重难点专题23 解三角形压轴小题十一大题型汇总（原卷版）

重难点专题23解三角形压轴小题十一大题型汇总题型1正余弦定理 1题型2取值范围问题 2◆类型1转化角度法 3◆类型2正弦定理法 3◆类型3正弦定理+辅助角 4◆类型4转化正切法 5◆类型5余弦定理法 6◆类型6建系法 7◆类型7转化函数 8◆类型8二次型取值范围 9◆类型9基本不等式 9题型3中线问题 10题型4角平分线问题 11题型5高线问题 11题型6四边形问题 12题型7多三角形问题 13题型8与向量结合问题 14题型9实际问题 16题型10正余弦定理与立体几何 18题型11正余弦定理与解析几何 21题型1正余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，根据已知条件和所求未知量的不同，选择合适的方法可以更加高效地解决问题，通过运用这两个定理，可以帮助我们求解各种未知边长和角度，在解题过程中，我们还可以利用三角形内角和为180度来辅助求解.【例题1】（多选）（2023·山西阳泉·统考三模）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA=A．A+B=π2 B．2A【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，P为△ABC内一点，若【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若【变式1-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+12，A．aba+bC．6≤abc≤12 D【变式1-1】4.（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知△ABC的面积S满足b+c2=【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）在Rt△ABC中，斜边为AB，点D在边BC上，若tan∠BAD=24题型2取值范围问题解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.◆类型1转化角度法【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A，B，C满足cos2A-cos【变式2-1】1.（2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）在△ABC中，若sinA=2cosB【变式2-1】2.（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+bcA．0,2 B．1,3 C．0,2 D【变式2-1】3.（多选）（2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）用长为3的铁丝围成△ABC，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为A．存在△ABC满足a,bB．存在△ABC满足aC．△ABC的内部可以放入的最大圆的半径为D．可以完全覆盖△ABC的最小圆的半径为◆类型2正弦定理法【例题2-2】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）△ABC中，sinπ2-BA．-1，12 B．13，【变式2-2】1.（2022秋·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）在锐角ΔABC中，A=2B，则ABACA．-1,3 B．C．(2,3【变式2-2】2.（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB-bcosA．33,2C．2-3,2【变式2-2】3.（2023·河南·校联考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bA．43 B．62 C．83【变式2-2】4.（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,A．23,1 BC．1,+∞ D．◆类型3正弦定理+辅助角【例题2-3】（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△A．4,6 B．4,2C．6,25+2 D【变式2-3】1.（2022秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）在△ABC中，BC=3AC，∠BAC=π3，点D与点B分别在直线AC的两侧，且A．3 B．33 C．3 D．【变式2-3】2.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，若3sinA(cosAaA．23,4 B．2,23 C．0,4【变式2-3】3.（2022秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考期中）设△ABC的面积为S，∠BAC=θ，已知AB⋅AC=4【变式2-3】4.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA=cosA◆类型4转化正切法对含有正切函数求最值取值范围，一般从一下方面分析：切化弦，在三角形中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC【例题2-4】（2023·全国·高三专题练习）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=aA．95,7337 B．281181,【变式2-4】1.（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）在△ABC中，已知sinA=cosB=tanC，边a,【变式2-4】2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c,AA．4 B．6 C．8 D．9【变式2-4】3.（2023·全国·高三专题练习）1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知△ABC中，其中∠A=60°，BC=2，P为费马点，则【变式2-4】4.（2022秋·江苏南通·高三统考期末）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC=3◆类型5余弦定理法【例题2-5】（2023·四川成都·校联考二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanAsinAtanBtanC-1【变式2-5】1.（2023·全国·高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知△ABC内接于半径为6的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A',B',C'.【变式2-5】2.（2022秋·重庆·高三统考期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA-sinA．2 B．223 C．3 D【变式2-5】3.（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，点D在BC边上，∠BAC=60°，AD=2，CD=2BD，当【变式2-5】4.（2022·北京·高三校考强基计划）若△ABC三边长为等差数列，则cosA+cos◆类型6建系法1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点2.利用正余弦平方形式可以建系设点3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等.可以适当的建系设点【例题2-6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是（

A．Sa2B．当a=2，sinB=2C．当a=2，sinB=2sinC，D．当a=2，sinB=2sinC，A=2C时，若【变式2-6】1.（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，BD=2【变式2-6】2.（2022秋·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且c=2【变式2-6】3.（2023·河南安阳·统考三模）已知△ABC的面积为13(λ+1)2(λ为常数且λ>0),【变式2-6】4.（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知△ABC是面积为33的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边上，且可在△ABC内任意旋转，则A．-92 B．32 C．6【变式2-6】5.（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在△ABC中，AB=3,sinB=m⋅◆类型7转化函数【例题2-7】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知△ABC的三边长分别为a,b,c，若tanA【变式2-7】1.（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知在△ABC中，sin2B+2sin2C=4sin2AA．106,+∞ B．103,+∞【变式2-7】2.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC中，A=π3，D是BC边上一点，且满足BD=2DC，则AD【变式2-7】3.（2022春·全国·高三专题练习）已知A-1,0，B3,0，P是圆O:xA．33 B．53 C．34【变式2-7】4.（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，且bcosA-2cos【变式2-7】5.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C对应的边，记△ABC的面积为S，且bsinB+2◆类型8二次型取值范围【例题2-8】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinAA．19 B．16 C．23【变式2-8】1.（2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB=a【变式2-8】2.（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）在△ABC中，BC=2,AB=2AC，D为BC【变式2-8】3.（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考期中）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b【变式2-8】4.（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知△ABC中，|AB|2+2AB⋅【变式2-8】5.（2022春·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考开学考试）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sinA，sinB，sinC成等差数列，则角B的取值范围是；◆类型9基本不等式【例题2-9】（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若4S=a2-b-【变式2-9】1.（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知D是△ABC的边BC上一点，且BC=3BD，AD=2，tan∠BAC【变式2-9】2.（2022·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=π3，点D在线段AC上，且AD=2DC，【变式2-9】3.（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且满足c=4,题型3中线问题1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理2.中线可延伸补形得平行四边形【例题3】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，∠BAC=120°，AO为BC边上的中线且AO=2，则AB【变式3-1】1.（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，且a､b､c为正数，【变式3-1】2.（2022秋·江西南昌·高三校联考期中）锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为△ABC的重心，若AG⊥BG，则【变式3-1】3.（2022·河南·灵宝市第一高级中学校联考模拟预测）在△ABC中，AB=BC，点D是边AB的中点，△ABC的面积为2，则线段A．0,322 B．322,+∞【变式3-1】4.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，AB=2，D,E分别是边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，若OC=A．3 B．33 C．63 D【变式3-1】5.（2023·广西·统考模拟预测）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB=bcosA，M是BC的中点，若AM题型4角平分线问题1.角平分线，可以借助面积"和"构造等量关系2.角平分线也是两边的“对称轴”3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用【例题4】（2023·全国·高三专题练习）在非直角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA+bsinB-csinCA．387 B．37 C．1【变式4-1】1.（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则A．7 B．22 C．2+22 D【变式4-1】2.（2021秋·河南濮阳·高三濮阳市华龙区高级中学校考开学考试）在ΔABC中，∠A=2∠B，AB=73，BC=4，CD平分∠ACB交题型5高线问题1.一般给高，基本就与求面积联系起来2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值【例题5】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，ac=6，点D在边AC上，且BD⊥AC．过点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，设BM=m，BN【变式5-1】1.（2023·全国·高三专题练习）在Rt△ABC中，斜边为AB，点D在边BC上，若tan∠BAD=24【变式5-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则cosA的取值范围是A．(12,1) B．(12,6【变式5-1】3.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，E为线段AC上一点（不与A，C重合），D为BE延长线上一点，AD=2，CD=1题型6四边形问题1.四边形可以“劈成”俩三角形.2.四边形可以“补成”三角形【例题6】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB=2,DA⋅DC=6,∠【变式6-1】1.（2023·全国·高三专题练习）如图，一块三角形铁片ABC，已知AB=4，AC=43，∠BAC=5π6，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D，AD=1，∠BAD=π6.如果过点D作一条直线分别交AB，ACA．33 B．23 C．6 D【变式6-1】2.（2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若c=23，b=2，C=π3，AD是BC边上的高线，点D为垂足．点E为线段BD上一点，点B【变式6-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知等腰梯形ABCD是半径为2的圆的内接四边形，且AB∥CD，∠ABC∈0,π3【变式6-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，菱形ABCD的边BC上有一点E，边DC上有一点F（E，F不与顶点重合）且BE>DF，若△AEF是边长为3的等边三角形，则BA⋅题型7多三角形问题【例题7】（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB+π+bcos5π6-A=0，a=15，若点MA．3037 B．30314 C．【变式7-1】1.（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）在△ABC中，已知AD=2DC，AC=3BC，sin∠BDCA．34 B．52 C．38【变式7-1】2.（2023·全国·高三专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=λAB+μAC，若【变式7-1】3.（2020·北京·高三强基计划）已知∠A=18°,∠B=87°，点D在BC的延长线上，且DC=BC，点E在AC【变式7-1】4.（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=π3，点D在线段AC上，且AD=2题型8与向量结合问题1.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2.向量具有数形二重性，一方面具有“形”的特点，借助于几何图形进行研究，利用数形结合增强解题的直观性；另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的求解或证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，可以使复杂问题简单化，几何问题代数化【例题8】（2023·全国·高三专题练习）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于23π时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角23π；当三角形有一内角大于或等于23π时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在△ABC中，已知C=23π，AC=1,BC=2，且点MA．﹣1 B．-45 C．-3【变式8-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知点G为三角形ABC的重心，且GA+GB=GA-GB，当A．45 B．35 C．25【变式8-1】2.（多选）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D为AC中点，E在BD上，且BE=12ED，A．AE=3 B．C．△ACF的面积为37 D【变式8-1】3.（多选）（2023·全国·高三专题练习）对于任意△ABC，AE=2EC，BD=34DC，两直线AD，BE相交于点O，延长COA．COB．xOA+C．当∠BAC=π3，ABD．S【变式8-1】4.（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为aA．cosAcosB．若D是AC边上的一点，且CD=2DA，BD=4，则C．若△ABC是锐角三角形，则caD．若BD平分∠ABC交AC点D，且BD=1，则4题型9实际问题【例题9】（多选）（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面ABC垂直．在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（

）

A．∠MCA，∠NCB，∠ABC B．∠ACB，∠NCB，∠MCNC．∠MCA，∠NCB，∠MCN D．∠MCA，∠NCB，∠ACB【变式9-1】1.（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=8海里，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°

【变式9-1】2.（多选）（2022秋·福建福州·高三校联考期中）某社区规划在小区内修建一个如图所示的四边形休闲区.已知AB=BC=2CD=20米，AD=30米，且修建该休闲区的费用是A．若四边形ABCD的四个顶点共圆，则BD=10B．若四边形ABCD的四个顶点共圆，则修建该休闲区的总费用为4万元C．若A+C=D．若要修建完成该休闲区，则该社区需要准备的修建费用最多为43【变式9-1】3.（2022秋·广东汕头·高三统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径AB=20cm，需要剪去四边形CEC已知点C在圆上且AC=10cm，∠ECD=30°．则镂空四边形CEC1【变式9-1】4.（2020·全国·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小，若AB=15cm,AC=25cm,∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（A．305 B．3010 C．43题型10正余弦定理与立体几何【例题10】（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD中，AD=2，BD=3，∠BCD=120°，直线AD与BC所成的角为60°，且二面角AA．32π3 B．16π3 C．【变式1-10】1.（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形ABCD中，AB=1,BC=3,AC⊥CD,CD=3AC，当∠ABC变化时，令对角线BD取到最大值，如图2，此时将A．0,1010 BC．0,324+【变式10-1】2.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=1，AC=3，PB=33，∠ABP=90°，点A．322 B．5216 C．【变式10-1】3.（多选）（2023春·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）图1中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形.德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”.将其推广到空间，如图2类似地以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体便称为“勒洛四面体”.则下列结论正确的是（

）

A．若正三角形的边长为2，则勒洛三角形面积为2B．若正三角形的边长为R，勒洛三角形的面积比其中间正三角形的面积大2C．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-D．若正四面体的棱长为2，勒洛四面体表面上交线AC的长度小于3【变式10-1】4.（多选）（2023·全国·高三专题练习）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（

）A．勒洛四面体ABCD最大的截面是正三角形B．勒洛四面体ABCD的体积大于正四面体ABCD的体积C．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是8D．勒洛四面体ABCD四个曲面所有交线长的和为8【变式10-1】5.（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）四面体A-BCD的体积是V，AB=a,AC【变式10-1】6.（2023秋·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）在△ABC中，∠BAC=π2，AB=2，AC=1，点D为边BC边上一动点，将