4.4 课时1 二项式定理

.4课时1二项式定理【学习目标】1.能用两种计数原理证明二项式定理.(逻辑推理)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学抽象)3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算)【自主预习】预学忆思1.你能写出(b+a)n的二项展开式吗?二项展开式中的字母a,b能交换位置吗?【答案】(1)(b+a)n=Cn0bn+Cn1bn-1a+Cn2bn-2a2+(2)二项展开式中的字母a,b是不能交换位置的.虽然(a+b)n与(b+a)n的结果相同,但(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,即二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆,如(a+b)3的展开式中第2项是3a2b,而(b+a)3的展开式中第2项是3ab2,故两者是不同的.2.(1+2x)n的二项展开式是什么?其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么?【答案】(1+2x)n=Cn0+Cn12x+Cn2(2x)2+Cn3(2x)3+…+Cnn(2x)n.其第5项的二项式系数为Cn3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?【答案】二项式系数Cnr与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,自学检测1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)(a+b)n展开式中共有n项.()(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同.()(3)Cnrarbn-r是(b+a)n展开式中的第r(r=0,1,2,…,n)项.((4)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=().A.9 B.10 C.11 D.8【答案】B【解析】因为(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有11项,所以n=10.3.将(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展开后有个不同的项.

【答案】12【解析】由题意知,共有C31C41=4.求x+1x6的展开式.【解析】根据二项式定理可知x+1x6=x+x-16=C60x6+C61x5x-1+C62x4x-2+C63x3x-3+C64x2x-4+C=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6.【合作探究】探究1：二项式定理情境设置问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程?【答案】从上述过程可以看到,(a+b)2是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2的展开式共有2×2=22项,而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗?【答案】当k=0时,a2-kbk=a2,是由2个(a+b)中都不选b得到的,相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数C20,因此a2只有1当k=1时,a2-kbk=ab,是由一个(a+b)中选a,另一个(a+b)中选b得到的,由于b选定后,a的选法也随之确定,因此,ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数C21,即ab共有2当k=2时,a2-kbk=b2,是由2个(a+b)中都选b得到的,相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数C22,因此b2只有1由上述分析可以得到(a+b)2=C20a2+C21ab+问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式是什么?【答案】(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C4(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnn-1abn-新知生成二项式定理公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn(n∈N+)叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有(n+1)项,其中各项的系数Cnr(其中0≤r≤新知运用例1(1)求x-12(2)化简:Cn0(x+1)n-Cn1(x+1)n-1+Cn2(x+1)n-2-…+(-1)kCnk(x+1)n-k+方法指导(1)解答本题先将x看成a,-12x看成b,利用二项式定理展开,也可以先将x-12x4化简后再展开.(2)可先把x+【解析】(1)(法一)x-12x4=C40(x)4-C41(x)3·12x+C42(x)212x2-C4(法二)x-12x4=2x-12x4=116x2(2x-1)4=116x2(16x4-32x3+24x2-(2)原式=Cn0(x+1)n+Cn1(x+1)n-1(-1)+Cn2(x+1)n-2(-1)2+…+Cnk(x+1)n-k(-1)k+…+Cnn(-1)n=[(【方法总结】二项式定理的双向应用:(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.巩固训练1.1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+16Cn4+…+(-2)A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n【答案】C【解析】1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+16Cn4+…+(-2)nCnn=[1+(-2)]n=2.求x2+1x2-23的展开式.【解析】x2+1x2-23=x-1x6=1x6(x2-1)=1x6[C60(x2)6-C61(x2)5+C62(x2)4-C63(x2)3+C64=1x6(x12-6x10+15x8-20x6+15x4-6x2=x6-6x4+15x2-20+15x2-6x探究2：二项展开式的通项情境设置问题1:在(a+b)n的二项展开式中,第k项是什么?【答案】Tk=T(k-1)+1=Cnk-1an-k+1bk-1问题2:在(a+b)n的二项展开式中,Tk+1=Cnkan-kbk是二项展开式的第几项?【答案】Tk+1=Cnkan-kbk是第k+1项,其二项式系数为问题3:(1+3x)n的二项展开式是什么?其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么?【答案】(1+3x)n=Cn0+Cn1·3x+Cn2(3x)2+Cn3(3x)3+…+Cnn(3x)n.其第6项的二项式系数为Cn新知生成二项展开式的通项(a+b)n展开式中的Cnran-rbr叫作二项展开式的通项,记作Tr+1,它表示展开式的第r+1项,即Tr+1=Cnra新知运用例2已知在3x-33xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n的值;(2)求含x2的项的系数;(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)求展开式中所有的有理项.方法指导(1)写出二项式的通项Tr+1,令r=5,x的指数为0,求出n的值;(2)由二项式的通项求含x2的项的系数;(3)由二项式的通项写出第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)令通项中“变元”的幂指数为整数,建立方程,解方程得对应的有理项.【解析】(1)通项为Tr+1=Cnrxn-r3=Cnr(-3)r因为第6项为常数项,所以当r=5时,有n-2r3=0,即n=10(2)令10-2r3=2,得r=2,可得所求的项的系数为C102·(-3)2(3)因为3x-33x10的展开式的通项是Tr+1=C10r(-3)所以第4项的二项式系数为C103=120,第4项的系数为C103(-3)3=-120×(4)根据通项公式,由题意得10-2r3∈Z,0≤r≤10,r∈N,则第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为C102(-3)2x2,C105(-3)5,C108(-即405x2,-61236,295245x-2.【方法总结】求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求k的值,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0,建立方程.巩固训练求x2-12x9的展开式中:(1)第6项的二项式系数;(2)第3项的系数;(3)常数项.【解析】(1)由二项式定理及展开式的通项公式可得,第6项的二项式系数为C95=(2)由题意可知,T3=C92(x2)7-12x2=9x12,故第3项的系数为9(3)因为Tk+1=C9k(x2)9-k-12xk=-12kC9kx18-3k,令18-3k=0,解得k=6,所以T7=-126C96=2116探究3：有理项问题情境设置问题1:什么是展开式的有理项?【答案】展开式中的有理项,就是指系数为有理数,次数为整数的项,一般是指通项公式中字母的指数为整数的项.问题2:什么是二项式中的整数项?与有理项相同吗?【答案】二项式中整数项是有理项的一部分,是有理项中分母不含字母的部分,与有理项不同.新知生成1.求二项式中的有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.2.求二项展开式中的整数项,其通项公式中同一字母的指数应是自然数,求解方式与求有理项一致.新知运用例3在x+124xn的展开式中,前3项的系数成等差数列.(1)求展开式中x的系数;(2)求展开式中的有理项,其中的整数项有几个?方法指导(1)由Cn1=Cn0+14Cn2可得出关于n的一元二次方程,结合n的取值范围可求得n的值,然后写出展开式的通项,令x的指数为1,求出参数的值,代入通项即可得解;(2)设展开式中,第k+1项为有理项,可知4-3【解析】(1)因为前3项的系数成等差数列,且前3项的系数分别为Cn0,12所以Cn1=Cn0+14Cn2,即n=1+n(n-1)8,所以n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去),则二项式x+124x8展开式的通项公式为Tk+1=C8k·令4-34k=1,得k=4,所以展开式中x的系数为124·C(2)设展开式中,第k+1项为有理项,则4-34k则当k=0,4,8时对应的项为有理项,有理项分别为T1=x4,T5=358x,T9=1该展开式中的整数项为T1=x4,T5=358x,共有2项【方法总结】求展开式的有理项,应写出它的通项公式,令未知量的指数为整数,便能求出符合题意的有理项.巩固训练在x-124xn(n≥3,n∈N+)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列(1)证明:展开式中没有常数项.(2)求展开式中所有的有理项.【解析】(1)由第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,得2Cn2=Cn解得n=2(舍去)或n=7,所以x-124x7的展开式的通项公式为Tr+1=C7r(x)7-r-124xr=C7r-令14-3r4=0,得r=143∉N+,(2)令14-3r4∈Z,则r=2或r=所以T3=C72-122x14-64=214x2,T7=C76·-126x故展开式中的有理项为T3=214x2和T7=7【随堂检测】1.在(1-2x)6的展开式中,x3的系数为().A.20 B.-20 C.160 D.-160【答案】D【解析】(1-2x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r·16-r·(-2)rxr=C6r(-2)令r=3可得T4=C63(-2)3x3=-160x3,所以x3的系数为-2.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为().A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1【答案】A【解析】(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+C41(x+1)3×(-1)+C42(x+1)2×(-1)2+C43(x+1)×(-1)3=[(x+1)-1]4=x4.3.1+1x2(1+x)6的展开式中x2的系数为().A.15 B.20 C.30 D.35【答案】C【解析】因为(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=C6kxk,所以1+1x2(1+x)6的展开式中含x2的项为1·C62x2和1x2·C64x4,所以1+1x2(1+x)6的展开式中x2的系数为C62+C4.x2+1x2-2n的展开式中的常数项是70,则