高考数学一轮复习 基本不等式（六大题型7个方向）（原卷版）

2.2基本不等式

【题型归纳目录】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

题型二：利用基本不等式比较大小

题型三：利用基本不等式证明不等式

题型四：利用基本不等式求最值

1、直接法求最值

2、常规凑配法求最值

3、消参法求最值

4、换元求最值

5、“1”的代换求最值

6、△法

7、条件等式求最值

题型五：利用基本不等式求解恒成立问题

题型六：基本不等式在实际问题中的应用

【知识点梳理】

知识点一：基本不等式

1、对公式/+b222a6及土吆士疝的理解.

2

（1）成立的条件是不同的：前者只要求“力都是实数，而后者要求a,b都是正数;

（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=6时取等号

2、由公式/+/22必和”^2而可以引申出常用的常用结论

2

①纟+巴42（a,6同号）；

ab

(g)—+—<-2(o,b异号)；

ah

(3)-p^-j-<4ab<<J"；，'(a>0,b>0)或ab4(^^了<(a>0,b>0)

---1—"———

ab

知识点诠释：/+从42"可以变形为：产，审2痴可以变形为："4(等了.

a+b

知识点二：基本不等式而4的证明

2

方法一：几何面积法

如图，在正方形Z8CD中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为a、b,那么正方形的边长为，力+&2.这样，4个直角三角形的面积

的和是2",正方形/8CD的面积为/+/.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：

a-+b2>2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即“=6时，正方形EFGH缩为一个点,这时有

/+/=2ab.

得到结论：如果凡b£R+,那么（当且仅当Q=b时取等号“=”）

特别的，如果。>0,b>0,我们用五、折分别代替a、b,可得：

如果a>0,b>0,则a+b22而,（当且仅当a=6时取等号

通常我们把上式写作：如果a>0,b>0,，（当且仅当a=b时取等号“=”）

2

方法二：代数法

a2+b2-2ab=（a-b）2>0,

当"6时，（a-6）2>0；

当a=b时，（a-b）2=0.

所以（/+/）*2",（当且仅当。=6时取等号

知识点诠释：

特别的，如果。>0,b>0,我们用人、〃分别代替a、b,可得：

如果a>0,b>0,则a+b±2疝，（当且仅当。=6时取等号

通常我们把上式写作：

如果4>0,b>0,4^b<—,（当且仅当0=6时取等号“=”）.

2

知识点三：基本不等式而《厘的几何意义

2

如图，是圆的直径，点C是上的一点，AC=a,BC=b,过点C作。C丄交圆于点D,连

接力。、BD.

易证Rt\ACD~RtKDCB,那么CD2=CACB,即CO=疝.

这个圆的半径为厘，它大于或等于C。，即*2丿1，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=6时，

22

等号成立.

知识点诠释：

1、在数学中，我们称"为。力的算术平均数，称而为。力的几何平均数.因此基本不等式可叙述

2

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、如果把竺2看作是正数内6的等差中项，而看作是正数a力的等比中项，那么基本不等式可以叙

2

述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

知识点四：用基本不等式而《土吆求最大（小）值

2

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

知识点诠释：

1、两个不等式：0,+/22仍与土也2而成立的条件是不同的，前者要求a,b都是实数，后者要

2

求防b都是正数.

2、两个不等式：22办与土史都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取"=”号

2

这句话的含义要有正确的理解.

3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑

使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各

项的“和''为定值，则“积”有最大值.

4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【典型例题】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

例1.（2023•全国•高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如

图所示图形，在等腰直角三角形A/IBC中，点O为斜边的中点，点。为斜边Z8上异于顶点的一个动点,

设=80=6,用该图形能证明的不等式为（）.

A.a+^,>（a>0,b>0）B.<\[ab（d>0,b>0）

(〃>0力>0)D.a2>2y[ab(a>0,6>0)

C啖

例2.（2023•上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试）下列定理中，被称为塞的基本不等式的是（）

A.如果〃>6,且那么

B.对任意的实数。和6,总有力+6222a6,且等号当且仅当a=b时成立

C.对任意的正实数。和b,总有早2J茄，且等号当且仅当a=6时成立

D.当。>1,s>0时，as>1

例3.（2023・上海静安•高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（）

①已知O/ER,则2+曙2*/=2成立;

ab、ab

444

②已知XWR且XK0,则|工+」=|川+|二户2』刘・|n=4成立；

xXX

③已知x$R,则6+2+/+2的最小值为2；

④已知a,b£R,ab<0,则q=-(-2+=)«-2

=-2成立.

abab

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式1.（2023•全国•高一专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（）

若a,beR,贝心+曙2心b上a

A.=2

ahab

若xeR,,则由xH-------22J(x+1)---------1=1知,X+击的最小值为1

B.

x+irx+i

C.若xGR,则xd—2-2,4-

D.若孙=1,贝1」工2+歹222|中|二2

变式2.（2023•高一课时练习）给出下面三个推导过程:

①•.%、6为正实数，...2+f22

ab

②•.ZWR,分0,：.-+a>2j--a=4；

aVa

③：x、yWR,9<0,=一(-*)+(-丄)4-2(-2=一2.

yxyXy%

其中正确的推导为（）

A.①②B.①③

D.①②③

【方法技巧与总结】

应用基本不等式时的三个关注点

（1）一正数：指式子中的a,6均为正数.

（2）二定值：只有M为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.

（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.

题型二：利用基本不等式比较大小

例4.（2023•高一课时练习）下列不等式正确的是（）

A.a+丄，2B.(-a)+(--)<-2

aa

、17

C.a~4—Q22D.(-a)2+(--)2<-2

a

例5.（2023•江苏徐州•高二统考阶段练习）若则下列不等式成立的是（）

/—ra+b.r-ra+b,

A.y/ah<----<a<bB.ci<yjab<----<b

22

-r~ra+b.D.a<"*"<y[ab<b

C.ylcib<a<----<b

22

例6.（2023•陕西宝鸡•高二校考期中）已知a,beR,a'b,q+6=2,则（）

A.\<ab<a+hB.

ah<\<------

22

C.ab<a+b<1D.a1+b2,1

------<ab<\

22

变式3.（2023・全国•高一专题练习）若x,y满/+/一刈=2,则（）

A.x+y<2B.x+y>-2y/2C.x2+y2<4D.x2+y2>2

变式4.（2023・全国•高一专题练习）若。>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是（）

A-ab2y/l.B.y[a+y/b4V2

21

C.—+—^3D.a2+h2>2

ab

变式5.（2023•山东青岛•高一校考阶段练习）若必>0,且a<6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a2Vb2B.丄<4

ah

「ba、—a+br-r

C.—+—>2D.----->yjab

ab2

变式6.(2023•全国•高三专题练习)如果OVaVbVl,P=^~,Q=国,M=4a+b>那么尸，0,

M的大小顺序是()

A.P>Q>MB.M>P>Q

C.Q>M>PD.M>Q>P

【方法技巧与总结】

利用基本不等式比较大小

在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆

项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为

“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.

题型三：利用基本不等式证明不等式

ab

例7.（2023•全国•高一专题练习）己知Q>0,b>0,试比较五+斯与而+71的大小；

例8.（2023•全国•高一专题练习）已知Q>0,b>0fc>0,且a+b+c=l.求证：

例9.（2023♦全国•高一专题练习）设6,。均为正数，且Q+b+c=l,证明：

(l)a2+b2+c2>-；

变式7.（2023•全国•高一专题练习）已知a>0,6>0,且a+b=l,求证：++1*9.

变式8.（2023•全国•高一专题练习）若正数〃，b,c满足a+b+c=l.

⑴求ab+bc+ca的最大值；

（2）求证：—+—>1.

b+cC+Qa+h2

变式9.（2023・贵州黔西・校考一模）设力，。均为正数，且a+b+c=l,证明：

(\)a2+b2+c2>-；

3

33

(2)a3c+ba+cb>ahc.

变式10.(2023•全国•高一专题练习)已知4>0,Z?>0,c>0,求证：-+^-+—>a-\-b+c.

abc

变式11.（2023・陕西西安•高二西安中学校考期中）均值不等式等2疝（4>0力>0）可以推广成均值

>a+^>y[ab>"(a>0,b>0)

不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为:

21丄1

ah

a+b、2

（1）证明不等式丁,丁丁.

—I—

ab

（2）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中/51?2空（0>0/>0）指的是两个正数的平方平均

数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的

算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（〃个数的平方平均数为卜;+4+…d）

Vn

【方法技巧与总结】

利用基本不等式证明不等式时应注意的问题

（1）注意基本不等式成立的条件；

（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；

（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.

题型四：利用基本不等式求最值

1、直接法求最值

例10.（2023•上海杨浦•高二复旦附中校考开学考试）已知外6eR,且/+9必=1，则/的最大值

是.

例11.（2023•新疆乌鲁木齐•高一校考期中）已知a、b大于0,a+b-3,则ab的最大值是.

例12.（2023•甘肃兰州•高二兰州一中校考期末）己知若2a+b=4,则而的最大值

为.

变式12.（2023・全国•高一专题练习）若a>0,b>0,ab=4a+b+n,则ab的取值范围是.

变式13.（2023・北京顺义•高二北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知正数x,V满足x+y=4,若

a》孙恒成立,写出一个满足条件的a值____________.

变式14.（2023•全国•高一专题练习）已知正实数a,b满足色+纟=1则効的最大值为_________.

45

变式15.（2023•全国•高一专题练习）若正数见厶满足姉=4,则〃+6的最小值是.

变式16.（2023•辽宁大连•高三大连中学校考开学考试）已知x+y=2,则2'+2,的最小

值为.

4

变式17.（2023•广东佛山・高一统考期中）若x>0,则3x+-的最小值为；

x

2、常规凑配法求最值

亠亠4

变式18.（2023•高一课时练习）（1）当x>3时，求歹=x+—的最小值；

x-3

（2）当x>0时，求L+3X+6的最小值.

x+1

变式19.（2023•辽宁营口•高一校考阶段练习）求解下列各题：

（1）求y=，+j+4（*<o）的最大值;

（2）求y=f卜>1）的最小值.

变式20.（2023•江苏•高一专题练习）求下列函数的最小值

/1xX2+X+\

(1)y=--------(x>0)；

x

变式21.（2023•全国•高一专题练习）（1）若x）＞0,且2x+8y-盯=0,求x+N的最小值；

（2）若-4〈冗＜1,求尸二2廿2的最大值.

2x-2

2r+l

变式22.（2023•河南潔河♦高一潔河四高校考阶段练习）（1）求不等式解集：二一21；

x-2

（2）设x20,求函数y=4+2）（x+3）的最小值.

X+1

变式23.（2023・全国•高一专题练习）已知。＞6,且0厶=8,则丄出-2的最小值是（）

a-b

A.6B.8C.14D.16

21

变式24.（2023•河北张家口•高三统考开学考试）己知。＞1,〃＞0,且一：=则2〃+6的最小值

a-\b

为.

3、消参法求最值

变式25.（2023・江苏•高一专题练习）若x〉4,y〉l,且k=12+x+4y,则工+歹的最小值是（）

A.5B.8C.13D.16

变式26.（2023・全国•高一专题练习）已知x＞0）＞0,h+2x-y=10,则x+y的最小值为（）

A.2应-1B.2竝C.472D.4后-1

变式27.（2023•江苏苏州•高二校考阶段练习）已知x＞l,”0,且3y（l-x）=x+8,则x-3y的最小

值为.

变式28.（2023•天津和平•高二统考期末）已知＜/+y=］（x,yeR）,则/+3/的最小值是.

变式29.（2023・全国•高一专题练习）已知孙＞0,Rx2+2xy=l,则幺+/的最小值为.

4、换元求最值

XV

变式30.（2023•全国•高一专题练习）设是正实数，且工+，=1,则一^+丄彳的最大值是________.

x+2y+l

21

变式31.（2023・全国•高一专题练习）已知正数x、V满足x+2歹=1,则^—尸+—丁的最小值为.

变式32.（2023•浙江•高二校联考阶段练习）若实数。，6满足力一4〃=4,则/+湖的最小值

为.

变式33.（2023•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知a,6,c均为正实数，

ab+ac=4,则*+亠+——的最小值是_________.

ab+ca+b+c

变式34.（2。23・浙江♦高三校联考阶段练习）设x一为正实数，若2宀+2所（则2宀的最小值

是（）

A.4B.3C.2D.1

12

变式35.（2023・四川巴中•高三统考开学考试）已知x>y>0且4x+3y=l,则；^——+—丁的最小值

2x-yx+2y

为（）

A.10B.9C.8D.7

5、“1”的代换求最值

1Q

变式36.（2023•全国•高一专题练习）已知正实数机，〃满足丄+±=4,则8〃?+"的最小值

mn

为.

变式37.（2023•陕西渭南•高二白水县白水中学校考阶段练习）已知x>0）>0,且2x+y=l,则丄+丄

xy

的最小值为.

变式38.（2023•广东东莞•高三校考阶段练习）已知x>0,y>0且x+2y=孙，则x+2y的最小值

是.

变式39.（2023・福建泉州•高一统考期中）已知两个正实数满足x+y=I,则町士的最小值是_____.

xy

21

变式40.（2023•天津滨海新•高一校考期中）已知%>04>0,且一+—=2,则R+3y的最小值

xy

为.

变式41.（2023・山东济南•高二济南外国语学校校考开学考试）已知若正数〃、b满足。+6=1,则

]+为的最小值为-

a+2

变式42.（2023・四川•校联考一模）已知正数x,y满足x+y=5,则一二+一二的最小值是_____.

x+2y+2

13

变式43.（2023•陕西渭南•高二校考阶段练习）已知XJER'且满足一+—=1,则x+3y的最小值

xy

为.

变式44.（2023♦全国•高一专题练习）已知正数x,y满足x+2y=3,则一^的最大值为.

19

变式45.（2023,全国•高一■专题练习）已知a+h+c=1f其中a,b,c>0,则一■F------的最小值为

aD+c

2Q

变式46.（2023・全国•高一专题练习）若o<"4,则一+—的最小值是________.

a4-a

6、△法

变式47.（2023•湖南衡阳•衡阳市八中校考模拟预测）已知实数XJ,满足丁+盯+3/=3,则x+y的

最大值为（）

A3>AT6VHy/3+15/3+3

A.-----oD•------Lrz•-------Dn.-------

111133

变式48.（2023•全国•高三专题练习）已知a>0,b>0,满足3/〃-2/_3〃+9=0,则亚+2的最小

ah

值是（）

A.2屈B.4>/3C.4>/6D.6万

7、条件等式求最值

变式49.（2023•江苏盐城•高一校联考期中）已知x>0,y>0,且x+2y=l.

（1）求孙的最大值；

（2）求2+丄的最小值.

xy

变式50.（2023•浙江台州•高一校联考期中）（1）已知2<a<3,l<b<4,求2a+6的取值范围；

（2）已知正数x,y满足x+2夕=2.

（i）求孙的最大值；

21.

（ii）求一+一的最小值.

xy

变式51.（2023•河北石家庄•高一校考期中）（1）已知0<x<g，求尸;x（l-2x）的最大值

4

（2）已知了<3，求^=^+2x的最大值

x-3

13

（3）已知x〉0，y>0,且x+y=4,求一+一的最小值

%y

变式52.（2023・湖北•高一校联考阶段练习）己知为正实数，且内=」.

a+b

⑴求而的最大值；

（2）是否存在使得丄+』的值为指？并说明理由.

ab

变式53.（2023•全国•高一专题练习）（1）已知且4x+y-盯=0,求工+歹的最小值.

（2）已知x/cR*,且4x+y-xy=0,求孙的最小值.

变式54.（2023•江西九江♦统考一模）已知。也c均为正实数，且/+/+《2=2.

（1）求。+6+。的最大值;

111

⑵求-------1--------1-----的--最小值.

a+hh+cc+a

【方法技巧与总结】

利用基本不等式求代数式的最值

（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代

数式的最大值或最小值.

（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值：若是求积的最大值，通常化（或利用）和为

定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.

题型五：利用基本不等式求解恒成立问题

例13.（2023•全国•高一专题练习）已知不等式（x+砂对任意正实数苍丁恒成立，则正实数

。的最小值为（）

A.2B.4C.6D.9

21

例14.（2023・全国•高一专题练习）若对工>0,>>0,有（x+2y）,（一+—）之机恒成立，则川的取值范围

“y

是（）

A.w<4B.m>4

C.〃?<0D.w<8

例15.（2023•全国•高一专题练习）若对任意x>0,工3+5产+4%20?恒成立，则实数。的取值范围是

（）

A.a>5B.5<a<9C.a<5D.a<9

变式55.（2023•全国•高一专题练习）若不等式幺/+3对任意正数〃力恒成立，则实数x的

最大值为（）

A.72B.2C.y/3D.1

变式56.⑵23.全国•高一专题练习）已知正数。，6满足卜户，若不等式吋+栏+2b2m

恒成立，则，"的最大值为（）

93C.应D.^2

A.-B.-

424

49

变式57.（2023•全国•高一专题练习）已知若二+”^21恒成立，则人的最大值为（）

abz+1

A.4B.5C.24D.25

变式58.（2023・全国•高一专题练习）已知实数小N满足x+y-v=0,且肛>0,若不等式

4x+9y—20恒成立，则实数f的最大值为（）

A.9B.12C.16D.25

变式59.（2023•全国•高一专题练习）己知正实数x,y满足2x+3y-杪=0,若3x+2yNf恒成立，则实

数f的取值范围是（）

A.r<25B./<25C.fW24D.^>24

41

变式60.（2023•全国•高一专题练习）若正数满足x+N=l,且不等式一-+一一加之0恒成立，则实

x+1y

数〃?的最大值为（）

4427「149

A.—B.—C.­D.一

7532

【方法技巧与总结】

利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值

题型六：基本不等式在实际问题中的应用

例16.（2023•江苏扬州•高一校考阶段练习）已知。、b、c、d为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）

并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题.

（1）请根据基本不等式。+6N2j%（a,beR+）,证明：a+b+^+d>^a-b-c-d；

（2）请利用（1）的结论，证明："+,爲标T7；

（3）如图，将边长为0.5米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒.如

果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？

例17.（2023・广东深圳•高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）（1）己知正实数a,b,c满足

a2+b2=2c2,求£+：的最小值；

ab

（2）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用

的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）

之间的函数关系可近似地表示为y=200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值

为100元.该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

例18.（2023•福建莆田•高三莆田二中校考开学考试）近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，

决定政企联动，决定为某制衣在暑假期间加班追产提供x（xe（0,2可）（万元）的专项补贴.某制衣在收到莆

田市政府x（万元）补贴后，产量将增加到f=（x+3）（万件）.同时某制衣生产t（万件）产品需要投入成

本为（7f+q+3x）（万元），并以每件（8+8）元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政

tt

府专项补贴-成本.

（1）求某制衣暑假期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；

（2）莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣暑假期间加班追产所获收益>（万元）最大？

变式61.（2023•高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25

元，年销售8万件.

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该

商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调

整，并提高定价到x元.公司拟投入-600）万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投

0

入1万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销

售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

变式62.（2023•高一课时练习）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边

形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形N88和MG//构成面积为200米2的十字形

区域，且计划在正方形仞VPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2,在四个相同的矩形上（图中的阴影部

分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2,并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

（1）设4。的长为x米，试写岀总造价。（单位：元）关于x的函数解析式；

（2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值.

变式63.（2023•新疆乌鲁木齐•高一校考期末）（1）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，求这个

矩形菜园的最大面积.

（2）用篱笆围一个面积为64m2的矩形菜园，求所用篱笆的最短值.

变式64.（2023•全国•高一专题练习）汽车在隧道内行驶时，安全车距d（单位：m）正比于车速v（单

位：km/h）的平方与车身长/（单位：m）的积，且安全车距不得小于半个车身长.当车速为70km/h时;

安全车距为19.6个车身长.

（1）求汽车在隧道内行驶时的安全车距d与车速v之间的函数关系式；

（2）某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为10m,当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进

隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为800m的隧道用时最短？

【方法技巧与总结】

利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性

质等）解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值.

（4）正确写出答案.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023,全国•高一专题练习）已知。>0,b>0,a+2b=4,则ab的最大值是（）

A.72B.2C.4D.3

2.（2023・高一课时练习）设则下列各式中正确的是（）

A.x>^^>4xy>yB.y>x；)>yfxy>x

C.x>>y>4xyD.y>^^->^xy>x

3.（2023・全国•高一专题练习）已知x>y>0,则三士。的最小值是（）

xy-y

A.2+V3B.y/5+2

c.2V2+2D.2

4.（2023・全国•高一专题练习）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明

将5克的祛码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的祛码放在右盘,

取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（）

A.大于20克B.小于20克

C.大于等于20克D.小于等于20克

14

5.（2023・全国•高一专题练习）已知正数xj满足x+y=l叫+不7的最小值为（)

59

A.B.2C.D.6

32

12

6.（2023•全国•高一专题练习）已知正实数'J满足一+—=1,则2k-2%-歹的最小值为（）

%y

A.2B.4C.8D.9

7.（2023♦全国•高一专题练习）已知。，匕为正实数，且"+2。+6=6,则下列选项错误的是（）

A.仍的最大值为2B.+6的最小值为4

C.6的最小值为3D.」二+丄的最小值为农

a+lb+22

8.（2023•全国•高一专题练习）已知。>0/>0,则下列命题错误的是（）

A.若風”1,则丄+丄N2

ab

19

B.若。+6=4,则一+7的最小值为4

ab

C