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文档简介
2.2基本不等式
【题型归纳目录】
题型一:对基本不等式的理解及简单应用
题型二:利用基本不等式比较大小
题型三:利用基本不等式证明不等式
题型四:利用基本不等式求最值
1、直接法求最值
2、常规凑配法求最值
3、消参法求最值
4、换元求最值
5、“1”的代换求最值
6、△法
7、条件等式求最值
题型五:利用基本不等式求解恒成立问题
题型六:基本不等式在实际问题中的应用
【知识点梳理】
知识点一:基本不等式
1、对公式/+b222a6及土吆士疝的理解.
2
(1)成立的条件是不同的:前者只要求“力都是实数,而后者要求a,b都是正数;
(2)取等号的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当。=6时取等号
2、由公式/+/22必和”^2而可以引申出常用的常用结论
2
①纟+巴42(a,6同号);
ab
(g)—+—<-2(o,b异号);
ah
(3)-p^-j-<4ab<<J";,'(a>0,b>0)或ab4(^^了<(a>0,b>0)
---1—"———
ab
知识点诠释:/+从42"可以变形为:产,审2痴可以变形为:"4(等了.
a+b
知识点二:基本不等式而4的证明
2
方法一:几何面积法
如图,在正方形Z8CD中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为a、b,那么正方形的边长为,力+&2.这样,4个直角三角形的面积
的和是2",正方形/8CD的面积为/+/.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:
a-+b2>2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形,即“=6时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
/+/=2ab.
得到结论:如果凡b£R+,那么(当且仅当Q=b时取等号“=”)
特别的,如果。>0,b>0,我们用五、折分别代替a、b,可得:
如果a>0,b>0,则a+b22而,(当且仅当a=6时取等号
通常我们把上式写作:如果a>0,b>0,,(当且仅当a=b时取等号“=”)
2
方法二:代数法
a2+b2-2ab=(a-b)2>0,
当"6时,(a-6)2>0;
当a=b时,(a-b)2=0.
所以(/+/)*2",(当且仅当。=6时取等号
知识点诠释:
特别的,如果。>0,b>0,我们用人、〃分别代替a、b,可得:
如果a>0,b>0,则a+b±2疝,(当且仅当。=6时取等号
通常我们把上式写作:
如果4>0,b>0,4^b<—,(当且仅当0=6时取等号“=”).
2
知识点三:基本不等式而《厘的几何意义
2
如图,是圆的直径,点C是上的一点,AC=a,BC=b,过点C作。C丄交圆于点D,连
接力。、BD.
易证Rt\ACD~RtKDCB,那么CD2=CACB,即CO=疝.
这个圆的半径为厘,它大于或等于C。,即*2丿1,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=6时,
22
等号成立.
知识点诠释:
1、在数学中,我们称"为。力的算术平均数,称而为。力的几何平均数.因此基本不等式可叙述
2
为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、如果把竺2看作是正数内6的等差中项,而看作是正数a力的等比中项,那么基本不等式可以叙
2
述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四:用基本不等式而《土吆求最大(小)值
2
在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.
①一正:函数的解析式中,各项均为正数;
②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;
③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.
知识点诠释:
1、两个不等式:0,+/22仍与土也2而成立的条件是不同的,前者要求a,b都是实数,后者要
2
求防b都是正数.
2、两个不等式:22办与土史都是带有等号的不等式,对于“当且仅当……时,取"=”号
2
这句话的含义要有正确的理解.
3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑
使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各
项的“和''为定值,则“积”有最大值.
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件:
①各项都是正数;
②和(或积)为定值;
③各项能取得相等的值.
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,在应用时一般按以下步骤进行:
①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
③在定义域内,求出函数的最大或最小值;
④写出正确答案.
【典型例题】
题型一:对基本不等式的理解及简单应用
例1.(2023•全国•高一专题练习)数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如
图所示图形,在等腰直角三角形A/IBC中,点O为斜边的中点,点。为斜边Z8上异于顶点的一个动点,
设=80=6,用该图形能证明的不等式为().
A.a+^,>(a>0,b>0)B.<\[ab(d>0,b>0)
(〃>0力>0)D.a2>2y[ab(a>0,6>0)
C啖
例2.(2023•上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试)下列定理中,被称为塞的基本不等式的是()
A.如果〃>6,且那么
B.对任意的实数。和6,总有力+6222a6,且等号当且仅当a=b时成立
C.对任意的正实数。和b,总有早2J茄,且等号当且仅当a=6时成立
D.当。>1,s>0时,as>1
例3.(2023・上海静安•高一校考期中)给出下列命题中,真命题的个数为()
①已知O/ER,则2+曙2*/=2成立;
ab、ab
444
②已知XWR且XK0,则|工+」=|川+|二户2』刘・|n=4成立;
xXX
③已知x$R,则6+2+/+2的最小值为2;
④已知a,b£R,ab<0,则q=-(-2+=)«-2
=-2成立.
abab
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式1.(2023•全国•高一专题练习)下列使用均值不等式求最小值的过程,正确的是()
若a,beR,贝心+曙2心b上a
A.=2
ahab
若xeR,,则由xH-------22J(x+1)---------1=1知,X+击的最小值为1
B.
x+irx+i
C.若xGR,则xd—2-2,4-
D.若孙=1,贝1」工2+歹222|中|二2
变式2.(2023•高一课时练习)给出下面三个推导过程:
①•.%、6为正实数,...2+f22
ab
②•.ZWR,分0,:.-+a>2j--a=4;
aVa
③:x、yWR,9<0,=一(-*)+(-丄)4-2(-2=一2.
yxyXy%
其中正确的推导为()
A.①②B.①③
D.①②③
【方法技巧与总结】
应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数:指式子中的a,6均为正数.
(2)二定值:只有M为定值时才能应用基本不等式,因此有时需要构造定值.
(3)三相等:即“=”必须成立,求出的定值才是要求的最值.
题型二:利用基本不等式比较大小
例4.(2023•高一课时练习)下列不等式正确的是()
A.a+丄,2B.(-a)+(--)<-2
aa
、17
C.a~4—Q22D.(-a)2+(--)2<-2
a
例5.(2023•江苏徐州•高二统考阶段练习)若则下列不等式成立的是()
/—ra+b.r-ra+b,
A.y/ah<----<a<bB.ci<yjab<----<b
22
-r~ra+b.D.a<"*"<y[ab<b
C.ylcib<a<----<b
22
例6.(2023•陕西宝鸡•高二校考期中)已知a,beR,a'b,q+6=2,则()
A.\<ab<a+hB.
ah<\<------
22
C.ab<a+b<1D.a1+b2,1
------<ab<\
22
变式3.(2023・全国•高一专题练习)若x,y满/+/一刈=2,则()
A.x+y<2B.x+y>-2y/2C.x2+y2<4D.x2+y2>2
变式4.(2023・全国•高一专题练习)若。>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是()
A-ab2y/l.B.y[a+y/b4V2
21
C.—+—^3D.a2+h2>2
ab
变式5.(2023•山东青岛•高一校考阶段练习)若必>0,且a<6,则下列不等式一定成立的是()
A.a2Vb2B.丄<4
ah
「ba、—a+br-r
C.—+—>2D.----->yjab
ab2
变式6.(2023•全国•高三专题练习)如果OVaVbVl,P=^~,Q=国,M=4a+b>那么尸,0,
M的大小顺序是()
A.P>Q>MB.M>P>Q
C.Q>M>PD.M>Q>P
【方法技巧与总结】
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的使用条件,合理地拆项、配凑或变形.在拆
项、配凑或变形的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为
“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.
题型三:利用基本不等式证明不等式
ab
例7.(2023•全国•高一专题练习)己知Q>0,b>0,试比较五+斯与而+71的大小;
例8.(2023•全国•高一专题练习)已知Q>0,b>0fc>0,且a+b+c=l.求证:
例9.(2023♦全国•高一专题练习)设6,。均为正数,且Q+b+c=l,证明:
(l)a2+b2+c2>-;
变式7.(2023•全国•高一专题练习)已知a>0,6>0,且a+b=l,求证:++1*9.
变式8.(2023•全国•高一专题练习)若正数〃,b,c满足a+b+c=l.
⑴求ab+bc+ca的最大值;
(2)求证:—+—>1.
b+cC+Qa+h2
变式9.(2023・贵州黔西・校考一模)设力,。均为正数,且a+b+c=l,证明:
(\)a2+b2+c2>-;
3
33
(2)a3c+ba+cb>ahc.
变式10.(2023•全国•高一专题练习)已知4>0,Z?>0,c>0,求证:-+^-+—>a-\-b+c.
abc
变式11.(2023・陕西西安•高二西安中学校考期中)均值不等式等2疝(4>0力>0)可以推广成均值
>a+^>y[ab>"(a>0,b>0)
不等式链,在不等式证明和求最值中有广泛的应用,具体为:
21丄1
ah
a+b、2
(1)证明不等式丁,丁丁.
—I—
ab
(2)上面给出的均值不等式链是二元形式,其中/51?2空(0>0/>0)指的是两个正数的平方平均
数不小它们的算数平均数,类比这个不等式给出对应的三元形式,即三个正数的平方平均数不小于它们的
算数平均数,并尝试用分析法证明猜想.(〃个数的平方平均数为卜;+4+…d)
Vn
【方法技巧与总结】
利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件;
(2)多次使用基本不等式,要注意等号能否成立;
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
题型四:利用基本不等式求最值
1、直接法求最值
例10.(2023•上海杨浦•高二复旦附中校考开学考试)已知外6eR,且/+9必=1,则/的最大值
是.
例11.(2023•新疆乌鲁木齐•高一校考期中)已知a、b大于0,a+b-3,则ab的最大值是.
例12.(2023•甘肃兰州•高二兰州一中校考期末)己知若2a+b=4,则而的最大值
为.
变式12.(2023・全国•高一专题练习)若a>0,b>0,ab=4a+b+n,则ab的取值范围是.
变式13.(2023・北京顺义•高二北京市顺义区第一中学校考阶段练习)已知正数x,V满足x+y=4,若
a》孙恒成立,写出一个满足条件的a值____________.
变式14.(2023•全国•高一专题练习)已知正实数a,b满足色+纟=1则効的最大值为_________.
45
变式15.(2023•全国•高一专题练习)若正数见厶满足姉=4,则〃+6的最小值是.
变式16.(2023•辽宁大连•高三大连中学校考开学考试)已知x+y=2,则2'+2,的最小
值为.
4
变式17.(2023•广东佛山・高一统考期中)若x>0,则3x+-的最小值为;
x
2、常规凑配法求最值
亠亠4
变式18.(2023•高一课时练习)(1)当x>3时,求歹=x+—的最小值;
x-3
(2)当x>0时,求L+3X+6的最小值.
x+1
变式19.(2023•辽宁营口•高一校考阶段练习)求解下列各题:
(1)求y=,+j+4(*<o)的最大值;
(2)求y=f卜>1)的最小值.
变式20.(2023•江苏•高一专题练习)求下列函数的最小值
/1xX2+X+\
(1)y=--------(x>0);
x
变式21.(2023•全国•高一专题练习)(1)若x)>0,且2x+8y-盯=0,求x+N的最小值;
(2)若-4〈冗<1,求尸二2廿2的最大值.
2x-2
2r+l
变式22.(2023•河南潔河♦高一潔河四高校考阶段练习)(1)求不等式解集:二一21;
x-2
(2)设x20,求函数y=4+2)(x+3)的最小值.
X+1
变式23.(2023・全国•高一专题练习)已知。>6,且0厶=8,则丄出-2的最小值是()
a-b
A.6B.8C.14D.16
21
变式24.(2023•河北张家口•高三统考开学考试)己知。>1,〃>0,且一:=则2〃+6的最小值
a-\b
为.
3、消参法求最值
变式25.(2023・江苏•高一专题练习)若x〉4,y〉l,且k=12+x+4y,则工+歹的最小值是()
A.5B.8C.13D.16
变式26.(2023・全国•高一专题练习)已知x>0)>0,h+2x-y=10,则x+y的最小值为()
A.2应-1B.2竝C.472D.4后-1
变式27.(2023•江苏苏州•高二校考阶段练习)已知x>l,”0,且3y(l-x)=x+8,则x-3y的最小
值为.
变式28.(2023•天津和平•高二统考期末)已知</+y=](x,yeR),则/+3/的最小值是.
变式29.(2023・全国•高一专题练习)已知孙>0,Rx2+2xy=l,则幺+/的最小值为.
4、换元求最值
XV
变式30.(2023•全国•高一专题练习)设是正实数,且工+,=1,则一^+丄彳的最大值是________.
x+2y+l
21
变式31.(2023・全国•高一专题练习)已知正数x、V满足x+2歹=1,则^—尸+—丁的最小值为.
变式32.(2023•浙江•高二校联考阶段练习)若实数。,6满足力一4〃=4,则/+湖的最小值
为.
变式33.(2023•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)已知a,6,c均为正实数,
ab+ac=4,则*+亠+——的最小值是_________.
ab+ca+b+c
变式34.(2。23・浙江♦高三校联考阶段练习)设x一为正实数,若2宀+2所(则2宀的最小值
是()
A.4B.3C.2D.1
12
变式35.(2023・四川巴中•高三统考开学考试)已知x>y>0且4x+3y=l,则;^——+—丁的最小值
2x-yx+2y
为()
A.10B.9C.8D.7
5、“1”的代换求最值
1Q
变式36.(2023•全国•高一专题练习)已知正实数机,〃满足丄+±=4,则8〃?+"的最小值
mn
为.
变式37.(2023•陕西渭南•高二白水县白水中学校考阶段练习)已知x>0)>0,且2x+y=l,则丄+丄
xy
的最小值为.
变式38.(2023•广东东莞•高三校考阶段练习)已知x>0,y>0且x+2y=孙,则x+2y的最小值
是.
变式39.(2023・福建泉州•高一统考期中)已知两个正实数满足x+y=I,则町士的最小值是_____.
xy
21
变式40.(2023•天津滨海新•高一校考期中)已知%>04>0,且一+—=2,则R+3y的最小值
xy
为.
变式41.(2023・山东济南•高二济南外国语学校校考开学考试)已知若正数〃、b满足。+6=1,则
]+为的最小值为-
a+2
变式42.(2023・四川•校联考一模)已知正数x,y满足x+y=5,则一二+一二的最小值是_____.
x+2y+2
13
变式43.(2023•陕西渭南•高二校考阶段练习)已知XJER'且满足一+—=1,则x+3y的最小值
xy
为.
变式44.(2023♦全国•高一专题练习)已知正数x,y满足x+2y=3,则一^的最大值为.
19
变式45.(2023,全国•高一■专题练习)已知a+h+c=1f其中a,b,c>0,则一■F------的最小值为
aD+c
2Q
变式46.(2023・全国•高一专题练习)若o<"4,则一+—的最小值是________.
a4-a
6、△法
变式47.(2023•湖南衡阳•衡阳市八中校考模拟预测)已知实数XJ,满足丁+盯+3/=3,则x+y的
最大值为()
A3>AT6VHy/3+15/3+3
A.-----oD•------Lrz•-------Dn.-------
111133
变式48.(2023•全国•高三专题练习)已知a>0,b>0,满足3/〃-2/_3〃+9=0,则亚+2的最小
ah
值是()
A.2屈B.4>/3C.4>/6D.6万
7、条件等式求最值
变式49.(2023•江苏盐城•高一校联考期中)已知x>0,y>0,且x+2y=l.
(1)求孙的最大值;
(2)求2+丄的最小值.
xy
变式50.(2023•浙江台州•高一校联考期中)(1)已知2<a<3,l<b<4,求2a+6的取值范围;
(2)已知正数x,y满足x+2夕=2.
(i)求孙的最大值;
21.
(ii)求一+一的最小值.
xy
变式51.(2023•河北石家庄•高一校考期中)(1)已知0<x<g,求尸;x(l-2x)的最大值
4
(2)已知了<3,求^=^+2x的最大值
x-3
13
(3)已知x〉0,y>0,且x+y=4,求一+一的最小值
%y
变式52.(2023・湖北•高一校联考阶段练习)己知为正实数,且内=」.
a+b
⑴求而的最大值;
(2)是否存在使得丄+』的值为指?并说明理由.
ab
变式53.(2023•全国•高一专题练习)(1)已知且4x+y-盯=0,求工+歹的最小值.
(2)已知x/cR*,且4x+y-xy=0,求孙的最小值.
变式54.(2023•江西九江♦统考一模)已知。也c均为正实数,且/+/+《2=2.
(1)求。+6+。的最大值;
111
⑵求-------1--------1-----的--最小值.
a+hh+cc+a
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值,要通过恒等变形以及配凑,使“和”或“积”为定值,从而求得代
数式的最大值或最小值.
(2)若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值:若是求积的最大值,通常化(或利用)和为
定值,解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.
题型五:利用基本不等式求解恒成立问题
例13.(2023•全国•高一专题练习)已知不等式(x+砂对任意正实数苍丁恒成立,则正实数
。的最小值为()
A.2B.4C.6D.9
21
例14.(2023・全国•高一专题练习)若对工>0,>>0,有(x+2y),(一+—)之机恒成立,则川的取值范围
“y
是()
A.w<4B.m>4
C.〃?<0D.w<8
例15.(2023•全国•高一专题练习)若对任意x>0,工3+5产+4%20?恒成立,则实数。的取值范围是
()
A.a>5B.5<a<9C.a<5D.a<9
变式55.(2023•全国•高一专题练习)若不等式幺/+3对任意正数〃力恒成立,则实数x的
最大值为()
A.72B.2C.y/3D.1
变式56.⑵23.全国•高一专题练习)已知正数。,6满足卜户,若不等式吋+栏+2b2m
恒成立,则,"的最大值为()
93C.应D.^2
A.-B.-
424
49
变式57.(2023•全国•高一专题练习)已知若二+”^21恒成立,则人的最大值为()
abz+1
A.4B.5C.24D.25
变式58.(2023・全国•高一专题练习)已知实数小N满足x+y-v=0,且肛>0,若不等式
4x+9y—20恒成立,则实数f的最大值为()
A.9B.12C.16D.25
变式59.(2023•全国•高一专题练习)己知正实数x,y满足2x+3y-杪=0,若3x+2yNf恒成立,则实
数f的取值范围是()
A.r<25B./<25C.fW24D.^>24
41
变式60.(2023•全国•高一专题练习)若正数满足x+N=l,且不等式一-+一一加之0恒成立,则实
x+1y
数〃?的最大值为()
4427「149
A.—B.—C.D.一
7532
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求解恒成立问题,通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值
题型六:基本不等式在实际问题中的应用
例16.(2023•江苏扬州•高一校考阶段练习)已知。、b、c、d为正实数,利用平均不等式证明(1)(2)
并指出等号成立条件,然后解(3)中的实际问题.
(1)请根据基本不等式。+6N2j%(a,beR+),证明:a+b+^+d>^a-b-c-d;
(2)请利用(1)的结论,证明:"+,爲标T7;
(3)如图,将边长为0.5米的正方形硬纸板,在它的四个角各减去一个小正方形后,折成一个无盖纸盒.如
果要使制作的盒子容积最大,那么剪去的小正方形的边长应为多少米?
例17.(2023・广东深圳•高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习)(1)己知正实数a,b,c满足
a2+b2=2c2,求£+:的最小值;
ab
(2)某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用
的化工产品,已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)
之间的函数关系可近似地表示为y=200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值
为100元.该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
例18.(2023•福建莆田•高三莆田二中校考开学考试)近日,随着暑期来临,莆田市政府积极制定政策,
决定政企联动,决定为某制衣在暑假期间加班追产提供x(xe(0,2可)(万元)的专项补贴.某制衣在收到莆
田市政府x(万元)补贴后,产量将增加到f=(x+3)(万件).同时某制衣生产t(万件)产品需要投入成
本为(7f+q+3x)(万元),并以每件(8+8)元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+政
tt
府专项补贴-成本.
(1)求某制衣暑假期间,加班追产所获收益y(万元)关于政府补贴x(万元)的表达式;
(2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时,某制衣暑假期间加班追产所获收益>(万元)最大?
变式61.(2023•高一单元测试)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25
元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该
商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调
整,并提高定价到x元.公司拟投入-600)万元.作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投
0
入1万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销
售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.
变式62.(2023•高一课时练习)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边
形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形N88和MG//构成面积为200米2的十字形
区域,且计划在正方形仞VPK上建一座花坛,其造价为4200元/米2,在四个相同的矩形上(图中的阴影部
分)铺花岗岩路面,其造价为210元/米2,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/米2.
(1)设4。的长为x米,试写岀总造价。(单位:元)关于x的函数解析式;
(2)问:当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.
变式63.(2023•新疆乌鲁木齐•高一校考期末)(1)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,求这个
矩形菜园的最大面积.
(2)用篱笆围一个面积为64m2的矩形菜园,求所用篱笆的最短值.
变式64.(2023•全国•高一专题练习)汽车在隧道内行驶时,安全车距d(单位:m)正比于车速v(单
位:km/h)的平方与车身长/(单位:m)的积,且安全车距不得小于半个车身长.当车速为70km/h时;
安全车距为19.6个车身长.
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距d与车速v之间的函数关系式;
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车,车身长为10m,当速度为多少时该车队通过(第一辆车头进
隧道起,到最后一辆车尾离开隧道止,且无其它车插队)长度为800m的隧道用时最短?
【方法技巧与总结】
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性
质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【过关测试】
一、单选题
1.(2023,全国•高一专题练习)已知。>0,b>0,a+2b=4,则ab的最大值是()
A.72B.2C.4D.3
2.(2023・高一课时练习)设则下列各式中正确的是()
A.x>^^>4xy>yB.y>x;)>yfxy>x
C.x>>y>4xyD.y>^^->^xy>x
3.(2023・全国•高一专题练习)已知x>y>0,则三士。的最小值是()
xy-y
A.2+V3B.y/5+2
c.2V2+2D.2
4.(2023・全国•高一专题练习)在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一:小明
将5克的祛码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的祛码放在右盘,
取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品()
A.大于20克B.小于20克
C.大于等于20克D.小于等于20克
14
5.(2023・全国•高一专题练习)已知正数xj满足x+y=l叫+不7的最小值为()
59
A.B.2C.D.6
32
12
6.(2023•全国•高一专题练习)已知正实数'J满足一+—=1,则2k-2%-歹的最小值为()
%y
A.2B.4C.8D.9
7.(2023♦全国•高一专题练习)已知。,匕为正实数,且"+2。+6=6,则下列选项错误的是()
A.仍的最大值为2B.+6的最小值为4
C.6的最小值为3D.」二+丄的最小值为农
a+lb+22
8.(2023•全国•高一专题练习)已知。>0/>0,则下列命题错误的是()
A.若風”1,则丄+丄N2
ab
19
B.若。+6=4,则一+7的最小值为4
ab
C
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