJ7AF)3

3.【分析】根据平行线分线段成比例定理得到——=—=—,然后根据比例的性质求AC的值.

ECDB1

【解答】解：•••£>£〃BC,

•AE_AD_3.AE_3_3

"~EC~~DB~\''*AC-l+3-4

故选：B.

4.【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手,

设出未知数列出方程求解.

Y

【解答】解：设袋中有黄球X个，由题意得一=0.3,

解得％=15,则白球可能有50-15=35个.

故选：D.

5.【分析】首先利用圆内接四边形的对角互补求得NA的度数，然后求得等腰三角形的底角的度数即可.

【解答】解：•••"=60。，

ZA=180°-ZZ)=180°-60°=120°,

•：AB=AC,

180。—NA180。—120。

ZABC=ZACB==30°,

22

故选：B.

6.【分析】由抛物线和X轴有两个交点；当x=0时，y=——+法+1=1,则抛物线和y轴有一个交

点，即可求解.

【解答】解：由△="+4>0,

则抛物线和x轴有两个交点；

故选：C.

7.【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出.

【解答】解：VAB=A/12+22=A/5>AC=A/12+32A/10,BC=5,DE=y/2、EF=2,DF--$/10,

,ABACBCVlO

'~DE~~EF~~DF~~T

：.Z\ABCS/\DEF,

ZBAC=ZDEF=180°-45°=135°,

ZABC+ZACB=1800-ZBAC=45°.

故选：D.

8.【分析】根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形ABCDEP的面积，再根据正六边形的面积估算进行

计算即可.

【解答】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形A8CDEF的面积，

由对称性可知，ON=MN==OM=6

2

在&△ONF中,0N=6，ZNOF=3Q°,

：.NF=—ON^1,

3

：.AF=2NF=2,

=6xgx2xy/3=6A/3.

,,S阴影部分—S正六边形.COE尸二

9.【分析】由垂径定理求出BN,0M的长，设。暇二x,由勾股定理得到了2+32=(4.25—%了+1.252,求出

%的值，得到的长，由勾股定理求出0。长，即可求出纸杯的直径长.

【解答】解：如图，MNLAB,MN过圆心0,连接OD,0B,

MN=4.25cm,

CD//AB,纸条的宽为4.25cm,AB=2.5cm,CD=6cm,

:・MN1CD,

DM=|cD=1x6=3（cm）,BN=gAB=gx2.5=1.25（cm）,

设OM-xcm,

ON=MN-OM=（4.25-x）cm,

•：OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,

OM2+MD~=ON2+BN2,

/.X2+32=(4.25—x)?+1.252,

x=1.25,

OM=1.25(cm),

OD=y/OM2+MD2=A/1.252+32=3.25(cm),

13

・・・纸杯的直径为3.25x2=6.5=w(cm).

10.【分析】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+l=加，即可得到〃=加-1,由抛物线

y=x2—2mx(—1<m<2)经过点A(p,。和点5(〃+2")得到

t=p2—2mp=(m—l)2—2m(m-l)=-m2+1,结合—12即可确定，的最小值.

【解答】解：・・・抛物线)二――2如，

—2m

：.抛物线的对称轴为直线%=------=m,

2x1

抛物线y=x2—2mx(—1<m<2)经过点A(p,Z)和点5(p+2"),

・••点A(p,和点5(p+21)关于对称轴对称，t=p2-2mp,

〃+〃+21

-----------=m,nBnPp+l=m,

p=m-l,

Z=(m—l)2—2m(m—l)=—m+l,

V-l<m<2,

.•・力=2时，力有最小值为：・4+l=-3.

故选：A.

二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)

H.9.

【分析】先根据比例线段的定义得到2:3=6:d,然后利用比例的性质可求出d的值.

【解答】解：：线段a,b,c,d是成比例线段，

a:b=c:d,

即2:3=6",

解得d=9.

故答案为:9.

12.8.

【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360。-45。可求得边

数.

【解答】解：.•,多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45。，

，360°+45°=8

即该正多边形的边数是8.

13.70°.

【分析】根据旋转的性质可得CB=CB',即物'是等腰三角形，由NA=35。，NACB=90°可得

ZB=550=ZCB'B,即可求得NBCB'=70°.

【解答】解：根据旋转的性质可得CB=CB',

：.ZB=ZCB'B,

VZA=35°,ZACB=90°,

：.ZB=ZCB'B=55°，,ZBCB'=70°,

故答案为：70°.

14.【分析】根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：连接OC,

40。，；.NAOC=2ND=80。，

1/AO^CO,

：.ZCAB=ZACO=|x(180o-80°)=50°,

故答案为：50°.

15.【分析】连接AC,BO交于点尸，连接OC,取OC的中点Q,连接P。，根据直线G”平分矩形A8CO的

面积，得到直线G8过点P,由平移的性质可知，四边形OC8G是平行四边形，根据平行四边形的性质得到

PQ=CH,根据矩形的性质得到点尸是AC的中点，求得PQ=goA,于是得到结论.

【解答】解：如图，连接AC,8。相交于点P,连接OC,取。C的中点Q,连接P。,

V3(2,0),抛物线的对称轴为直线尤=;一=4,

.••4(6,0),

,当x=2时，y=_8)=—x2x^2—8)=—3,

C(2,-3),

:直线G8平分矩形ABCD的面积，

直线G4过点P,

由平移的性质可知，四边形0cHG是平行四边形，

/.PQ=CH,

:四边形ABC。是矩形，

点尸是AC的中点，

/.P(4,-1.5),

PQ=-OA,

2

VOA=6,CH=PQ=-OA=3,

2

•••抛物线向右平移的距离是3个单位.

故答案为：3.

16.【分析】作MHJG的延长线于点〃，作HNLAB于点N,设正方形GICJ的边长为x,FI=y,证

△MGH乌ANEH乌八BFE学八IGF,得MG=NE=GI=BF=x,HM=BE=NH=FI=y,由

S梯形枷J=5S.F+S正方形EFGH+S正方形G©及梯形的面积公式列出关于x、y的等式，整理后得出x与y的关

键，进而得出FG与x的关键，据此解答.

【解答】解：如图，作AffiJG的延长线于点作HNLAB于点N,

设正方形G/CJ的边长为x,FI=y,

,四边形ABC。、EFGH,G/CJ是正方形，

ZB=ZEFG=ZFIG=90°,EF=FG,AB=BC,

：.ZBFE=ZIGF（同角的余角相等），

ABFE经AIGF,

同理可证，/\MGHm/\NEH必/\BFE乌AIGF,

:.MG=NE=GI=BF=x,HM=BE=NH=FI=y,

AB=BC=2x+y,

AN=2x+y-x-y=x,

,S梯形至口=S4NAH+S&NEH+S^BFE+,^AZGF+^^MGH'

又,/S.f,cl=—GJxHM=—xy=S.ICF

S梯形ABC/=5S&IGF+S正方形EFGH+S正方形G/CJ

整理得，丁2=2炉,

/.FG2=3九2,

FG->j3x,

故答案为：6.

三、解答题（本题有7小题，共66分.解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）

17.【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概

率公式计算即可.

3

【解答】解：(1)小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率P=—；

4

3

故答案为：一；

4

(2)画树状图为：

ZT\AAA

A2A3BA1A3BA1A2BA2A3

共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为6,

61

所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率是一=一.

122

18.【分析】(1)根据四边形A8CD是矩形可得出NADC=NC=90。，再根据相似三角形的判定定理可得出

△ADFS/^DCE,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

(2)由矩形的性质可得出DC的长及NADC=NC=90。，利用勾股定理可求出。E的长，由垂直的定义可

得出NAEE>=NC,利用同角的余角相等可得出N£DC=NZME,进而可得出/，再利用

相似三角形的性质可求出DF的长度.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

ZADC=NC=90°,ZADF+Z.CDE=90°,

•：AF±DE,

：.ZAFDZDAF+ZFDA=9G°,

：.ZFAD=ZCDE,

又,；NC=/AFD=90。，；.aATDsaDCE；

(2)解：：四边形ABC。是矩形，

A£>C=AB=4,ZADC=ZC=90°.

VCE=1,：.DE=Vr)C2+CE2=V42+l2=V17.

AFA.DE,/.ZAED=90°=ZC,ZADF+ZDAF=90°.

又,/ZADF+ZEDC=90°,ZEDC=ZDAF,

：.△EDC^/\DAF,

.AF_AD.AF2

"ncVn'

：.AF0

17

8V17

即AR的长度为

17

18.（2）0<n<6

【分析】（1）把x=0,y=6；x=l,y=0；x=2,丁=一2代入二次函数>=。1?+6%+。，得到关于。，

b,c的三元一次方程组，解方程组，求出a,b,c的值即可；

（2）把点/的坐标代入二次函数的解析式，把“用机表示出来，根据根的取值范围，求出”的取值范围即

可.

【解答】解：（1）把尤=0,y=6；尤=1,y=0；x=2,y=-2代入二次函数y=。必+法+。得：

c=6=2

<〃+/?+c=0,解得：<b=—8,

4a+2/?+。=-2c=6

・••二次函数的表达式为：y=2x2-8x+6；

（2）把点M（w）代入y=2/一8%+6得：

2m2-8m+6=n,

当根=3时，〃=2x3?—8x3+6=。，

当zn=0时，〃=2X。2-8、0+6=6,

・•・当0<加<3时，〃的取值范围为：0v〃v6,

故答案为：0<〃<6.

20.【分析】（1）根据旋转的性质作图即可.

（2）根据相似三角形的性质，将各边缩小、历倍，使且相似比为&：I.

【解答】解：（1）如图1,△A4G即为所求.

（2）如图2,△49。即为所求.

:_汕_.

,~\i)

图1图2

21.【分析】（1）连接AC,如图，先根据菱形的性质得到AC平分NQ4。，即NE4c=4AC,然后根据圆

周角定理得到CE=5C；

（2）连接BE,如图，先根据圆周角定理得到NA£B=90°,再根据垂径定理得到OC,BE,EF=BF,

所以OE=gAE,接着利用勾股定理得到[T]-OF2=152-^y-OF^|,然后解方程求出OR从而得

到AE的长.

【解答】（1）证明：连接AC,如图，

四边形OADC为菱形，，AC平分ZOAD,

即ZEAC=ZBAC,

CE-BC；

(2)解:连接8E,如图，

是。的直径，NAEB=90。，

,:CE=BC,：.OC±BE,：.EF=BF,

/为△ABE的中位线，

：.OF=-AE,

2

在RtZXOBF中,BF2=OB2-OF2=^^-OF2,

在小△CBP中，BF2=BC2-CF~=152-\—-OF

22.【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）令y=—0.1（x—iy+0.4=0,即可求解;

,b2“(0.3+0.1加)2.

(3)由c----=-0.3w------------；—=0.2，即可求解.

4a4x(-0.1)

【解答】解：（1）建立如图2、3所示的直角坐标系,

图2图3

则点A、M的坐标分别为（0,0.3）、（1,0.4）,

设抛物线的表达式为：y=a（x—iy+0.4,

将点A的坐标代入上式得：0.3=a（0—1）2+0.4,

解得：a=-0.1,

则抛物线的表达式为：y=-0.1（x-l）2+0.4；

（2）令y=—0.1（无一iy+0.4=0,

解得：X=-1（舍去）或3（m）,

即。6=3根；

（3）设点。（租,0）,