2022年全国甲卷数学(理科)高考试题原卷参考答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学(参考答案)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

I.若z=-1+6i♦则T=

zz—\

A.-14-5/3iB.-1-C.—y4-D.—g------

；斤】/I..：；〔一「(71

ZZ~~IoJJ

【答案】。

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了他讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他

们在讲廓前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正

确率如下图：

则

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

［解析】讲座访中位欲为卫"*二>70%,所以.4错；

讲座后问卷不超的正碉串只有一个是SU%,J个&3%,M下仝部大于/于例)％，所以讲座后问及芬延的

正就率的平均上大于85%，所以B对；

济庄前问卷冬咫的正确年史加分或，所以讲座前问卷S，迫的正力」廿作；,1二人于讲座后正确毕的近准

。所以C仔；

讲座后问卷答题的正碇率的极是为100%-80%=20%,讲庄荷问卷答题的正确车的板,为。5%

-G0%=35%>20%，所以D-

【答案】8

3.设全集17={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8={工1/_4工+3=0},则(：(；(4118)=

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【解析】B={sk---13：+3=()}={l,.i］，所以八,所以C『・(/1UB)={-2.()}.

【答案】D

-1-

4.如图，网格纸上绘制的是一个多而体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为

A.8B.12C.16D.20

［解析］由三视图还原几何体，如图，

则该直四核柱的体积！/=2■方

【答案】8

5.函数？=（3，一3-，）COHN在区间［一£,冷］的图像大致为

V

【解析】令/(7)=(y—,3')cosx,x£|-今,与[，

则/(一/)=(31-3])cos(—z)=—(3工—3r)cosx=—f(x),所以/(：/;)为专函数，排除BD\

又当工W(()，用时，3=—3->0,COSX>0,所以/(x)>0,排除C.

【答案】A

6.当工=1时，函数人工）=alnz+里取得最大值一2,则（2）=

X

ATB.--1C.j-D.1

【解析】因为函数jf（H）定义域为（0,+8），所以依题可知，/（1）=一2,/<1）=（）,而/㈤=且一上，

NX'

所以b=_2,ai=0，即。=-24=一2，所以/㈤=-三+3，因此函数/（:力在（0.1）上递增.在

•I*31"

（1,+8）上递成，x=i时取景大值，满足题意，即有/⑵=一1+J=g.

【答案】3

-2-

既然已经出发，就一定能到达！

7.在长方体ABCD-4B1GA中，己知8。与平面ABCD和平而AA正田所成的角均为30°,则

\.AB=2ADB.AB与平面AbiGD所成的角为30°

C.AC=CB{D.BQ与平面BBQ。所成的角为45°

【解析】如图所示：不妨设/lB=a.AD='AA]=c,

依题意及长方体的结构特征可知，

BQ与平面ABC©所成角为与平面所成角为NDB,4

所以sin30°==力/，即b=c,旦。=2c=V<r+b'+c-，锌得a=V"c.

对于A,AB=a,AD=b,AB=gAD,A错误；

对于5,过B作BEJ./LB1于E,易知BEJL平面AB^D.

所以AB与平面ABCQ所成角为Z.BAE,

因为tanZBAS=芯=殍，所以ZBAEW3<T,B错误；

对于。，AG=\kr+b2=V3c,CD,=、/>+<?=6c、AC¥=CB、、C''

对于。，BQ与平面RBQC所成角为NDBQ,

,_CD_a_-\p2,

・S|i6。=苹=宣=丁

而0VZDBCC9U',所以4DBQ=15：。正确.

【答案】D

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度

的“会I®术”.如图，存是以。为圆心，OA为半径的圆弧，。是AB的中点,

。在您上，CDJ_,“会圆术”给出您的弧长的近似值s的计算公

式：$=45+凫1,当。4=2,NAOB=60°时，s=

.11-3/D11-4/

A.2口，2

C9-349-4人

C.------2------nD------7------

【解析】加图，连接OC,因为。是A3的中点,所以OC1AB,

又CD_LAB,所以0,。,。三点共线，即。。=OA=。5=2,

又NHOB=60°,所以AB=OA=08=2,

则。。=小,故3=2-75,

所以s=4E+黑=2+❷二*=且三将

【答案】B

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2x,侧面积分别为Sp和S乙，体积分别为4

和吃.若%=2,则裳=

J乙/乙

A.y/5B.2V2c,>/nrD.。丫1。

q

【解析】设母线长为/,甲圆馋底面半径为r,,乙圆锥底而圆半径为7、.

则知=普=1=2,所以『2乃，

--斗^=2元，则f"=L所以71=4?，'2'

-3-

2022高考理科数学（全国甲卷）

所以甲圆锥的高从=/_杼=争

乙圆锥的高/».,=c，=竽,，

所以•）=710.

吃初九吉aX

【答案I。

10.椭圆C：M+^=l（a＞b＞0）的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜

aro-

率之积为则。的离心率为

4

A•字B-挈C.4D•寺

【解析】A（-a.0），设布（工“新），则Q（一孙“），则座”=y、R二y、

工।十a‘、"‘-X|-t-a

■>

VI

故2Ap,如Q=1/1出_=

巧+a-电+a-xf+a2」，

62(a2-xf)

又之+萼=1,则济=史土也，所以

a-b'—工；+a'

所以椭圆。的离心率c=f=\A-f瓜

—•

【答案】力

11.设函数*工）=sin（sz+给在区间（0,TT）恰有三个极值点、两个零点，则s的取值范围是

B

A.旨,号）-[f'T)c•(居D陪,售]

【解析】依题意可律①＞。，因为cE（U,;r）,所以a）riY£）

要使函裁在区间（U,K）恰有三个极值点，两个冬点.

又2/二sinz,xG（?;乐）的图象加下所示：

则晋〈丽+,43芯,解得替V©膏，即3W（皆用.

【答案】。

12.已知a=2,b=cos4，c=4sin\4lj

J/44

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解析】因为尹4tan卜因为当工€（嗯）应皿＜工＜3皿所以12]＞与即£＞1，所以0江

=cosri;+-y.7；2—1,xG（（）,+8）,f（J;）=-sinrr+U,所以f（x）在（0,+B）单调通增，

-4-

既然已经出发，就一定能到达!

则f（，■）>/（（））=0,所以cos-j->U,所以>>a.所以c>b>a.

【答案】A

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13,设向量a,6的夹角的余弦值为4，且㈤=1,同=3,则（2a+8）4=.

【解析】设方与b的夹角为〃，因为五与不的夹角的余弦值为--、即co41

又|a|=1，Ml=3,所以d*b=|讣1X3xy=1，

BB（23+6）-fr=2a-fe2a-b4忖-2x1+3?=11.

【答案】11

14.若双曲线力-%=1（m>0）的渐近线与圆炉+必一如+3=0相切，则m=.

nr

【解析】双曲线/一二7=l（m>（））的渐近线为y=±—•即c±7ny=（）.

iivm

一妨取：i：Imy=0，/：/;JI-//-,—!i/-r3=0,即..（y—2）2=1,所以同心为（。,2）,半径r=I,

依恶意E］心（0.2）到浙近线x+my=0的距离d=，尸”1=1,解•得m=Am=—乎~（舍去）.

5/1+m--»->

【答案】李

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

【解析】从正方体的S个顶点中任取」个Mn=C、'=7（M、结果，

这，个点在同一个平面的有m=6+6=12个，

故所求慨辛尸=詈=备=5♦

【答案】捻

16.己知△ABC中，点。在边8C上，NADB=120",AD=2,CD=23。，当嘿■取得最小值时，BD=

AJLJ

【解析】设CD=2GD=2m>（）,

则在AB。中，AB-=BD1-rAD"-'2BD•.二ADB=m、+」+2m.

在ACD中，AC2=CD1+AD2-2CD-ADcos/LADC=Am--rI-ini.

一、，AC2_-lmJ+Ihn一lOnr4-14-2/n）—12（1-4-m）

AB17n~-1+2mirr4--14-2m

=I--------------------l>1——/里一=।一2人一七

（）

-7^2\/m+l'^+T\

当且仅当za+I=­1］即7〃=，：；-1时，号号成立.._______/___\

-r1nc

所以当•取•最小位时"，—1.

/LD

【答案（或T+、8）

三、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（一）必考题:共60分.

17.（12分）

n71

记Sn为数列｛。“｝的前项和•已知+=2Q“+1.

（1）证明：｛4｝是等差数列；

-5-

2022高考理科数学（全国甲卷）

(2)若为，的,的成等比数列，求S.的最小值.

2

［答案/(1)因为二:巴+n=2a„+1,印2Sn4-n=2nan+n①.

2

当n>2时，2S“i+(n-l)=2(n-l)an44-(n-l)②,

-2==

①一②得»2Sn+7T—2Sn-i(n—1)2nan4-n—2(n—l)an.I—(n-1)>

即2%+2n—1=2na.n-2(九一1)%-i+1»

即2(n—l)a„—2(n—l)an-i=2(n-1)，所以a„—an-i=1»n>2且nGN*,

所以{aj是以1为公差的等差数列.

(2)由⑴可得。［=。1+3,。了=6+6,西=。1+8,

又@1，%,QJJ成等比数列，所以a；=Qi,的，

印(a1+6)2=(四+3)•(&1+8),解得。1=-12,

所以0T尸n—13,所以&=-12n+"=枭?-==(n—冬)--嘤,

所以，当n=12或n=13时(Sn)mill=-78.

18.(12分)

在四棱锥产一ABCD中，PD_L底面ABCD,CD〃AB,40=0C=CB=1,45=2,DP=4.

（1）证明：BDJ_PA；

（2）求PO与平面PAB所成的角的正弦值.

【答案】证明（1）PD_L底而ABCD，二PD±BD.

取AB中点E,连接DE,可知DE=枭15=1,

CD//AB,CD=BE,CDIIBE

四边形BCDE为平行四边形，;.DE=CB=L

•••DE=1■⑷3,.•.△45。为直角三角形，AB为斜边，.A。，

'.-PDCiAD=DB。_L平面PAD.：.BD±PA.

解：（2）由（1）知，尸D,AD,8。两两垂直，B。=-JAB2-AD2=瓜

建立空向直角坐标系如图所示，则D(0,0,0),4(1,0,0).5((),《,0),P(0,0.x/3),

.­.PD=(O.O,-73),PA=(l,O,-^),AB=(-l,73,0),

设平面PAB的法向量为五=3，y,z),则

T—yf^Z=()

：内1不妨设y=z=l,则五=(小/」)，

{-x+=0

设PD与平面F48的所成角为0,

-6-

既然已经出发，就一定能到达！

则sin<7=|8sV两，4>|=勇则-=

\PD\\n\V3xV5。

.•.P0与平面PAB的所成的角的正弦值为尊.

5

19.(12分)

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个

项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,

0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为AB,。，

所以甲学校获得冠军的概率为P=P{ABC)+P[ABC)+P(ABC)I-PiABC)

=0.5x0.4X0.S+0.5x0.4X0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0,4x0.2

=().16+0.16+0.24+0.04=().6.

(2)依谈可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

F(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.10,

产(X=10)=().5x0.4X0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x1).4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.Gx0.8+0.5x().4x().2+0.5x().6x().2=0.34,

P(X=30)=0.5X0.GX0.2=0.06.

印X的分布列为

X()1()2030

0.1G().440.340.0G

期望E(X)=l)x().lG+10x0.44+2UX0.34+30x0.06=13.

20.(12分)

设抛物线C:/=2「工g>0)的焦点为尸，点Z?(p,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于

工轴时，|A/F|=3.

(1)求。的方程：

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线4W,A3的倾斜角分别为a,/L当“一口

取得最大值时，求直线AB的方程.

【答案】(1)抛物线的准线为①=—§，当儿。与C轴垂直时，点A/的横坐标为P，

此时|八彼|=p+§=3,所以p=2,

所以抛物线。的方程为才=女；

⑵设M(,,y)N(号,yj,A(净,疝,B(号,,立级MN:x=my+1,

■忆=T7VIJ+1

由｛可得y2-4my-4=(),△>0,劭如=一」，

I旷=4z

一侦=V3

由斜串公式可得用小=M4,=一小=4

显_谊_劭+如，'山一遗—城一协十”

-7-

2022高考理科数学(全国甲卷)

直线MD：T=巴二2•y+2,代入抛物线方程可得才一鲍产•？-8=(),

y\

△>0，幼幼=-8,所以鲂=2的,同理可得以=2M，

所以卜八8=44

物+妨2(y+s)2

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a*,

所以比u,=tan夕=警=粤一区，

若要使"0最大，则作(0号)，

tana-tan£1__。

设由\雨=2A4B—2k>0»则tan(a—0)=

1+tanatan/i1+2fc2JL+2k

k

当且仅当/=次印人=卓时，等号成立，

所以当a-0最大时，卜八8=^^设直线AB:l+

代入抛物线,方程可得式一2y—4?i=0»

△>°，加汕=-4n=4yly2=-16,所以n=J,

所以直线AB:N="5"+-1.

21.(12分)已知函数f(c)=£—Inx4-rr—a.

(I)若fQ)>0,求实数a的取值范围：

(2)证明：若f(c)有两个零点生，则皿物VI.

6,(工—I)(ex+x)(x—1)

【答案】(1才3)定义域为(o,+8)，r㈤=--+i=

X

令r(0=0=工=1,所以当UV。VI时，r(0VOJ(a)单调递减；

当8>1时/(6)>0,/3)单调递增;=/(I)=e+1—a,要使得f(七)NO恒成立，

即满足f3)min=e+1—a20=Q<C+1.

(2)由(1)知要使fQ)有两个零点，则/3)“IE=/(1)=e+1—aV0=e+1<a»

而f(x)=—Inx-\-x-a—e1nx+x—Inrr—a,

令±=c-Inrc,则/(a;)=er4-1—a有两个零点3,附等价于关于e的方程Z一Inx=〃有两个不相等的

实根，

再令九(工)=工—In-易知人㈤在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增,

不妨设0V①］V1V要证明sgV1,印证明1V6V—,

皿

又由于h(x)在(1,+8)单调递增，印证明拉包)<立弓)u>g)V拉(击)在(0,1)上成立.

下面构造函数尸(工)=九(二)一九(专)(。VhV1),

则F'(x)=h1(x)+及'(?■>方■=⑶？)•>(>恒成立，

F(x)在(0,1)单调递J曾，而尸⑴=/(1)—/(1)=0,

所以F(x)〈尸(1)=。，即拉(工)V九(。)得证-

(二