苏州三校2023-2024学年高二年级上册12月联合调研测试数学试题含答案

苏州三校2023-2024学年高二上学期12月联合调研测试数学试题

2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.已知等比数列｛4｝中，％=1,4=-8,则公比4=（）

A.2B.-4C.4D.-2

2.已知过A。％2）,3（-加,机-1）两点的直线的倾斜角是45°,则A5两点间的距离为（）

A.2B.V6C.2啦D.3亚

3,直线3%+切-2n1=0平分圆C：x2+2x+y2-2y=0,则〃z=（）

3

A.-B.1C.-1D.-3

2

22_

4.设双曲线三-%=1（。〉0力〉0）的虚轴长为2,焦距为26，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±41xB.y=±2xC.y=+—xD.y=±—x

22

22

5.椭圆三+匕1中以点“（2,1）为中点的弦所在直线斜率为（

92

4

A.——Bc立D.

9-I.V

22

y

6.已知耳（-GO）,马（c,0）是椭圆C：二+=的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得

a

尸耳•尸乙=02,则椭圆。的离心率e的取值范围是（）

V3V2

B.5万

7.过动点尸（。,与（。70）作圆C：/+（、—4百『=3的两条切线，切点分别为人，8,且NAPB=60。,

b

则一的取值范围是（）

a

院-可U6｝

——,+8D.+oo

I3」.3>

72n+l

b

8.已知数列｛〃〃｝满足qH—。2H—+,••H—%="2+〃N+）,设数列也｝满足:n=-----，数

aa

23nnn+l

列也｝的前几项和为北，若（（二六叱叫丁恒成立，则实数的取值范围为（

2)

n+1

13

A.—,+coB.—,+coD.

448*

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.下列说法正确的是（）

A,直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点（0,2）关于直线y=x+1的对称点为（1,1）

C.过（玉,%）,（4，%）两点的直线方程为三江=三土

%—M入2—玉

D.已知点尸（1,2）,向量沅=/百,1）,过点尸作以向量而为方向向量的直线为/,则点A（3,l）到直线/

的距离为1-3

2

10.已知椭圆工+上=1上一点P,椭圆的左、右焦点分别为居，则（）

259

A.若点P的横坐标为2,则PFj=—

B.尸月的最大值为9

C.若/耳尸居为直角，则6耳的面积为9

/

5s5尸

D.若/耳尸工为钝角，则点尸的横坐标的取值范围为丁，丁,

%+2,〃为奇数,

11.已知数列｛4｝满足％=2,an+1设a=?”,记数列｛凡｝的前2”项和为S2n，

2a”〃为偶数

数列也｝的前几项和为北，则（)

A.a5=20B.2=3x2"

C.7；=—2〃—6+3x2"”D.S,=—6〃—12+3X2"2

Zn

X2y2

12.画法几何的创始人法国数学家蒙日发现:在椭圆C:二+=1（。〉）〉o）中，任意两条互相垂直

ab2

的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆

就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为x2+y2=/+b2.已知椭圆C的离心率为逅，点A,2均在椭圆c

3

上，直线/:Zu+ay—4=0,则下列描述正确的为（）

A.点4与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为6

B.若/上恰有一点尸满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为土+丁=1

3

C.若/上任意一点。都满足诬.9〉。，则0<6<1

D.若6=1,椭圆C的蒙日圆上存在点M满足也1MB,则0408面积的最大值为火

2

三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）

13.在等差数列｛4｝中，Sn为前n项和，2%=4+5，则51=.

22

14.已知点尸为椭圆C：/+1_=1上一点，点的，月分别为椭圆C的左、右焦点，若归周=2|尸&],

则鸟的内切圆半径为

15.已知圆M经过A（2,一百）,3（2,百）,C（—1,0）.若点P（3,2），点Q是圆M上的一个动点，则说.丽

的最小值为.

22

16.已知双曲线C：——a=1（。〉0]〉0）的左、右焦点分别为打，工，过点耳作倾斜角为30。的直线

/与C的左、右两支分别交于点尸，Q,若0,则C的离心率为

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.已知数列｛4｝满足：q=2,%=4,数列｛4-“｝为等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)求和：Sn=al+a2+---+an.

18.已知圆+—2『=1,直线/过原点。(0,0).

(1)若直线/与圆M相切，求直线/的方程；

(2)若直线/与圆M交于尸，。两点，当口加「。的面积最大时，求直线/的方程.

19.如图，已知A(6,6G)，3(0,0),C(12,0),直线/：(左+G)x—y—2左=0.

n

(i)证明直线/经过某一定点，并求此定点坐标；

(2)若直线/等分DABC的面积，求直线/的一般式方程;

(3)若P(2,2g),李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由(反射点为K)、AC(反射点

为/)反射后，光斑落在尸点，求入射光线PK的直线方程.

20.已知两定点耳卜3,0),乙(2,0),满足条件|庵而|=2的点尸的轨迹是曲线E,直线丁=依-1

与曲线E交于A,8两个不同的点.

(1)求曲线E的方程；

(2)求实数上的取值范围；

(3)若|45|=66，求直线AB的方程.

21.设数列｛4｝的前九项和为"，且S“=2a,—2向，数列也J满足%=log,4,其中“eN*.

n+1

(1)证明为等差数列，求数列｛4｝的通项公式;

T

⑵求数列岛的前"项和为小

、(1)(11(1)

(3)求使不等式1+1,1+—1+——>m-,对任意正整数〃都成立的最大实数机的

值.

22.已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点耳，耳在x轴上，离心率为《，点尸在C上，且△尸可心的周长

为6.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点又（4,0）的动直线/与C相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为。，直线4。与x轴的交

点为E,求DABE的面积的最大值.

2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试

数学试卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

1.已知等比数列｛%｝中，％=1,4=-8,则公比4=()

A.2B.-4C.4D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.

33

【详解】依题意a4=a[q=q=-8,q=-2.

故选：D

2.已知过A(m,2),3(-加,加-1)两点的直线的倾斜角是45。，则A5两点间的距离为()

A.2B.V6C.2啦D.3亚

【答案】C

【解析】

【分析】利用倾斜角求出根=1,然后利用两点间距离公式即可得出答案.

m—1—2

【详解】由题知，--------=tan45°=l,

-m-m

解得根=1,故A(1,2),B(-1,0),

22

则A,3两点间的距离为^(-1-1)+2=272.

故选：C

3.直线3%+5-2加=0平分圆C：x2+2x+y2-2y=0,则加=()

3

A.-B.1C.-1D.-3

2

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.

【详解】/+2%+/—2y=0变形为(x+iy+(y—I1=2,故圆心为(一1』)，

由题意得圆心（T,l）在3%+切-2根=0上，故一3+加一2加=0,解得力=一3.

故选：D

22

4.设双曲线券=l（a〉0]〉0）的虚轴长为2,焦距为26，则双曲线的渐近线方程为（）

/，I

A.y—+-\/2xB.y=i2xC.y=±----xD._y=+—x

''"22

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到6=1,c=B进而得到a=0，求出渐近线方程.

【详解】由题意得26=2,2c=2右，解得6=1,c=A

故a=y]c2-b2=41，

故双曲线渐近线方程为y=±-x=+-X.

a2

故选：C

22

5.椭圆+=1中以点M（2,l）为中点的弦所在直线斜率为（）

A_iR1c@DS

9233

【答案】A

【解析】

【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.

【详解】设弦的两端点为4（%，%）,B5,%）,

(22

江+&=1

代入椭圆得《92

22

尤2+%_]

--------1--------_i

[92

两式相减得T3+T二L。,

即(%-々)(4+%)=(%—%)(%+%)

92

即—2尸\二

9(%+%)占一%2

2x4%-%

即-------=——工■

9x2x1-x2

y-y4

即二}二2一5

4

，弦所在的直线的斜率为-

故选:A.

22

6.已知耳（-GO）,8亿0）是椭圆。：二+与=l（a〉6〉0）的左、右焦点，若椭圆。上存在一点尸使得

ab

尸耳•尸耳=02,则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

、

V341J3

A.B.C.D.

~2与

T'TF'F7

【答案】B

【解析】

【分析】

设点P的坐标，根据题意构造齐次方程，计算即可.

22

【详解】设尸（X。，几），则3+当.=i（a>b>0）,

ah

,2、

・••尤=廿「存

aJ

化为考一。2+4=。2,；.与+/72

-a2

2

V0<Xg<a2,AO<02.

解得走

32

故选：B

7.过动点尸（。/）（。*0）作圆C：必+卜一4百『=3的两条切线，切点分别为A,8,且乙4尸8=60。，

b

则一的取值范围是（）

a

【答案】D

【解析】

【分析】求出|PC|=2百，确定动点P（a,6）的轨迹方程，从而结合，表示圆好+卜―4G『=12上的点

与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知圆C：V+b—46『=3的半径为6，

因为A,B分别为两条切线PA,的切点，且NAPB=60°,则NAPC=NBPC=30°,所以

|PC|=2|AC|=2V3,所以动点在圆必+｝一4G『=12上且awO,

?表示圆好+卜—4百『=12上的点与坐标原点连线的斜率，

设?=左，则直线y=&与圆必+卜―4百『=12有公共点，

V

由点到直线的距离公式可得<273,解得攵W-6或左2省,

收+1

故选：D

(A1110/\(7,J12Tl+1

8.已知数列｛a.｝满足%+—a,+—q+…+—4="~,设数列也,｝满足：bn=-----,数

2"3n41a“+i

列也｝的前几项和为北，若7；<—、/(〃eN+)恒成立，则实数X的取值范围为()

n+1

1B.1,+co3D.|,+8

A.—,+coC.-,+oo

48

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单

调性求出结果.

【详解】数列｛%｝满足qH—%—a3-----1—①

23n

.r111/T\2Y~

当〃>2时，〃]+5%+§。3+…"I-------~。〃一1二(〃—1)+〃—1,②

1o

①一②得，一a”=2n,故a“=2rr,

n

,2n+l2/7+1if11

则"=------=-77~^7=7-~^2

anan+\4〃一(〃+1)4172(«+l)

41-(«+1)2

由于7；<—^X("eN+)恒成立,

1nc

故；1-<-----2,

n+1)~n+1

.n+211

整理得:彳〉------=—17-------r,

4〃+444(〃+1)

11

因二+随〃的增加而减小,

44(〃+1)

113

所以当”=1时，了+五一不了最大，且为〜

44(〃+1)8

3

即；I〉一.

8

故选：D

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.下列说法正确的是（）

A.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点（0,2）关于直线y=x+l的对称点为（1,1）

C.过（七,力）,（々，%）两点的直线方程为之》=三生

%一%工2一工1

D.已知点P（l,2）,向量而=（一百,1）,过点尸作以向量而为方向向量的直线为/,则点A（3,l）到直线/

的距离为1-@

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A正确；根据点关于直线的对称的

求法，求得对称点的坐标，可判定B正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C错误；根据题意，求

得直线/的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，令尤=0,可得y=-2,令y=0,可得x=2,

则直线x—y—2=0与两坐标轴围成的三角形的面积S=^x2x2=2,所以A正确；

2

对于B中，设（0,2）关于直线y=x+1对称点坐标为（m,n）,

则I叱,解得机=1/=1,所以B正确；

对于C中，直线的两点式使用的前提是玉W%，%。%，所以C错误;

则过点尸的直线/的方程为y=—三（x—1）+2，即x+Gy—1—26=0,

，/…I3+V3-1-2V3I出

则点A（3,1）到直线I的距离d=I_____________।=1_也，所以D正确.

V1+32

故选：ABD.

10.已知椭圆三+上=1上一点P,椭圆的左、右焦点分别为4,B，则（）

259

A.若点P的横坐标为2,则

B.尸耳的最大值为9

C.若/耳P耳为直角，则APFR的面积为9

D.若/耳尸耳为钝角，则点尸的横坐标的取值范围为一己一，己一

（44）

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,可直接解出点P坐标，求两点距离；

对B,。片最大值为a+c

对C,设PK=x,则尸8=10-x,列勾股定理等式，可求面积;

对D,所求点尸在以原点为圆心，。=4为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.

【详解】椭圆的长半轴为0=后=5,半焦距为°=岳=？=4，.••耳（一4,0）,工（4,0）

对A,x=2时，代入椭圆方程得，y=+^!lL,尸K=j±^T|+（2-4）2=?,人错;

对B,尸片的最大值为。+c=9,B对；

对C,/耳尸月为直角，设Pf]=x,则尸8=10-x,则有％2+（1（）_》）2=82nx2-i0x+]8=o,

11Q

则△2£鸟的面积为5%（10—X）=5=9,C对；

对D,以原点为圆心，c=4为半径作圆，则耳耳为圆的直径，则点尸在圆内时，/耳尸工为钝角，联立

22

工+匕=15万（5s5尸

259,消〉得％=土?匕，故点尸的横坐标的取值范围为一,D对.

24丁'丁

X+/=16I7

故选：BCD

为奇数，（）

11.已知数列｛4,｝满足q=2,an+1为偶数’设记数歹3｝的前2”项和为S,

数列也｝的前〃项和为北，则（)

A.%=20B,2=3x2"

C.7；=—2〃一6+3x2""D.邑“=—6〃―12+3X2"+2

【答案】ACD

【解析】

【分析】分析。“+i与4的递推关系，根据数列｛4｝的奇数项、偶数项以及分组求和法求得\,S2“.

【详解】依题意，%=q+2=4,%=2%=8,4=。3+2=1。,%=2%=20,A选项正确.

bx=a2=4^3x2',所以B选项错误.

aa+2=2a

当n为偶数时，?计2=n+M=n+ln+2，

所以4+2+2=2(4+2),而%+2=6,所以*+2=6x2"：%=6x2，—2,

=

以Tn=a?+〃4+,,,+|6+6x2+.・・+6x22j—2〃

=60-2)—2n=一2〃_6+3x2'"i，所以C选项正确.

1-2

当n为奇数时，。“+2=4+i+i=2。“+1=2(*+2)=2an+4，

/、〃十1n—i

a

所以n+2+4=2((2n+4),而q+4=6,所以4+4=6X2可二。“=6x2h—4,

，n-\、

所以6+%+%+…+。2〃-1=6+6x2H—+6x22—4〃

I)

6(1-2,!)

—4〃=—4〃一6+3义2向

1-2

所以52'=(一4〃-6+3X2"M)+(—2〃—6+3X2"+I)=—6〃—12+3x2-2,所以D选项正确.

故选：ACD

【点睛】求解形如4+1=。4+［（。片1）的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为

4+1+%=P（4+%）的形式，再结合等比数列的知识来求得4.求关于奇数、偶数有关的数列求和问题,

可考虑利用分组求和法来进行求解.

V2y2

12.画法几何的创始人•法国数学家蒙日发现:在椭圆c：r+=1（。〉人〉o）中，任意两条互相垂直

ab2

的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆

就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为尤2+丁=4+62.已知椭圆C的离心率为点A,8均在椭圆C

3

上，直线/:Zu+ay—4=0,则下列描述正确的为（）

A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b

2

B.若/上恰有一点尸满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为土+>2=1

3

C.若/上任意一点。都满足诿.9〉0，则0<6<1

D.若6=1,椭圆C的蒙日圆上存在点M满足也1MB,则口4。8面积的最大值为立

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为。，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去。可判断A,

利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B,分析可得点。应在蒙日圆外，解不等式从而判断C,依

据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.

【详解】由离心率e=£=逅，且/=。2+°2可得/=3/,

a3

所以蒙日圆方程V+9=4/；

对于A,由于原点。到蒙日圆上任意一点的距离为2"原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为

a-y/3b，

所以椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为（2-6）。,即A错误；

对于B,由蒙日圆定义可知：直线+—4=0与蒙日圆V+y2=4b2相切，

|-4|4

则圆心到直线I的距离为,11=—=2&,解得6=1；

J/+/2b

所以椭圆C的方程为二+丁=1,即B正确；

3

TT

对于C,根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为0,-,

若若I上任意一点Q都满足QAQB>0,可知点Q应在蒙日圆外，

|-4|4

所以此时直线/与蒙日圆d+y2=462相离，即II=F>2b,解得—

J/+―2b

又a〉6〉0,所以可得0<6<1,即C正确.

2

对于D,易知椭圆C的方程为（+>2=1,即/+3,2=3,蒙日圆方程为炉+产=4,

不妨设〃（分,九），因为其在蒙日圆上，所以片+/=4,

设又也1MB,所以可知与椭圆相切，

此时可得直线MA的方程为％x+3为y=3,同理直线MB的方程为+3〉2y=3;

=3

将〃（x0,九）代入MA,MB的直线方程中可得<

=3,

所以直线A3的方程即为x0x+3%y=3,

］，消去y整理可得（片+3端必—6/x+9—9>；=0；

联立《

由韦达定理可得％+々，再%2=~~~~2，

玉）+3%%+3%

所以|AB|=

2+y；

y0J3%)

J3

原点。到直线AB的距离为d=J.2+斤

]_

因此0408的面积SUAOB=^\AB\-d

2

3l1+2y；31

=­x——=——x

2£+2y；)+122.

+2a+24

22

13

当且仅当万诉薪，即"1时等号成立,

因此口A06面积的最大值为即D正确;

2

故选：BCD

【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出

三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.

三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）

13.在等差数列｛4｝中,S,为前〃项和，2%=4+5,则%=.

【答案】55

【解析】

【分析】根据下标和性质求出4,再根据等差数列前〃项和公式及下标和性质计算可得.

【详解】在等差数列｛4｝中2%=%+5，又2%=%+。6，所以4=5，

所以==n

11226

故答案为：55

22

14.已知点P为椭圆C：+=1上一点，点耳，片分别为椭圆C的左、右焦点，若|「凰=2|尸引，

则△「4心的内切圆半径为

【答案】2^1##-715

55

【解析】

【分析】首先求归国,|尸闾的值，再求△尸耳耳的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.

【详解】因为|「片|+|P《|=2a=6,|「片|=2|产乙|,所以|「片|=4,||=2,

0?=9—5=4,|耳心|=2c=4,则|耳居|=|「41=4,

等腰△尸耳乃边P耳上的高人=V42-l2=V15，

所以与PFF=-x2xV15=V15,

urrlr2）

设□尸鸟鸟的内切圆半径为「，则g（|p昂+|p鸟|+W《|）xr=gxlOxr=JI?,

所以厂=15.

5

故答案为：叵.

5

15.已知圆M经过A（2,—1,0）.若点P（3,2）,点Q是圆M上的一个动点，则说.而

的最小值为.

【答案】4-472

【解析】

【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出.

【详解】设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=Q,

由于圆经过A（2,一6卜B（2,V3）,C（-l,0）,

7+2D-y/3E+F=0[D=-2

所以有17+2D+GE+R=0,解得｛石=0,

l-D+F=0[F=-3

所以圆M的一般方程为好+炉―2x—3=0,即标准方程为（x-l『+y2=4.

则圆M的圆心M（1,0）,半径「=|"。|=2,

且\MP\=^（3-1）2+（2-0）2=2V2，

因为=MQ-IMQ-MP\=MQ-MQ-MPN4-2X2^2=4-川2,

当且仅当说与诉同向时，等号成立，

所以而•而的最小值为4-4A/L

故答案为：4-472-

22

16.已知双曲线C：5―%=1（。〉0]〉0）的左、右焦点分别为F2,过点大作倾斜角为30°的直线

/与C的左、右两支分别交于点尸，Q,若=0,则C的离心率为.

【答案】V2

【解析】

【分析】由:苗+岗；（可—板）=0,NPgQ的平分线与直线PQ垂直，结合图像，根据双曲线

的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.

【详解】依题意，由=0,

如图，设NP鸟。的平分线鸟。与直线PQ交于点，

则=ZF2DP=ZF2DQ=9Q0,又工|=|。工|,

所以△PrqgAQD乙，所以|产必=也必，|尸闾=

由题得耳（一〈0）,居（c,0）,设|。得|=。，|。闯=s,|尸耳|=寸,

在Rt△。耳工中，/耳。工=90°,ZDF^=30°,则/i=c,|。娟=/0,

QjpJ—Q工|=|尸°|+1—s=2〃।।

由双曲线的性质可得JJ11,,解得PQ=4a,

SQ

PF2\-尸甲=7=2

则|尸。=|。。|=2%所以在RSQ。工中，5=商+（2〃『,

又％=耳|一|尸£）|=百。一2〃，s-t=2a,所以Jc?+（2Q/一（6C—2〃）=2a，

即打+函=&,整理得2/=02,所以6=?=行.

故答案为：V2

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.已知数列｛4｝满足：q=2,&=4,数列为等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求和：Sn=<2j+tZ2H---FCln.

【答案】(1)n+2"-1

11

(2)-n92+-n+T-1

22

【解析】

【分析】(1)首先求出%-1,%-2,即可求出等比数列｛氏-，｝的通项公式，从而求出｛4｝的通项公

式；

(2)利用分组求和法计算可得.

【小问1详解】

因为q=2,%=4,数列｛。“一”｝为等比数列，

d—2

所以4—1=1,%-2=2,则i[=2,即｛4一〃｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以4—〃=2"T,则a"=〃+2'T.

【小问2详解】

Sn=a1+a2+---+an

=1+2°+2+21+3+22+.•.+/?+2,,-1

=(1+2+3+-.+〃)+(2。+21+22+-.+2"7)

(l+n)n1-2"

=—«2+—«+2"-1.

~2-1-222

18.已知圆/：(x+l)2+(y—2『=1,直线/过原点。(0,0).

(1)若直线/与圆M相切，求直线/的方程；

(2)若直线/与圆M交于P,。两点，当口MPQ的面积最大时，求直线/的方程.

3

【答案】(1)%=0或丁=—

(2))=一％或丁=-71.

【解析】

【分析】(1)根据直线/的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线/的方

程.

(2)设出直线/的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形面积的表达式，结合二次函数

的性质求得口苗「。的面积最大时直线/的方程.

【小问1详解】

①当直线/的斜率不存在时，直线/为x=0,显然符合直线与圆相切，

②当斜率存在时，设直线为丁=近，圆M的圆心坐标(-1,2),

圆心到直线的距离d=*扫=上旦,

\k+2\3

由题意得：直线/与圆M相切，则11——,解得：k=——,

7T7F4

3

所以直线/的方程为：y=——无，

4

3

综上所述，直线/的方程为：％=0或丁=——x

4

【小问2详解】

直线/的斜率不存在时，直线/为x=0与圆相切，不符合题意，故直线/斜率必存在，

设直线/的方程为：y=mx,

圆心到直线的距离d=1；+2],弦长|P@=2yJr2-d2=2^1-d2,

所以S△尸QM=g,|尸Q|,d=,(1_屋”2=

1

当屋9=一时，面积s最大，

2

2

|m+2|1

这时(I----于2，整理得加2+8加+7=0，解得〃？=-7,或机=-1,

+I

所以直线/的方程：)=一％或丁=-7%.

19.如图，已知4(6,66)，3(0,0),C(12,0),直线/：(左+G)x—y—2左=0.

(1)证明直线/经过某一定点，并求此定点坐标；

(2)若直线/等分口ABC的面积，求直线/的一般式方程；

(3)若P(2,26),李老师站在点尸用激光笔照出一束光线，依次由(反射点为K)、AC(反射点

为/)反射后，光斑落在尸点，求入射光线PK的直线方程.

【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,26)；

(2)百x+17y-366=0；

(3)2x+底-10=0.

【解析】

【分析】(1)整理得到左(x-2)+(Gx->)=0,从而得到方程组，求出定点坐标；

13

(2)求出定点尸(2,26)在直线A3上，且|AM|=8,由用加m=5S口油0得至1HA。1=jAC1=9，设出

D(x0,y0),由向量比例关系得到。点坐标，得到直线方程；

(3)作出辅助线，确定P关于和AC的对称点片，鸟，得到左心=罕，由对称性得既长=—手，写

成直线方程.

【小问1详解】

直线/:(左+G)x—y—2左=0可化为左(x—2)+(Gx—y)=0,

%—2=0x=2

令1厂，解得1厂，故直线/经过的定点坐标为(2,26)；

y/3x-y=