2022届新高考开学数学摸底考试卷8

2022届新高考开学数学摸底考试卷8

一、单项选择题：（每题5分，共40分）

1.函数产xcosx+sinx在区间［-兀，7t］图象大致为（）

2.若把单词“ermr”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）

A.17B.18C.19D.20

3.（x+f）（x+y）5的展开式中Ty3的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据（4y）（i=l,2,,20）得到下面的散点图:

100%

80%

出60%

我40%

20%

0

由此散点图，在10℃至4（TC之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型

的是（）

A.y=a+hxB.y=a-\-bx2

C.y=a+hexD.y=a+blnx

5.设函数为R上的增函数，a、beR,则a+是+a）+/（—b）的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.充分不必要条件

6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”,

事件B为“小赵独自去一个景点”，则P（8|A）=（）

3456

A.-B.-C.-D.一

7777

7.已知函数/（力是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=-当XG[—2,0）时，f（x）=ex,则

/（2018）+/（2021）+/（2022）等于（）

A.—B.—C.一。D.e

ee

8.已知定义在R上的函数y=/（x）的导函数为广（X）,满足/（x）＞/'（x）,且/（0）=2,则不等式

〃力＞2炉的解集为（）

A.（-℃,0）B.（0,+e）C.（-8,2）D,（2,+8）

二、多选题：（选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）

9.对于函数=下列判断正确是（）

A./(-x+l)+/(x-l)=0

B.当Me(O,l)时，方程/(力=加有唯一实数解

C.函数“X)的值域为(Y),+8)

“x)-〃叽0

D.Vx产x2，

xl-x2

10.设〃％)=》2+改+6,a,8eE.若〃力=%无实根，则下列结论成立的有()

A.当x>0时，/(x)〉0B.VxeR,/(%)>%

C.VxeR,/(/(%))>%D.IreR,使得/(/(x))=x成立

11.如图，已知直线丫=区+加与曲线y=/(x)相切于两点，则尸(x)=〃x)-丘有()

A.1个极大值点，2个极小值点B.2个零点

C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点

12.已知函数/(x)=xlnx,若0＜玉＜々，则下列结论正确的是()

A.%/(内)"/(%)

B.%+/(%)＜尤2+/(%)

C」(七)-/(“2)＜0

西一々

D.当,＜王＜X2时，X\fM+Xlf(X2)＞2xif(^l)

e

三、填空题：(每题5分，共20分)

13.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

14.已知A为抛物线C:y2=2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到)，轴的距离为9,则

P=

15.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工

作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1OOO,5()2),且各个元件能否正常相互

独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

16.一个盒子里有2个红I个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取

球停止时拿出黄球的个数为随机变量4,贝”值=0）=_,E《）=.

四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.记函数f（x）=lg（l-办）的定义域、值域分别为集合A,B.

（1）当。=1时，求AB；

（2）若“xwA”是8”的必耍不充分条件，求实数。的取值范围.

比2v2

18.设椭圆C：T+方=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为6，F?,下顶点为A,。为坐标原点，点。到

直线AF,的距离为立，46居为等腰直角三角形.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若倾斜角为45。的直线经过椭圆C的右焦点工，且与椭圆C交于M,N两点（M点在N点的上方），

求线段“6与NF2的长度之比.

19.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容

量为7的样本进行分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

学生序号i1234567

数学成绩X,60657075858790

物理成绩/70778085908693

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩

均为优秀的人数为求4的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩%的线性回归方程(系数精确到o.oi)；若班上某位同学的数

学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：线性回归方程y=+a,

其中匕=-..------------->a-y-bx-

Z（x,-x）2

/=1

7_7__

£（%-幻2工(七一%)(以一)0

Xy

1=1/=1

7683812526

20.已知函数)>=〃x),若在定义域内存在修，使得了(一天))=-/伉)成立，则称与为函数/(x)的局

部对称点.

(1)证明：函数”x)=2*-l在区间［-1,2］内必有局部对称点;

(2)若函数/(*)=4'-次2田+〃22-3在R上有局部对称点，求实数，〃的取值范围.

已知函数/(x)=(x-k)。/,

(I)求/(X)的单调区间；

(II)若对于任意的xe(O,+8),都有求左的取值范围.

e

22.设函数/(工)=111%—“(％—1)，，其中0<a<,.

e

(1)证明：/(x)恰有两个零点；

(2)设不为“X)极值点，%为“X)的零点，且百>%,证明3%-苍>2.

2022届新高考开学数学摸底考试卷8

一、单项选择题：(每题5分，共40分)

1.函数)fcosx+sinx在区间［-兀，兀］的图象大致为()

【答案】A

【解析】

【分析】

首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在％=乃处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】因为/(x)=xcosx+sinx,则/(-x)=-xcosx-sinx=-/(x),

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CO错误；

且％=乃时，y=；rcos〃+sin万=一乃＜0,据此可知选项8错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，

判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)

从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

2.若把单词“enw”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为()

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

结合排列组合的知识，利用分步乘法计数原理求得5个字母排成一排所有可能的写法的种数，则可确定错

误写法的种数.

【详解】解：将5个字母排成一排，可分三步进行：

第一步：排号。，共有&=20种排法；

第二步：排三个r,共有C；=l种排法；

将5个字母排成一排共有20x1=20种排法，

・••可能出现的错误写法的种数为20-1=19种；

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够采用分步的方式，确定所有可能的结果的种数.

3.（x+E）（x+y）5的展开式中xY的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

求得（x+»展开式的通项公式为J=C"-y（reN且r<5）,即可求得x+匕与（x+4展开式

\X7

的乘积为或C；X4-J「+2形式，对「分别赋值为3,1即可求得1寸的系数，问题得解

【详解】（1+丫）5展开式的通项公式为7；+1=。#5-?，（r6"且八45）

所以龙+匕的各项与（x+y）5展开式的通项的乘积可表示为：

Ix）

22

X&=咫产了和匕&尸匕。产了=c>4-y+2

XX

3

在"中，令r=3,可得：XT4=C^y,该项中支/的系数为第，

22

在21工句=Gx"jr+2中，令厂=1,可得：匕7；=C#3y3,该项中丁,3的系数为5

XX

所以Yy3的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.

4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率〉和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据(4%)(，・=12,20)得到下面的散点图：

100%

80%

榔

软60%

取40%

20%

0

由此散点图，在10℃至40。＜3之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型

的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【解析】

【分析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是y=a+〃nx.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

5.设函数/(x)为R上的增函数，“、b&R,则。+人之0是〃。)+/伍)2/(—a)+f(—〃)的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.充分不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

先证充分性，^a+b>0,则。2-匕，b>-a,根据函数/(x)为R上的增函数结合不等式的基本性质求

解，必要性，采用反证法，假设。<-6,b<-a,根据函数/(x)为R上的增函数结合不等式的基本性质

求解.

【详解】若。+方20,则〃之一力，h>-af

因为函数/(x)为R上的增函数，

所以/(。)2/(")，/伍)2/(-

由不等式的加法得：

/(a)+〃〃)N〃—a)+〃询,

故充分；

反之，若〃。)+/伍)之/(一。)+/(—/?),假设〃<一。，b<-a

因为函数/(x)为R上的增函数，

所以/(")</(—8),/(〃)</(-«),

由不等式的加法得：

f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),与题设矛盾，

则假设不成立，故必要；

故选：C

【点睛】本题主要考查充要条件的判断以及函数单调性，不等式的基本性质和反证法的应用，属于基础题.

6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”,

事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(8|力)=()

34「56

7777

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.

【详解】设事件A="4个人去的景点不相同”，

事件8="小赵独自去一个景点”，

44-4_63

则P(A)

44-64

4.3327

P(B)

64

则「网I3

7

故选：A

【点睛】本题主要考查分组分配问题、古典概型概率公式，考查了条件概率的求解，属于中档题.

7.已知函数是定义在R上的奇函数，且/(x+4)=—/(%),当XG[-2,0)时，“力=",则

“2018)+“2021)+“2022)等于()

11

A.-B.——C.~eD.e

ee

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数满足〃x+4)=-〃X),得到函数“X)的周期是8,再由xe[—2,0)时，f(x)=ex,且函数

/(%)是定义在/?上的奇函数，将/(2018)+/(2021)+/(2022)转化求解.

【详解】因为函数满足/(x+4)=-/(x),

所以/(x+8)=-/(x+4)=〃x),

所以函数/(x)的周期是8,

又当xe[—2,0)时，/(x)=/,且函数/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(2018)+〃2021)+/(2022),

=八2)+/(5)+〃6)，

=/⑵-/⑴-42)，

=/(-1)=；-

故选：A

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.

8.已知定义在R上的函数y=/(x)的导函数为尸(X),满足/(x)>r(x),且"0)=2,则不等式

/(力>2/的解集为()

A.(-<»,0)B,(0,+a?)C.(-双2)D.(2,+8)

【答案】A

【解析】

分析：先构造函数g(x)=/段，再根据函数单调性解不等式.

e

详解：令g(x)=^^,因为g'(x)=<0,g(o)=2

ee

所以/(X)>2ex=>g(x)>g(0)=>x<0

因此解集为(-8,0),

选A.

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅

助函数常根据导数法则进行：如:(尤)</(X)构造g(x)=/孚，r(x)+/(x)<0构造g(x)=e"(x),

e

xf\x)</(%)构造g(x)=9,xf\x)+f(x)<0构造g(x)=V(x)等

X

二、多选题：(选错不得分，漏选得3分，每题5分，共20分)

Y

9.对于函数下列判断正确的是()

A./(-x+l)+/(x-l)=0

B.当初€(0,1)时，方程/(力=现有唯一实数解

C.函数/(X)的值域为(f+8)

D.V心岂止3〉。

玉—x2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐项判断即可.

【详解】解：、+工^=0,故"X)为奇函数，对于A,令f=1,即〃T)+〃f)=O,

正确，故A正确；

X1

当x>0时，/(%)=——=1--------,

l+x1+X

.•・/(X)在(0,48)上单调递增，

又/(0)=0,外幻=4<1,且/(X)是奇函数，

・・・/(X)的值域为(—1,1).

•••/(%)的单调增区间为(-8,+8).

故B正确，C错误，

•.•/(X)的单调增区间为(7,+8),故V光工X,,〉0正确.D正确；

王一马

故选：ABD.

【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性值域等性质，属于中档题.

10.设/(力=/+以+。，4,/?€/?.若/(尤)=%无实根，则下列结论成立的有()

A.当尤>0时，/(%)>0B.VxeR,/(%)>%

C.VxeR,/(/(x))>xD.HxeR,使得〃〃x))=x成立

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由题意分析可推出〃龙)的图像恒在丁=”的上方，即〃x)>x恒成立，可判断选项A,B；

设f=〃x),利用〃x)>x恒成立,判断CD即可.

【详解】若〃"=，无实根,

因为=+人对应的抛物线开口向上，

所以〃x)的图像恒在y=》的上方,

即成立，故B正确；

当x>0时，/(x)>x>0,故A正确；

由/(x)>x成立，

可设f=/(x),

贝II/«)>「=/(尤)>X,

即VxeR,/(/(%))>%,故C正确；D不正确.

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求解不等式的问题.属于较易题.

11.如图，已知直线丫="+加与曲线y=/(x)相切于两点，则尸(x)=/(x)-乙有()

C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点

【答案】AC

【解析】

【分析】

由图像知，根据函数/(x)有一个极大值点，两个极小值点，判断尸(力=/(尤)一左的符号即可得出A正

确；f{x}>kx+m,k<0,m>0,则/(x)之/〃>0,则*x)=/(x)没有零点，C正确.

详解】解：

直线y=丘+机与曲线y=相切于两点,

二依+m=/(x)有两个根，且

由图象知％<0,m>0,则/(x)-AxN机>0

即F(x)=/(x)-依>0,则函数F(x)=/(x)-Ax,没有零点，故C正确.

函数/(x)有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，

设/(力的三个极值点分别为a,b,c,不妨设a<b<c,

则尸(x)=/'(x)—3

①当xe(-co,a)时，由图像知，/(x)图像上任意一点的切线斜率都小于A,

即/,(x)<A<0,F'(x)=/'(x)-A;<0,所以/(力=/(%)-日在(-8,4)递减，

②当xe(a⑼时，由图像知，/(x)图像上任意一点的切线斜率都大于0,

即/(力〉0,尸(力=f'(x)T>0,所以尸(x)=/(x)-依在(a,b)递增，

③当xe伍,c)时，由图像知，/(x)图像上任意一点的切线斜率都小于Z,

即/'(x)<%<0,F'(x)=/'(x)-^<0,所以F(x)=/(x)-依(fo,a)递减,

④当xe(c,+oo)时，由图像知，/(x)图像上任意一点的切线斜率都大于0,

即/(x)〉0,F'(x)=/'(%)-*>0,所以尸(x)=/(x)-依在(c,+8)递增，

综合①②③④有，F(x)=/(x)-依有1个极大值点，2个极小值点，故A正确.

故选：AC.

【点睛】考查函数零点以及极值点个数的判断，函数的零点个数转化为方程解的个数或与x轴交点的个数,

函数的极值点个数转化为其导函数变号零点的个数，中档题.

12.已知函数/(x)=xlnx,若0<玉<々，则下列结论正确的是()

A.x2/(x1)<x,/(x2)

B.%+/(%)<々+/(工2)

/(%,)-/(%,)<()

,%-々

D当，<玉<龙2时，X|/(X|)+x2/(x2)>2x2f(%j)

【答案】AD

【解析】

【分析】

设g(x)="i=lnx,函数g(x)单调递增,可判断A；设/z(x)=/(x)+x,则〃'")=加％+2不是恒

X

大于零，可判断B；f(x)=xlnx,/'(x)=/nx+l不是恒小于零，可判断C；当x，时，lnx>-\,故

r(x)=/nx+l〉O,函数/(x)=xlnx单调递增，故

-%)[/5)-/(%)]=%J(内)+)-W(内)-%J(々)>0,

即罚/(%])+工2/(工2)>工2/(%)+%/(%2)，由此可判断D.得选项.

【详解】设g(x)=/3=lnx,函数单调递增，所以g(x,)>g(x),所以即有

Xx2X)

%了(工2)>*2/(X|)，故A正确；

设Mx)=f(x)+x,则”(x)=/nx+2不是恒大于零,所以X]+/(%)<*2+/(工2)不恒成立，故B错误:

f(x)=xlnx,_T(X)=/TU+1不是恒小于零，所以,/(*)-/"?)<0不恒成立,故C错误；

%-%2

当x>g时，hvc>—1,故/'(x)=/〃x+l>0,函数〃无)=xlnx,x>，单调递增，

故(々-%)[/(々)-/(h)]=%/(%)+9/“2)72/(内)-％/(*2)>。,

即尤1/(玉)+々/(工2)>工)(七)+七/(工2)，又Inx?=/(々)>"')=InX],所以%〃%,)>/〃％),

x2X]

所以工2〃%)+%/(X2)>2*2/(%)，所以有』1(丁)+为2/(“2)>2%2/&)，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.

三、填空题：(每题5分，共20分)

13.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【答案】y=2x

【解析】

【分析】

设切线的切点坐标为(%,%)，对函数求导，利用y1=2,求出毛,代入曲线方程求出先，得到切线的

点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为(/,%)，y=Inx+x+1,V=!+1,

X

y|,v『=」-+1=2,%=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

xo

所求的切线方程为y-2=2(x-l),即y=2x.

故答案为：y=2x.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

14.已知A为抛物线C：y2=2px(〃>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12,到)，轴的距离为9,则

P=.

【答案】6

【解析】

【分析】

根据点A到C的焦点的距离为⑵由抛物线的定义得到|A同=4=12,然后由点A到y轴的距离为9,

得到％=9求解.

【详解】设抛物线的焦点为F,因为点A到C的焦点的距离为12,

所以由抛物线的定义知=4+曰=12,

又因为点A到y轴的距离为9,

所以4=9，

所以£3,

2

解得26.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.

15.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工

作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1O()O,5()2),且各个元件能否正常相互

独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

元件1

【答案】不

【解析】

设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P（A）=P（B）=P（C）=g,

二该部件的使用寿命超过1000的事件为（A耳+4B+AB）C.

该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=U-xi+lxl+lxi|x■L=3

（222222）2-8

16.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取

球停止时拿出黄球的个数为随机变量小，则P（€=0）=_,E（J）=.

【答案】（1）.1（2）.|

【解析】

【分析】

根据题意求得4的取值，结合题意，求得其分布列，则P（4=0）,七偌）得解.

【详解】根据题意可知,4可取0,1,2,

]_

2

（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）

^=1)=2X1+2X1X2+1X1X2=1

,,525435233

（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球;

第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球;

第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）

外=2)=1-2(=1)-。(=。)=，

故E(J)=Ocx—1+,lx-1+2Cx—12.

2363

12

故答案为：-；—.

23

【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.

四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.记函数/(乃=坨(1一G：2)的定义域、值域分别为集合A,B.

(1)当(7=1时，求AB；

(2)若"xeA”是“xw8”的必要不充分条件，求实数”的取值范围.

【答案】(1)(-1,0];(2)(«,()].

【解析】

【分析】

(1)由对数函数的定义域和值域求得集合A,正根据集合的交集运算可得答案；

(2)由已知条件可得B是A的真子集，从而可求得a的取值范围.

【详解】(1)a=l时，/(X)=lg(l-X2)'由1一/>0得-1<x<1,即A=(-1,1),

由0<1—％2<1得8=(—,0],

(2)“xwA”是“xwB”的必要不充分条件，则8是A的真子集，若a>0,

则由1—办2>。得一JI<x<产，即A=(-与(1)类似得8=(-8,0],不合题意，

若a=0,则〃x)=lgl=0,即4=尺3={0},满足题意，

若。<0,贝门—办221，A=R,8=[0,­)，满足题意.

综上a的取值范围是(-8,0].

【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题.

V-22

18.设椭圆。：二+占v=1(。>。>0)的左、右焦点分别为耳，B，下顶点为A,。为坐标原点，点。到

crb"

直线4月的距离为丝，居为等腰直角三角形.

2

(1)求椭圆C的标准方程;

（2）若倾斜角为45。的直线经过椭圆C的右焦点工，且与椭圆C交于M,N两点（M点在N点的上方），

求线段MF2与NF2的长度之比.

【答案】⑴⑵景

【解析】

【分析】

（1）写出直线A入的方程，由点。到直线A8的距离可得&=&儿，为等腰直角三角可得b=c,

结合即可得到椭圆标准方程.

（2）写出经过右焦点与，倾斜角为45。的直线方程并与椭圆方程联立，可得为,和y”从而得到所求长度

之比.

【详解】（1）由题意可知：直线AF,的方程为二+2=1,即一反+cy+bc=O,

c-b

「bebe*/2

点。到直线AE）的距离为—,则/==—=——>a=y/2bc

2^lb2+c2。2

因为八4百工为等腰直角三角形，所以h=c,可得a=®2,

又a2=〃+c2,可解得&=&，b=l,c=l,

所以椭圆C的标准方程为三+y2=l.

2

（2）倾斜角为45。的直线经过椭圆。的右焦点与，则直线方程为y=x-1,

V=x-1,1

联立c2C，得3y2+2y—1=0,所以y=-1或二，

x+2y=23

所以M玛=H=1.

-

NF2|-1|-3

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分析能力和计算能力，属

于基础题.

19.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容

量为7的样本进行分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表:

学生序号i1234567

数学成绩X,60657075858790

物理成绩必70778085908693

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩

均为优秀的人数为J，求J的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩）'关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数

学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：线性回归方程丁=加+〃，

_

工（七一龙）（》7）

其中人=旦~^------------，a=y-bx

之（西-九）2

i=\

7_7__

£（七7）2

Xy

1=1i=\

7683812526

【答案】（1）不同的样本的个数为c；4cl

9

（2）①分布列见解析，E^）=-.

②线性回归方程为y=0.65%+33.60.可预测该同学的物理成绩为96分.

【解析】

【分析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.

（2）7名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数J服从超几何分布，

故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预

测该同学的物理成绩.

7

【详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为一x24=4名,

42

7

18名男同学中应抽取的人数为一xl8=3名，

42

故不同的样本的个数为C。二

（2）①名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，

二4的取值为0,1,2,3.

，叱。）噌《P（X）=等嗤

C：C；=12「31

P(DP(J=3)=T=—

~C[~~35'7C；35

•••J的分布列为

0123

418121

P

35353535

八c4,18c12cl9

/.E(j)=0x--F1x---F2x---F3x—=一.

'，353535357

②•.•/,=当。0.65,a=y-bxx=83-0.65x76=33.60.

912”

...线性回归方程为y=0.65x+33.60-

当x=96时，y=0.65x96+33.60=96.

可预测该同学的物理成绩为96分.

【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超凡何

分布等）.

20.已知函数y=〃x）,若在定义域内存在%,使得/（一与）=-/（%）成立，则称X。为函数/（X）的局

部对称点.

（1）证明：函数/（x）=2，-1在区间11,2］内必有局部对称点；

（2）若函数/（*）=4'-“2川+〃22-3在7?上有局部对称点，求实数机的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）及

【解析】

【分析】

(1)设f=2'(-l«x«2),可求出f+-=2的解为，=le5M，从而可知当升=0时，

2』T=一2%+1成立，即可证明函数"X）=2',-1在区间［-1,2］内必有局部对称点；

（2）由题意知f（T）+〃x）=O在R上有解,令2'+2--，则『一2〃〃+2加一8=0在f«2,物）上

有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在fe［2,+0。）上根的个数，得到关于加的不等式，从而可

求出实数〃?的取值范围.

【详解】证明：（1）设1=2%—l〈xW2）,则会〈W4,令仆_=2,则/_2"1=0,

解得r=le；,4,即当/=。时，2-厢-1=一2厨+1，即/（一%）=一/（%）成立，

即函数/（无）=2、-1在区间［-1,2］内必有局部对称点

解：（2）f（-x）=4-x-m-rx+'+m2-3,则/（一x）+〃x）=0在R上有解.

xv

即AT-m-2-M+加2-3+4-m-2田+加？一3=（）在R上有解，

于是（4'+4-'）—2加-（2'+2-4+2（机2-3）=（）（*）在R上有解.

令2，+2-*=，，则4*+4一』2一2,所以方程（*）变为『一2?川+2//-8=（）,

设玉＜/＜0，贝12*1+2-r,-（2七+2T2）=22*+1-2?"+1=Q】TQ1-2一）,

\/2A'I2*22V|+A'2

由王＜工2＜。，y=2”在R上单调递增知，2苦一2&＜0，2»*＜1，2g＞o，

即此时2』+2一为—（2处+2』）＞0,所以函数y=2,+2-工在（-oo,0）上单调递减；

设0＜玉＜々，则2为+2一为一（2*+2-通）=2"+1_2"+1=（2'—，

\/2J|2眼2为+.

由0＜玉＜々，y=2”在R上单调递增知，2"—2应＜0，2*计为＞1，2t|+X2＞0,

即此时2H+25-（2应+『）＜0,所以函数y=2x+27在（0,+力）上单调递增；

故fe［2,xo）,从而已知即『一2就+2加2一8=0在r«2,+co）上有解.

设义（。=/―2机r+2w?-8（?＞2）,分为两种情况:

①当方程有在te[2,+co）唯一解时：

g（2）=4-4m+2m2-8=0

2

则g(2)=4-4/72+2m一8<0或〈-^<2

2

g⑵=4-4m+2/-8=0

解g⑵<0得，-V3+1<m<V3+1；解<-2m得,m--V3+1，

W2

12

则-百+1</?z<V3+1；

②当方程在，e[2,+。。）有两个解时:

^(2)=4-4/?Z+2W2-8>0m>V3+1或m<1-V3

,A=W-4(2m2-8)>0=<-242<m<2A/20V3+l<m<2>/2.

-2m.m>2

----->2

综上得1—百W加

【点睛】本题考查了换元法的应用，考查了由二次函数零点的分布求参数的取值范围.在第二问中，通过换

元将函数在R上有局部对称点问题，转化为「一2mt+2加2—8=0在fe[2,zo）上有解.已知二次函数的零

点求参数的取值范围时，常依据/与0的大小关系，对称轴、区间端点的函数值列关于参数的不等式.

21.

、，—

已知函数/（尤）=（元,

（D求/（幻的单调区间；

（ID若对于任意的XC（0,48）,都有/（x）s,,求上的取值范围.

e

【答案】（I）当我〉0时，/（X）的单调递增区间是（―8,—心和伏,+8）：单调递减区间是（一左,外，当上<0

时，/（X）的单调递减区间是（T&Q和（―k+8）：单调递减区间是出一左）.

1

（II）[——,01，

2

【解析】

【分析】

12

【详解】f'(x)=-(x2-k2)ek,令/'(x)=0,x=土跖当2>0时,/(X)J'(x)的情况如下:

k

XS,-k)—k(-k,k)k伏,+oo)

f'M—

+00十

fM4k2e-i

0

所以，f(x)的单调递增区间是(…，―左)和(幺+8):单调递减区间是(―左/)，当攵＜0时，f(x)与/'(X)

的情况如下：

X(-co,Qk(k,-k)