【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 不同函数增长的差异同步教案

不同函数增长的差异

【教材分析】

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修I第四章第443节《不同

增长函数的差异》是在学习了指数函数、对数函数和幕函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。

本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是

对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻

辑推理和数学建模的核心素养。

【学情分析】

学生已经学了对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理

解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。

【学习目标】

1.在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；

2.通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆

炸”的含义，提升对三类函数的认识；

3.在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养，

【学习重难点】

重点：研究一次函数、指数函数、对数函数的增长方式的差异

难点：直线上升、指数爆炸、对数增长的含义的理解。

【创设情境】

问题1|：在前面，我们学习过一次函数、指数函数'对数函数，这些函数在什么情况下是增函数？

预设：y=kx+b,k>0

y=ax,a>1.

y=logax,a>1.

教师：虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同

增长规律的反映。如果我们知道不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题中的增长情况，选

择合适的函数模型来刻画其变化规律.

下面就来研究一次函数，指数函数，对数函数增长方式的差异.

问题儿你还记得前面研究指数函数、对数函数图象与性质的方法吗？

预设：先画出某些具体指数函数或对数函数的图象，然后通过观察具体函数的图象与性质，

从而总结归纳出一般指数函数或对数函数的图象与性质.

教师：这节课，我们研究三种不同函数增长方式的差异，也采用这种方法，先从特殊的具体的函数

出发，然后将所得结论推广到一般情形。

【新知讲解】

任务一、以函数y=2'与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.

先考虑指数函数与一次函数，因为在区间(-8,0)上，指数函数值恒大于0,一次函数广履值恒

小于0,所以我们重点研究它们在区间［0,+8)上的增长差异.

探究1、选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间［0,+8)上的增长差异，你能描述一下指

数函数的增长的特点吗？

分析：选择特殊的、具体的指数函数和一次函数进行研究，你会选择哪个函数呢？

预设：y=2X,y=x

教师：我们想找一个增长率，稍微大一点的，所以我们选y=2x.

选好函数之后，我们就可以列表、描点、画图，这些其实都可以让计算机帮我们完成.

Xy=2Xy=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

追问有了表格和图象，我们关心的是“看什么”.

教师：要研究两个函数增长的差异，那我们可以先/ASO•但_1_冽乐4次于工自自积怕人1JSHJ幺小

图象上观察(红色曲线是2、蓝色曲线是2x,观察图象你有什么发现？)，下面找同学谈一谈你的

发现？

预设：结论1：函数产2,与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)

结论2：在区间(0,1)上，函数),=2"的图象为于y=2x之上，BP2x>2x

结论3：在区间(1,2)上，函数尸2,的图象位于y=2x之下，即2，<2x

结论4：在区间(2,4)上，函数y=2,的图象位于y=2x之上，即2x>2x

教师：有了表格和图象之后，我们其实可以从两个角度进行观察和表述。

角度1,从局部上看，就是看它们的交点、它们局部的位置关系，这样就的到了结论1-4;角度2,

从整体上看，就是看它们的变化趋势、增长速度，当然我们可以从表格中观察，也可以从图象上观

察.

综上：虽然函数产2,与)，=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2t的增长速度不

变，但是尸2，的增长速度是变化的.

追问幺：当自变量x值越来越大时，两个函数图象的关系会怎样？

教师：自变量尤值越来越大，也就是我们要把它们放在更在更大的范围内来看，教师引导学生①从

数值上看表格，)=2,的函数值突飞猛进，迅速变大，而)=2x自变量每增加2,函数值都增加4,增

长速度不变；

②从图象上看，当自变量x越来越大时，产2、的图象就像与x轴垂直一样，函数值快速增长；

)=2r的增长速度保持不变，和产2,的增长速度相比几乎微不足道.

(GGB软件画图演示：当自变量x越来越大时，两函数图象的变化关系)大到100单位

教师引导：直线的倾斜程度一直不变，指数曲线越来越直，放在更大范围内看，就像与x轴垂直一

样.

询

函数尸2■'与y=2x在［0,+oo)上都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在一个“档次”.

随着x的增大，)，=2-'的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2t的增长速度.

尽管在x的一定范围内，2，<2x,但由于y=2,的增长最终会快于产2r的增长，因此，总会存在

一个X0,当x>项时，恒有2X>2x.

追问&上述规律，可以推广到一般情形吗？

预设：认为可以；不确定不敢说，

追问4：你能仿照上述比较，说出一般情形的规律吗？

预设：一般地，指数函数y=tf(a>l)与一次函数旷=日(&>0)的增长都与上

述类似。即使k值远远大于“值，指数函数产/3>1)的函数值虽

然有一段区间会小于y=fcr(fc>0)的函数值，但总会存在一个xo,当

x>对时，y=〃3>l)的增长速度会大大超过)，=履(40)的增长速度.

这样我们就讨论清了指数函数与一次函数增长的差异，下面我们来研究对数函数与一次函数的

增长差异.

任务二、以函数y=lgx与y=3x为例研究对数函数'一次函数增长方式的差异.

分析：因为在区间（一8,0）上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0,所以仍然研究区间（0,+8）上

它们的增长差异.

探究2、选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0,+8）上的增长差异，你能描述一下对

数函数的增长的特点吗？

⑴分析：

选择适当的对数函数与一次函数，同学们可能第一个想到的是y=log2X，y=\gx,y=\nx,为了便

于计算，这里选择以10为底的常用对数，一次函数我们找个增长率小一点的，我们取y=.

选好函数之后，我们就可以列表、作图，仿照刚才讨论指数函数与一次函数的过程，比较对数函数

与一次函数的增长差异.

学生活动1:填写表格并作出函数y=lgx与y=的图象;

Xy=Igx1

y=­x

,10

（2）借助信息技术，在同一直角坐标系内列表描点作图如下:

Xy=Igx1

y=­x

)10

0不存在0

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

学生活动2:观察表格和图象，说一说你观察的规律。（教师引导局部和整体、表格和图象）

预设：结论1：局部观察，看到有两个交点、以及一定范围内的位置关系；

结论2：整体观察，对数函数增长（越来越平缓）没有一次函数增长快，

一次函数增长速度不变，

教师：为了更好的观察对数函数与一次函数的增长差异，我们用几何画板来展示下它们在更大范围

内的图象.（GGB演示，坐标单位变到1000时，函数的图象）

画

虽然函数y=lgx与y=2尤在(0,+8)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.

y=^x在(0,+8)上增长速度不变，y=lgx在(0,+8)上的增长速度在变化.

随着x的增大，y=的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴

平行一样.

追问1|：以上是从图象上的观察，你能根据解析式进行分析吗？

对于1女有lgl0=l,1g100=2,lg1000=3,lg10000=4,...

对于会有巳XI。=1，100=10,1000=100,10000=1000)...

这表明，当x>10时，函数y=lgx的增长比y=慢得多.

结论：在一定范围内，1改大于小，但随着x的增长，产脸的增长速度将慢于y=去，且越来越

慢，因此总存在--当X>xo时，恒有Igx<专私

追问小如果将产哈放大1000倍，再对函数尸1000*与y=Q的增长情况进行比较，那么还

有上述规律吗？

(GGB动态演示，规律依然成立)

预设：一般地，虽然对数函数y=logd(a>l)与一次函数产5(Q0)在(0,+oo)上都是单调递增，但它

们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数尸质(Q0)保持固定的增长速度.而对数函数y=log自

(〃>1)的增长速度越来越慢.不论。值比左值大多少，在一定范围内logM(〃>1)可能会大于依，但由于

log“x(a>l)的增长会慢于日的增长，因此总存在一个X0,当X>XO时，恒有logaXCAx.

•述1**逢度季・“文牝

任务三

⑴画出一次函数尸2x,对数函数尸Igr和指数函数片2r的图象，并比较它们的增长差异;

总存在一个1t.

当恒有2'>2'-

总存在一个、.

当、>、时，恒有肥、<2、.

预设：虽然函数)，=2x,函数y=lgx与y=2'.在(0,+8)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差

异。y=2x在(0,+8)上增长速度不变，函数y=lgx与产2,在(0,+oo)上的增长速度在变化.函数产2*的

图象越来越陡，就像与x轴垂直一样；函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.

(2)试着概括一次函数y=kx(A>0),对数函数y^x(Al)和指数函数产〃3>1)的增长差异；

预设：一般地，虽然一次函数产丘(Q0),对数函数产log环(。>1)和指数函数y=〃S>l)在(0,+8)上

都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数产区(Q0)保持固定的增长速度,

而指数函数y="S>l)的增长速度越来越快；对数函数产logax(“>l)的增

长速度越来越慢.

(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.

直线上升:增长速度不变，是一个固定的值：

对数增长:增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样；

指数爆炸:增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与x轴垂直一样.

【课堂小结】

1、思想方法:

由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数火x)=fcr+〃，fc>0,指数函数8。)="包>1),对数函

数〃(x)=lo-x(a>l)在定义域上的不同增长方式.

以后会经常用至上直线上升”，“指数爆炸”,“对数增长”.把握了不同函数增长方式的差异，就可以根

据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，学以致用.

2、知识上：

y^kx(k>0)y=1)》=1辄到。>1)

三

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函上的牛,11

数

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型

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始论〃在一个勺，、XA小时,"o'Ajtr>log.JT.

3、通过这节课，同学们有什么感悟？

希望每位同学遇到困难都不要轻言放弃，如同指数函数一般，即使一开始进步缓慢，但这正是

积淀的过程，不断的积累，最终一定会走向卓越，成就自己！

【课堂检测】

1、三个变量)“，”，"随变量x变化的数据如下表:

X051015202530

V51305051130200531304505

5901620291605248809447840170061120

5305580105130155

其中关于x呈指数增长的变量是1

答案：及

分析：

2、下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()

A.y=e*B.y=InxC.y=x2D.y=e~x

答案：A

解析:

【拓展提升】

例4.函数y=/(x)的图象如图所示，则y=/(x)可能是().

A.y=l-x*',xe(0,+a>)B.y=^-(^)x,xe(0,+oo)

C.y=ln(x)D.y=x-l,xe(0,+oo)

【课后作业】

1.某工厂在原来月产量为4,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则

()

A.a>bB.a<bC.a=b。.无法判断

2.下列函数中，增长速度最快的是()

v2019

A.y-2019B.y-xC.y-log20l9xD.y=2019x

3.下面对函数/(x)=log,无，g(x)=(，厂与/?")=-1尤在区间(0,+(»)上递减的情况说法正确

222

的是()

A/(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，〃(x)递减速度越来越慢；

BJ(x)递减速度越来越快，