2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评六十三

核心素养测评六十三

圆锥曲线中的定值与定点

（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.若动圆C的圆心在抛物线y2=4x上,且与直线Z:x=-1相切，则动圆C必过一个

定点,该定点坐标为（）

A.(1,0)B.(2,0)

C.(0,1)D.(0,2)

【解析】选A.由题得，圆心在y2=4x上，它到直线/的距离为圆的半径，/为y2=4x

的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，

故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点（1,0）.

2.如風过抛物线yz=4x焦点F的直线依次交抛物线与圆（xT）2+y2=l于A,B,C,D,

则|AB|・|CD|=（）

A.4B.2C.1D.1

【解析】选C.抛物线焦点为F(l,0),|AB|=|AF|T=x,|CD|=|DF|T=x，于是

AD

IAB|•|CD|=x•x=—=1.

AD4

3.直线I与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,0为坐标原点,若直线OA,0B的斜率分

别为k,k,且满足kk旦则直线I过定点()

1212g

A.(-3,0)B.(0,-3)

C.⑶0)D.(0,3)

【解析】选A.设A(x,y),B(x,y),

1122

因为kk二士,所以空•纪工.

123必切3

又资=2X/H=2X2,所以

设直线/:x=my+b,代入抛物线C:y2=2x得y2-2my_2b-0,所以yy--2b-6,得b=-3,

12

即直线/的方程为x=my-3,所以直线/过定点(-3,0).

4,已知双曲线片-二=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB

力2b2

交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k,k,若直线AB过原点，则k-k的值为

1212

()

A.2B.3C八"D.、后

【解析】选B.由题意知，e二士二；1+1=2=b2=3a2,

nyja2

则双曲线方程可化为3x2-y2=3a2,

设A(m,n),M(x,y)(xH±m),

000

则B(-m,-n),k-k=5・3'o+n=*-筋=347d・扌现2+3“2=3

12x-mXQ-m22

nx0+mx0-m

二、填空题(每小题5分，共20分)

-2-

22

5.已知椭圆C的方程为匚世二=1,A,B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同

于A,B的动点,直线x=4与直线PA,PB分别交于M,N两点,若D(7,0),则过D,M,N

三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为.

［解析］由题意知,A(-2,0),B(2,0),设P(x。,yh则,即有y产3(1-日》

设PA,PB的斜率为k,k,

12

,.2q

贝ijk•k=亠

12谧-44

设PA：y=k(x+2),则M(4,6k),PB：y=k(x-2),

112

则N(4,2k),k=-些l=-2k,k=--k,

2DM41DNm2

因为k-k=7,所以MN为过D,M,N三点的圆的直径.设圆过定点F(m,0),

DMDN

贝U也X也=1，

4."m4.-n?

解得m=1或m=7(舍去)，故过点D,M,N三点的圆是以MN为直径的圆，过定点

F(1,0).

答案：(1,0)

6.已知椭圆C：—+y2=l,过椭圆C的右焦点F作直线I交椭圆C于A,B两点，交y

轴于M点,且点B在线段FM上,贝||胆一更"=_______,

\BF\\AF\

【解析】设AB：y=kx-2k,

-3-

A(x,y),B(x,y),

1122

则|M5|」MA|

\BF\\AF\

--y2--V1

X-J-2

由卜=h-2k,

-2(x1-bx2)-2x1r2

4-2Cx1+x2)+x1X2+5y2-5,

可得(1+5k2)X2-20k2x+20k2—5=0,

2M220欠2-5

=4。/-44)卜2+10=_〔0

所以.

\BF\\AF\£_”，2。/,2。疋2-52仙2+4-40卜2+-；＞0"2_耳

4L2

故填-10.

答案：-10

7.已知曲线P上的点到(2,0)的距离比到直线x=-5的距离小3,直线/与曲线P

1

交于M(x,y),N(x,y)两点，点P(x,y),Q(x,y)在曲线P上，若x,x,x,x均不

112233441234

相等，且k=-k,则k+k+k+k=.I―I

MPNQMNNPPQQMI____I

【解析】因为曲线P上的点到(2,0)的距离比到直线x=-5的距离小3,所以曲线

P上的点到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等,

故曲线P：y2=8x,则

k二%一%二8

1m切一布那一訳乃小

同理可得kT—,k=-^—,k——,

P0QM

2乃+》'2Va+y，yA+yi

k=--,k=_■--,由于k二一k,

MPy,+》，2M)勿+3厶MPNQ

-4-

贝ij---=-_-—,可得y+y+y+y=0,

乃十)"W>+y&1234

由此可得=即k=-k,

以十九y,2+yzOM*

同理有，即k=-k,

vi+y?乃十以MNPQ

故k+k+k+k=0.

MNNPPQQM

答案：0

22

8.(2019•咸阳模拟)已知F,F为双曲线匚-二=1(a>0,b>0且aWb)的两个焦点,P

1

2n2h2

为双曲线右支上异于顶点的任意一点,0为坐标原点.给出下面四个命题：

①APFF的内切圆的圆心必在直线x=a上；

12

②^PFF的内切圆的圆心必在直线x=b上；

12

③APFF的内切圆的圆心必在直线0P上；

12

@APFF的内切圆必经过点(a,0).

12

其中所有真命题的序号是.

【解析】设aPFF的内切圆分别与PF,PF切于点A,点B,与FF切于点M,则

121212

|PA|二|PB|,|FA|=|FM|,|FB|=|FM|,又点P在双曲线的右支上,所以

1122

|PF|-|PF|=2a,设点M的坐标为(x,0),贝寸由|PFHPF|=2a,可得

1212

(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴.由以上

分析易知，①④正确，②③错误.

答案:①④

三、解答题(每小题10分，共20分)

-5-

9.(2020•北京模拟)已知椭圆C《+y2=l(a>l)的离心率为虫.

(1)求椭圆C的方程.

⑵设直线I过点M(l,0)且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线x=3的垂线,

垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.

代=L

【解析】(1)由题意可得上二色，解得a入3,b=1,所以椭圆C的方程为

a3

\a2=b2+c2

r2

——+y2=1.

(2)直线BD恒过x轴上的定点(2,0).证明如下：

①当直线/斜率不存在时，直线/的方程为x=1,

不妨设A(1,¥)，B(I「?)，D(3，F)

此时，直线BD的方程为:y土(x-2),所以直线BD过定点(2,0).

②当直线/的斜率存在时，设A(x,y),B(x,y),直线AB的方程为

1122

y=k(x-1),D(3,y).

1

由.)一“，.入1，得：(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.

+3y2=3

所以X+xe，A­—,XX.......(*)

1212^k24-1

直线BD的方程为：y-y二"Zl(x-3),只需证明直线BD过点(2,0)即可.

1到-3

令y=0,得x-3=-2日红0,

-6-

所以xJyzTjryiQ+sy”？%一%，2

y2-yiyi-yi

=AX2-3-X1X2即m4/-3一火1t二2,

X7-XyX7-Xi

即证2a?+芻）”x=3.

将（*）代入可得2（打+招）-

所以直线BD过点（2,0）,

综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2,0）.

10.（2019•石家庄模拟）已知椭圆C:日工=1（a>b>0）的离心率为我,椭圆

1（72h22

C:二+2±=l（a>b>0）经过点（史，史）.

2"2勛2V79J

（1）求椭圆C的标准方程.

1

⑵设点M是椭圆C上的任意一点,射线M0与椭圆C交于点N,过点M的直线I

12

与椭圆C有且只有一个公共点,直线/与椭圆C交于A,B两个相异点,证明：ANAB

12

的面积为定值.

【解析】（1）因为C的离心率为我,

1R

所以左,解得a2=3b2.①

9n2

将点但与代入二+工=1,

V?7J3a23b2

整理得丄+丄=1.②

j./?2ah2

联立①②，得a2=1,b2=L,

-7-

故椭圆C的标准方程为X2+E=1.

1£

7

⑵①当直线I的斜率不存在时，点M为(1,0)或(-1,0),由对称性不妨取

M(l,0)，

由⑴知椭圆C的方程为一+y2=1,

2R

所以有N(-遅，0).

将x=1代入椭圆C的方程得尸土在，

2R

所以S.B中MN|・MB|

号(6+1)手=扬当

②当直线I的斜率存在时，设其方程为y=kx+m,

将y=kx+m代入椭圆C的方程

1

得(1_|_3k2)x2+6kmx+3m2-1=0,

由题意得△=(6/cm)2-4(1+3k2)(3降一l)=o,

整理得3m2=1+3k2.

将y=kx+m代入椭圆C的方程，

2

得(1+3兑2)x2+6kmx+3m2-3=0.

设A（XI,%）,B（X2,%），