第1章 电路基本概念及分析方法

第1章电路基本概念及分析方法1.1电路理论基础1.2电路基本物理量1.3电路基本元件1.4独立电源和受控电源1.5基尔霍夫定律及支路电流分析法1.6等效变换分析法1.7节点电压分析法1.9网络定理分析法1.10动态电路的暂态分析1.8网孔电流分析法1.1.1电路理论及其发展1.1电路理论基础

电路理论：电路理论是关于电器件的模型建立、电路分析、电路综合及设计等方面的理论。电路理论是物理学、数学和工程技术等多方面成果的融合。物理学，尤其是其中的电磁学为研制各种电路器件提供了原理依据，对各种电路现象作出理论上的阐述；数学中的许多理论在电路理论得到广泛的应用，成为分析、设计电路的重要方法；工程技术的进展不断向电路理论提出新的课题，推动电路理论的发展。

课程地位：作为首门电技术基础课，为学习电专业的专业基础课打下基础；也是电气电子工程师必备的知识；学习本课程还有助于培养读者严谨的科学作风、抽象的思维能力、实验研究能力、总结归纳能力等。

电路理论的发展：电、磁互生现象是人们经过长期不断观察才认识的。我国古代早就发现了电磁现象。早在四千多年以前，我国人祖黄帝利用磁制成了罗盘针。据史料记载，公元前9世纪，我国航海家已使用指南针导航了。被世人称为电学之父的英国物理学家吉尔伯特，于1600年在他的书中第一次讨论了电与磁。与电、磁理论发展有关的世界著名科学家还有安培、欧姆、伏特、基尔霍夫、戴维南、法拉第、亨利、拉普拉斯、傅里叶、麦克斯韦、赫兹等。关于电的理论和电子技术的发展，但就经典阶段和现代阶段而言，前后大体经历了200年。经典电路理论形成于二十世纪初至60年代。经典的时域分析于二十世纪30年代初已初步建立，并随着电力、通讯、控制三大系统的要求发展到频域分析与电路综合。二十世纪六、七十年代至今发展了现代电路理论。它随着电子革命和计算机革命而飞跃发展，其特点是：频域与时域相结合，并产生了拓扑、状态、逻辑、开关电容、数字滤波器、有源网络综合、故障诊断等新的领域。1.1.2电路和电路模型1.电路*（1）电路的分类其一，集总参数电路和分布参数电路：将实际电路的几何尺寸d与其中的工作信号波长λ比较，满足d＜＜λ的称为集总参数电路，不满足d＜＜λ的称为分布参数电路，常见的低频放大器属于集总参数电路，微波（λ＜1m）电路（如电视天线、雷达天线和通信卫星天线等）属于分布参数电路。其二，线性电路和非线性电路：若描述电路特征的所有方程都是线性代数方程或线性微积分方程，则称为线性电路，否则就是非线性电路。其三，时不变电路和时变电路：时不变电路中元件参数不随时间变化，描述其电路的方程是常系数的代数方程或常系数的微积分方程，而时变电路是由变系数的代数方程或微积分方程描述的电路。（2）电路的功能电路的一种功能是实现电能的传输和转换，例如电力网络将电能从发电厂输送到各个工厂、广大农村和千家万户，供各种电气设备使用；电路的另一种功能是实现电信号的传输、处理和存储，例如电视接收天线将接收到的含有声音和图像信息的高频电视信号，通过高频传输线送到电视机中，这些信号经过选择、变频、放大和检波等处理，恢复出原来的声音和图像信号，在扬声器发出声音并在显像管屏幕上呈现图像。（3）实际电路所有的实际电路是由电气设备和元器件按照一定的方式连接起来，为电流的流通提供路径的总体，也称网络。在实际电路中，电能或电信号的发生器称为电源，用电设备称为负载。电压和电流是在电源的作用下产生的，因此，电源又称为激励源，简称激励。由激励而在电路中产生的电压和电流称为响应。有时，根据激励和响应之间的因果关系，把激励称为输入，响应称为输出。2.电路模型（1）理想元件为了便于对实际电路进行分析，通常是将实际电路器件理想化（或称模型化），即在一定条件下，突出其主要的电磁性质，忽略其次要因素，将其近似地看做理想电路元件，并用规定的图形符号表示。例如用电阻元件来表征具有消耗电能特征的各种实际元件，同样，在一定条件下，电感线圈忽略其电阻，就可以用电感元件来近似地表示；电容器忽略其漏电，就可以用电容元件近似地表示。此外还有电压源、电流源两种理想电源元件。以上这些理想元件分别可以简称为：电阻、电感、电容和电源，它们都具有两个端钮，称为二端元件。其中，电阻、电感、电容又称无源元件。（2）电路模型由理想元件组成的电路，就称为实际电路的电路模型。图1-1（b）即为图1-1（a）的电路模型。今后如未加特殊说明，所说的电路均指电路模型。

图1-1晶体管放大电路（3）建模以上用理想电路元件或它们的组合模拟实际器件的过程称为建模。建模时必须考虑工作条件，并按不同精确度的要求把给定工作情况下的主要物理现象及功能反映出来。需要注意的是，在不同的条件下，同一实际器件可能采用不同模型。模型取得恰当，对电路的分析和计算结果就与实际情况接近；模型取得不恰当，则会造成很大误差，有时甚至导致自相矛盾的结果。所以建模问题需要专门研究，绝不能草率定论。例如图1-2（a）所示的线圈，在低频交流工作条件下，用一个电阻和电感的串联结构进行模拟，如图（b）所示；在高频交流工作条件下，则要再并联一个电容来模拟，如图（c）所示。图1-2线圈的几种电路模型1.1.3计算机辅助电路分析

目前最具有通用性的电子电气工程类的计算机辅助分析软件主要是PSpice、Matlab等软件。

Matlab具有数据分析，数值和符号计算，工程与科学绘图，控制系统设计，数字图像信号处理，财务工程，建模、仿真、原型开发，应用开发，图形用户界面设计等功能。

PSpice软件收敛性好，适于做系统及电路级仿真，具有快速、准确的仿真能力。在科研开发部门，PSpice是产品从设计、试验到定型过程中不可缺少的工具，1988年PSpice已被定为美国国家工业标准。1.2电路基本物理量1.2.1电流1.实际方向电荷的定向运动形成电流。电流的实际方向习惯上指正电荷运动的方向。2.电流强度电流的大小用电流强度来衡量，电流强度简称电流，其数学表达式为上式的物理意义是单位时间内通过导体横截面的电荷量。

3.单位

其中i表示电流强度，单位是安[培]，用A表示，在计量微小电流时，通常用毫安（mA）或微安（μA）作电位；dq为微小电荷量，单位是库[仑]，用C表示，且1库仑为6.24×1018个电子所带的电量；dt为微小的时间间隔，单位是秒，用s表示。4.分类按照电流的大小和方向是否随时间变化，分为恒定电流（简称直流DC）和时变电流，分别用符号I和i表示。我们平时所说的交流（AC）是时变电流的特例，它满足两个特点，一是周期性变化，二是一个周期内电流的平均值等于零。5.参考方向（1）作用在分析电路时往往不能事先确定电流的实际方向，而且时变电流的实际方向又随时间不断变化。因此在电路中很难标明电流的实际方向。为此，我们引入了电流参考方向这一概念。（2）表示通常用实线箭头或双字母下标表示，实线箭头可以画在线外，也可以画在线上。为了区别，电流的实际方向通常用虚线箭头表示，如图1-3所示。图1-3电流的参考方向与实际方向（3）与实际方向的关系

【规定】：若电流的实际方向与所选的参考方向一致，则电流为正值，即i＞0，如图1-3（a）所示；若电流的实际方向与所选的参考方向相反，则电流为负值，即i＜0，如图1-3（b）所示。对于同一电流，参考方向选择不同，其数值互为相反数，即iab = -iba。这样一来，电流就成为一个具有正负的代数量。1.2.2电压1.定义式在数值上，电路中任意a、b两点之间的电压等于电场力由a点移动单位正电荷到b点所做的功，即

2.电位（1）定义

在电路中任选一点作为参考点，则其他各点到参考点的电压称为该点的电位，用符号V表示。例如，电路中a、b两点的电位分别表示为Va和Vb，并且a、b两点间的电压与该两点电位有以下关系（2）与电压的关系电位与电压既有联系又有区别。其主要区别在于：电路中任意两点间的电压，其数值是绝对的；而电路中某一点的电位是相对的，其值取决于参考点的选择。（3）参考点的选择今后如未说明，通常选接地点作为参考点，并且参考点的电位为零。引入电位概念后，两点间电压的实际极性即由高电位点指向低电位点。所以电压就是指电压降。（4）等电位点电路中电位相同的点称为等电位点。等电位点的特点是：两个等电位点之间的电压等于零。用导线或电阻将等电位点连接起来，导线和电阻元件中没有电流通过，不会影响电路的工作状态。3.电压的参考方向（参考极性）与电流参考方向同理，在电压的极性上引入参考极性（也可称为参考方向），参考极性的选择同样具有任意性，在电路中可以用“+”、“−”号表示，也可用双字母下标或实线箭头表示，如图1-4所示。电压正负值的规定与电流一样。

图1-4电压的参考方向与实际方向4.电子电路的简单画法在画电子电路图时，有一种简化的习惯画法。因为在电子电路中，一般会把电源、输入和输出信号的公共端接在一起作为参考点，所以在简化画法中，不用再画出电源的图形符号，而改为只标出除参考点之外另外一个电极的电位数值和极性就可以了，如图1-5所示。

图1-5电子电路的简化画法反之，根据电路的简化画法也能还原出原电路的完整画法。

【值得注意】：今后在求电压、电流时，必须事先规定电压的参考极性和电流的参考方向，否则求出的值无意义。5.电压、电流的关联参考方向为了分析方便，通常将其电压的参考极性和电流的参考方向选为一致，即电流的参考方向由电压的“+”指向“−”，这样选定的参考方向称为电压与电流的关联参考方向，简称关联方向，如图1-6（a）和（b）所示。否则，称为非关联方向，如图1-6（c）和（d）所示。图1-6二端元件电压、电流的参考方向1.2.3功率与能量1.功率的定义式

电能对时间的变化率即为电功率，简称功率。用p或P表示，单位是瓦（W）。功率的表达式为2.功率的计算

计算元件功率时，首先需要判断u、i的参考方向是否为关联方向，若关联，则；否则。根据计算结果，若p＞0，则表明元件实际消耗功率；若p＜0，则表明元件实际发出功率。解：根据题目所给已知条件可得

由以上计算结果可以看出，电路中各元件发出的功率总和等于消耗功率总和，这就是电路的“功率平衡”。功率平衡是能量守恒定律在电路中的体现。【例1-1】在图1-7所示电路中，各元件电压、电流参考方向已选定，已知U1=1V，U2=-6V，U3=-4V，U4=5V，U5=-10V，I1=1A，I2=-3A，I3=4A，I4=-1A，I5=-3A。试求各元件的功率。3.能量

能量是功率对时间的积累，其表达式可写为

能量的单位是焦[耳]（J），定义为：功率为1W的设备在1s时间内转换的电能。工程上常采用千瓦小时（kW·h）作为电能的单位，俗称1度电，定义为：功率为1kW的设备在1h内所转换的电能。1.3电路基本元件

在电路理论中，将实际的元器件进行抽象从而得到4类理想元件（即元件模型），它们是电阻元件、电容元件、电感元件、理想电源。本节将分别介绍这4类理想元件的参数、电压电流关系、功率及使用等。1.3.1电阻元件1．电阻元件的电压、电流关系及功率（1）伏安关系

电阻上的电压和电流有确定的对应关系，可以用u-i平面上的一条关系曲线，即伏安曲线或数学方程式来表示。图1-8线性电阻的电路符号和伏安特性（2）欧姆定律

欧姆定律揭示了线性电阻电压与电流的约束关系。下面是u、i为关联方向时，欧姆定律的表达式（3）电阻元件的参数

表达式中R和G是电阻的两个重要参数，分别叫电阻和电导，单位分别是欧[姆]（Ω）和西[门子]（S）。

R和G两个参数在数值上互为倒数关系。（4）电阻元件的功率在任意时刻，电阻上消耗的功率为2.开路和短路

开路：当一个二端元件（或电路）的端电压不论为何值时，流过它的电流值恒为零，此时该元件可看成一个R = ∞的电阻，或者说相当于一个断开的开关，故把它称为开路。

短路：当流过一个二端元件（或电路）的电流不论为何值时，它的端电压值恒为零，此时该元件可看成一个的电阻，或者说一个闭合的开关，故把它称为短路。3.电阻器与额定值实际的电阻器必须在一定电压、电流和功率范围内才能正常工作。电子设备中常用的碳膜电阻器、金属电阻器和线绕电阻器在生产制造时，除注明标称电阻值（如100Ω、1kΩ、10kΩ等）外，还要规定额定功率值（如1/8W、1/4W、1/2W、1W、2W、5W等），以便用户参考。下图所示为几种实际电阻器的外观图。

实际电阻器的外观图1.3.2电容元件1.电容器的制作及分类两块金属板之间用介质隔开就构成了实际的电容器。电容器在工程上应用非常广泛，种类规格也很多，常用的有空气电容器、陶瓷电容器、纸电容器、云母电容器、电解电容器和贴片电容器等，下图所示为实际电容器的外观图。实际电容器的外观图2.电容器的充、放电电容具有充、放电的特性，当在其两端加上电压时，两个极板间就会建立电场，储存电场能量，这是充电过程；反之，若给储存有电能的电容提供放电回路，它就会释放其中的能量，这是电容的放电过程。电容放电时，相当一个电压源。3.电容元件电容元件是各种实际电容器的电路模型，它是一种理想元件，简称电容，用C表示。其电路符号如图1-9（a）所示。

图1-9电容元件（1）电容元件的参数

电容是一种能够储存电场能量的元件，储存能量的多少通常用电容量（简称电容）这个参数来表征，该参数也用C表示。在国际单位制中，电容的单位为法[拉]，用F表示。此外还有微法（µF）、纳法（nF）和皮法（pF），它们与F的关系是

对于线性电容而言，其极板上储存的电荷量q与两极板间建立起的电压u成正比例关系，写成表达式为（2）电容元件的电压、电流关系（VAR）当电压、电流选为关联方向时，其伏安关系为

上式说明，电容元件其电压与电流是一种微分关系，即电流与该时刻电压的变化率成正比。显然，电压变化越快，即变化频率越大，电流就越大；如果电压不变化，即加上直流电压，则i = 0，此时电容相当于开路。这正是电容的一个明显特征：通高频，阻低频；通交流，隔直流。利用该特性，可用电容制成滤波器。

由上式还可以看出，在电容电流为有限值的前提下，电容电压不能跃变，即电容电压变化需要时间。电容电压不能跃变的特性，将作为1.9节中分析动态电路的一个重要依据。（3）储能公式

【补充例题】已知C=0.5uF电容上的电压波形如下图（a）所示，试求电压与电流采用关联方向时的电流iC（t），并画出波形图。

解：

根据图（a）所示uC的波形，按照时间分段来进行计算电流iC（t）。（1）当0≤

t≤1s时，uC（t）=2t，根据电容元件电压电流关系式可得（2）当1s≤t≤3s时，uC（t）=4-2t，根据电容元件电压电流关系式可得（3）当3s≤t≤5s时，uC（t）=-8+2t，根据电容元件电压电流关系式可得（4）当5s≤t时，uC（t）=12-2t，根据电容元件电压电流关系式可得

根据以上计算结果，画出电流iC（t）的波形，如上图（b）所示。电容电压为三角波形，其电流为矩形波形。4.电容器的串联与并联在实际中，考虑到电容器的容量及耐压，常常要将电容器串联或并联起来使用。并联：电容并联时，其等效电容等于各并联电容之和。电容的并联相当于极板面积的增大，所以增大了电容量。当电容器的耐压符合要求而容量不足时，可将多个电容并联起来使用。串联：其等效电容的倒数等于各串联电容倒数之和。电容串联时，其等效电容比串联时的任意一个电容都小。这是因为电容串联相当于加大了极板间的距离，从而减小了电容。若电容的耐压值小于外加电压，则可将几个电容串联使用。电容串联时，各个电容上的电压与其电容的大小成反比。电容小的所承受的电压高，电容大的所承受的电压反而低。这一点在使用时要注意。

【注意】：电容可采用既有并联又有串联的接法，以获得所需要的电容量和耐压。

【补充例题】有两个电容器，一个为50μF，300V，一个为250μF，150V。（1）若两个电容器并联时，等效电容为多少？外接电压不能超过多少伏？（2）当它们串联时，等效电容为多少？接在400V直流电压上使用是否安全？

解：（1）并联时等效电容

C=C1+C2=50+250=300μF

并联时外接电压不能超过低的额定电压，因此外加电压

u≤150V（2）串联时的等效电容

接在400V直流电压上时，应分析每个电容承受的电压是否超过其额定电压。设C1（50μF）上的电压为U1，C2（250μF）上的电压为U2，则

联立解之得

u1=333.3V＞C1的额定电压300V

u2=66.7V＜C2的额定电压150V所以外接400V直流电压使用时是不安全的。

【补充例题】有两个电容器，C1=150μF，耐压450V，C2=100μF，耐压250V，现将它们串联使用，求其等效电容及允许的端电压

分析电容串联时允许的端电压，不能将这两个电容的耐压简单地相加。因为串联时，电容上的电压与其电容量的大小成反比，电容小的分得的电压大，故应使电容较小的C2所分得的电压不超过其耐压，再分析电容大的端电压是否超过其耐压。

U2≤250V所以这两个电容串联后允许的端电压为

U=U1+U2=166.7+250=416.7V解：串联时的等效电容为

【补充例题】四只电容器联接如下图所示，已知C1=C2=C3=C4=100μF，它们的耐压都是150V。求：（1）等效电容Cab；（2）它们总的端电压U不能超过多少伏？

解：（1）并联部分的等效电容

Cdb=C2+C3+C4=100+100+100=300μF（2）每个电容耐压均为150V，现C1=100μF，Cdb=300μF，电容小的分得到的电压大，即

U1≤150V1.3.3电感元件

实际电感器

图1-10电感元件

对于线性电感而言，电感的磁链与电流成正比关系，即

如图1-10（a）所示，当电压、电流选为关联方向时，电感元件的伏安关系为

上式表明，电感元件的伏安关系为微分关系，即感应电压与该时刻电流的变化率成正比。电流的变化率越大，则u越大。如果电流不变化，即在直流电路中，则电压u = 0，这时电感相当于短路。因此，电感具有通低频、阻高频的作用，也可用来制成滤波器。电感的储能公式为1.4独立电源和受控源1.4.1独立电源

定义：将其他形式的能量转换成电能的设备称为电源。如果电源的参数都由电源本身的因素决定，而不因电路的其他因素而改变，则称为独立电源，今后简称电源。

作用：电源是电路的输入，它在电路中起激励作用，根据电源提供电量的不同，可分为电压源和电流源两类。实际电源有电池、发电机、信号源等。电压源和电流源是从实际电源抽象得到的电路模型，它们是二端有源元件。1.电压源（1）理想电压源理想电压源满足两个特点：一是端电压为恒定值（直流电压源）或固定的时间函数（交流电压源），与所接外电路无关；二是通过电压源的电流随外电路的不同而变化。其电路符号如图1-11所示，图1-11（a）为直流电压源的一般符号，“+”、“−”号表示电压源电压的参考极性；图1-11（b）是电池的电路符号，其参考方向为由正极（长线段）指向负极（短线段）；图1-11（c）是交流电压源的电路符号。图1-11理想电压源的电路符号

（2）实际电压源

实际电压源有内阻。因此对于一个实际的直流电压源，可以用一个理想电压源US和内阻RS相串联的模型来表示，如图1-12所示，这就是实际电压源的电路模型。图1-12实际电压源的电路模型2．电流源（1）理想电流源理想电流源（简称电流源）的端电流不变，而端电压要随负载的不同而变化。电路符号如图1-13所示，图中箭头所指方向为电流源电流的参考方向。图1-13理想电流源电路符号（2）实际电流源

实际的电流源，输出电流则要随端电压的变化而变化，这是因为实际电流源存在内阻。实际电流源可以用一个理想电流源IS和电导GS相并联的模型来表示，如图1-14所示。图1-14实际电流源的电路模型1.4.2受控电源1.定义在电路分析中，会遇到另一类电源，它们的电压或电流受电路其他部分电压或电流的控制，因此称为受控电源，简称受控源。受控源又称为非独立源，是有源器件。2.分类

理想受控源有4种基本形式：电压控制电压源（VCVS），电压控制电流源（VCCS），电流控制电压源（CCVS），电流控制电流源（CCCS）。下图所示是受控源的原理电路符号。

受控源4种基本形式

图1-15含受控源电路

【受控源与独立源的区别】：需要指出的是：在同一线性电路中可以同时含有独立电源和受控源。但由于受控源与独立电源的特性完全不同，因此它们在电路中所起的作用也完全不同。独立电源是电路的输入或激励，它为电路提供按给定时间函数变化的电压和电流，从而在电路中产生电压和电流。受控源则描述电路中两条支路电压和电流间的一种约束关系，它的存在可以改变电路中的电压和电流，使电路特性发生变化。假如电路中不含独立电源，不能为控制支路提供电压或电流，则受控源及整个电路的电压和电流将全部为零。1.5基尔霍夫定律及支路电流分析法1.5.1基尔霍夫定律

【定律的意义及作用】：电路是由多个元件互联而成的整体，在这个整体当中，元件除了要遵循自身的电压电流关系（VoltageCurrentRelation，VCR）外，同时还必须服从电路整体上的电压电流关系，即电路的互联规律。基尔霍夫定律就是研究这一规律的。该定律包括电流定律和电压定律。图1-16电路名词用图

为了便于学习基尔霍夫定律，首先以图1-16为例介绍电路结构中的几个名词和术语。（1）支路：电路中具有两个端子且通过同一电流的每一个分支（至少包含一个元件）称为一条支路。（2）节点：三条或三条以上支路的连接点称为节点。（3）回路：电路中任一条闭合路径称为回路。（4）网孔：内部不含支路的回路称为网孔。（5）网络：把包含元件数较多的电路称为网络。实际上电路和网络两个名词可以通用。不难分析出：图（a）电路中共有3条支路，两个节点，3个回路，2个网孔。图（b）电路中共有6条支路，4个节点，7个回路，3个网孔。1.基尔霍夫电流定律（1）基本内容对于集总参数电路中的任一节点，在任一时刻，所有连接于该节点的支路电流的代数和恒等于零。（2）基本表达式（3）支路电流方程的列写方法应用基本表达式可以对电路中任意一个节点列写它的支路电流方程（或称KCL方程）。列写时，可规定流入节点的支路电流前取正号，则流出该节点的支路电流前自然取负号（也可做相反规定）。这里所说的“流入”、“流出”均可按电流的参考方向，这与实际并不冲突，因为我们知道，电流参考方向选择不同，其本身的正负值也就不同。（4）KCL的推广应用

KCL不仅适用于节点，也可推广应用于包括数个节点的假想的封闭面（可称为广义节点），即通过任一封闭面的所有支路电流的代数和恒等于零。图1-17（a）、（b）、（c）所示都是KCL的推广应用，图中虚线框可看成一个封闭面，根据KCL，会有图中所标结论。

图1-17KCL的推广应用举例2.基尔霍夫电压定律（1）基本内容对于任何集总参数电路中的任一闭合回路，在任一时刻，沿该回路内各段电压的代数和恒等于零。（2）基本表达式（3）回路电压方程的列写方法应用基本表达式可对电路中任一回路列写回路的电压方程（或称KVL方程）。列写时，首先在回路内选定一个绕行方向（顺时针或逆时针），然后将回路内各段电压的参考方向与回路绕行方向进行比较，若两个方向一致，则该电压前取正号，否则取负号。对于电阻元件，可以直接将电阻上电流的参考方向与回路绕行方向进行比较，从而确定电阻两端电压的正负，正负的判断与前面所述方法相同。（4）KVL的推广应用

KVL不仅适用于电路中任一闭合回路，还可推广应用于任一不闭合回路。例如，图1-18所示电路为有开口的电路，若选路径abda，构成一个假想回路，设回路绕行方向为逆时针方向，则列写KVL方程为

若选路径abcda，则构成另一个假想回路，设回路绕行方向为逆时针方向，则列写的KVL方程为

图1-18KVL的推广

由以上两式又可分别写出a、b两点间电压Uab的表达式为

【这表明】：电路中任意两点间的电压Uab等于从a点到b点的任一路径上各段电压的代数和。此即为求解电路中任意两点间电压的方法，需要熟记。或【定律小结】：

（1）基尔霍夫定律是分析电路的重要依据，该定律适用于任何集总参数电路，与电路中元件的性质无关。（2）利用基尔霍夫定律，以各支路电流为未知量，分别应用KCL、KVL列方程，解方程便可求出各支路电流，继而求出电路中其他物理量，这种分析电路的方法称为支路电流法。（3）应用支路电流法时应注意：对于具有b条支路、n个节点的电路，只能列出（n−1）个独立的KCL方程和b−(n−1)个独立的KVL方程。其中b−(n−1)实际上就是电路的网孔数。1.5.2支路电流分析法

【例1-2】电路如图1-19所示，已知Us1=15V，Us2=5V，R1=1Ω，R2=3Ω，R3=4Ω，R4=2Ω。求回路电流I和电压Uab。

解：（1）选定回路电流I的参考方向及绕行方向如图1-23所示。根据KVL可写出

由例1-2可知，电路中两点间的电压是定值，与参考点的选择及路径均无关；而电路中某一点的电位是相对的，其值随参考点的不同而不同，但参考点一经选定，某点电位也就唯一确定了。

【例1-3】电路如图1-20所示，已知电阻R1=3Ω，R2=2Ω，R3= 6Ω，电压源Us1=15V，Us2=3V，Us3= 6V，求各支路电流及各元件上的功率。解：选定各支路电流I1、I2、I3的参考方向及回路绕行方向如图1-20所示。根据KCL、KCL可得解以上方程组得：则各元件功率为

由计算结果可以看出，电路中各元件发出的总功率与消耗的总功率相等，即满足功率平衡。

【例1-4】求图1-21所示电路中的电流I。

解：

本题的求解试图说明含有受控源电路在分析时可按电路分析的一般原则，利用KCL和KVL列方程联立求解，或用电路的其他一些分析方法以及网络定理进行求解。

选定支路电流I1的参考方向如图所示。利用KCL和KVL列写方程。对于节点a，根据KCL可得I1=I+3

对于回路adbca，由KVL得2I+I1+2I=12

将以上两方程联立求解，得到I=1.8A

图1-21例1-4图二端网络

定义：具有两个端子与外电路相联的网络叫二端网络，也称单口网络。二端网络根据其内部是否包含电源（独立源），分为无源二端网络和有源二端网络。每一个二端元件就是一个最简单的二端网络。1.6等效变换分析法1.6.1等效变换

图1-22所示为二端网络的一般符号。二端网络端钮上的电流I、端钮间的电压U分别叫做端口电流和端口电压。图1-22中端口电压U和端口电流I的参考方向对二端网络来说是关联一致的，UI应看成该网络消耗的功率。图1-22二端网络

（2）应用求一个二端网络等效网络的过程叫做等效变换。等效变换是电路理论中一个非常重要的概念，它是简化电路的一个常用方法。因此，在实际应用中，通常将电路中的某些二端网络用其等效电路代替，这样不会影响电路其余部分的支路电压和电流，但由于电路规模的减小，则可简化电路的分析和计算。2.等效变换（1）定义当一个二端网络与另一个二端网络的端口电压、电流关系完全相同时，这两个二端网络对外部来说称为等效网络。等效网络互换后，虽然其内部结构发生了变化，但它们的外特性没有改变，因此对外电路的影响也就不会改变。因此我们所说的“等效”是对网络以外的电路而言，是对外部等效。

1.电阻的串联与分压

串联分压：电阻串联具有分压特点，各电阻上的电压关系为

等效电阻：电阻串联时，其等效电阻等于各个串联电阻的代数和。即

R=R1+R2+……+Rn图1-23电阻的串联1.6.2无源二端网络的等效变换

【补充例题】：下图所示是某电子设备中的一个分压电路。R=680Ω的电位器与电阻R1、R2串联，已知R1=R2=550Ω，电路输入电压U1=12V，求输出电压U2的变化范围。解：当滑动端c移动到a端时，电位器全部与R2串联，输出电压为

滑动端c移动到b端时，电位器全部与R1串联，输出电压为

因此，调节680Ω的电位器时，输出电压可在3.71V～8.29V之间变化。

【补充例题】

现有一个内阻为20kΩ、量程为10V的电压表，如图所示，今欲将电压表量程扩大为50V和250V，问需串联的附加电阻值为多少？

解：电压表内阻Rg=20kΩ，量程为10V，即Ug=10V。在50V这一挡量程，总电压U=50V，串联电阻为R1，根据分压公式可得即所以R1=80kΩ

在250V这一挡量程，总电压U=250V，串联电阻为R1和R2，同理可得即得R1=400kΩ2.电阻的并联及其分流

等效电阻：电阻并联时，其等效电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，或者说，总电导等于各并联电导之和。G=G1+G2+……+Gn

图1-24电阻的并联

并联分流：电阻并联具有分流的特点，各电阻上的电流关系为

i1：i2：……：in=G1：G2：……：Gn

这说明，电阻并联时，各个电阻上的支路电流与电阻成反比或与电导成正比。

功率分配：并联电路中，各电阻的功率也与电阻成反比，即

p1：p2：……：pn=（1/R1）：（1/R2）：……：（1/Rn）

两个电阻并联：两个电阻并联时，其等效电阻为

其电流分配关系为3.电阻的混联既有串联又有并联的电路称为混联电路。利用串联电路和并联电路的特点，就可以将混联电路进行简化，进而分析计算电路。

【例1-5】

求图1-25（a）所示电路ab端的等效电阻Rab。

解：在图（a）中，首先标出除两个端子a、b之外的其余各节点，注意同一条导线上所有的点都是同一个节点，故图（a）中除两个端子a、b外还可标出c、d两个节点。然后，从起点a开始顺势“走到”终点b，途中每经过一个节点时，便分析在该节点处共分出几条电阻支路，直至分析到终点b为止。这样在不改变电路联接关系情况下，原电路可梳理成图（b）的形式，因此等效电阻为：

【补充例题】

求下图（a）所示电路ab端的等效电阻Rab。

解：在图（a）中，在不改变电路联接关系情况下，原电路可画成图（b）的形式因此等效电阻为：

若将a、d间用短路线联接如图（c）所示，那么a、b之间等效电阻Rab等于多少呢？读者可自行分析。（答案：Rab=1.6Ω）。

【补充例题】

将内阻Rg=2000Ω，满偏电流Ig=100μA的直流表头做成多量程的直流电流表，采用如图所示的环形分流器。现要求量程为1mA、10mA、100mA三档，试求分流电阻R1、R2和R3。

解：分流器开关S打在位置“3”时，量程最小，分流电阻最大，为R1+R2+R3

，S打在位置“1”时，量程最大，分流电阻最小，为R1。因此可以利用电阻串并联关系，首先从最小量程开始，求得总的分流电阻，在从最大量程开始，逐一求出各分流电阻。分析如下：

S打在1mA档，R1、R2、R3串联后与Rg并联，Ig=100μA=0.1mA，I=1mA，根据分流关系，得

即

所以R1+R2+R3=222.22ΩS打在100mA档，Rg、R2、R3串联后与R1并联，Ig=100μA=0.1mA，I=100mA。

S打在10mA档，Rg、R3串联，R1、R2串联，Ig=100μA=0.1mA，I=10mA。4.电阻星形联接和三角形联接的等效变换电阻的星形联接和三角形联接：

将三个电阻的一端连在一起，另一端分别接到三个不同的端钮上，就构成了电阻的星形联接，又称Y形联接，如图（a）所示。将三个电阻分别接到三个端钮的每两个之间，这样就构成了电阻的三角形联接，又称为△形联接，如图（b）所示。图1-27电阻的Y形连接和△形连接

电阻Y形联接与△形联接的等效变换：根据多端网络等效变换的条件，让其对应端口的电压、电流分别相等，利用KCL、KVL就可推导出两个网络之间等效变换的参数条件。它们是：（1）将△形联接等效为Y形联接：当R12=R23=R31=R△

时，有R1=R2=R3=RY=。（2）将Y形联接等效为△形联接：

当R1=R2=R3=RY时，有R12=R23=R31=R△=3RY

。应用：在电路分析中，有时将△形电阻网络与Y形电阻网络进行等效变换，就有可能把复杂的电路转变为简单电路，使分析计算大为简化。所谓简单电路是指利用电阻的串并联逐步化简，最后能化为一个等效电阻的电路。

再用电阻串联和并联公式,求出连接到电压源两端的等效电阻为

最后求得

【例1-6】求图1-28（a）所示电路中电流I。

解：将3Ω、5Ω和2Ω三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形电阻网络，如图（b）所示，根据式（1-18）求得，，

1.独立电源的串联和并联

n个理想电压源串联，可以等效成一个电压源。下图（a）所示为两个电压源US1和US2串联，可以用一个等效的电压源US代替。

n个理想电流源并联，可以等效成一个电流源，如图（b）所示。1.6.3有源二端网络的等效变换

独立电源的串联和并联等效

从以上例子可以看出，一个电压源并联若干元件（如电阻、电流源），对外等效仍为该电压源，上图中的（a）和（c）；一个电流源串联若干元件（如电阻、电压源），对外等效仍为该电流源，如图中的（b）和（d）。这是电压源和电流源的特点所决定的。但将电压不相等的电压源并联或电流不相等的电流源串联是不允许的，这将违背KVL和KCL。

电源的等效变换2.两种实际电源模型的等效变换图1-29（a）是电压源与电阻串联的模型，输出电压u=uS–iRi，也可表示为

图（b）是电流源与电阻并联的模型，输出电流为

图1-29两种电源模型的等效变换

根据等效的含义，上面两个式子中对应项应该相等，即

【注意】：

（1）应用上式进行等效变换时，应该注意变换前后电流源与电压源参考方向的对应关系：电流源的参考方向应与电压源的参考“-”极到参考“+”极的方向一致，反过来也是一样。

（2）具有串联电阻的电压源常称为有伴电压源，具有并联电阻的电流源常称为有伴电流源。有伴电压源和有伴电流源才能进行等效变换。以上实际电源两种电路模型的等效变换，可以简称为有伴电源的等效变换。

【例1-7】

化简图1-30（a）所示的有源二端网络为等效的电压源模型。

【补充例题】电路如下图（a）所示，试用等效变换法计算电阻R2中的电流I2。

解:

首先将图（a）中IS与R1的并联组合电路，等效变换成US1与R1的串联组合电路，如图（b）所示。其中

US1=R1

IS=6×8=48V

再将图（b）中US1、US2的串联电路等效变换为US，如图（c）所示，注意US1与US2的参考方向是相反的，所以

US=US1-US2=48–18=30V

【例1-8】含受控源的二端网络如图1-31（a）所示，求二端网络的等效电阻Req。

解：受控源与独立源一样，也可进行电源的等效变换，图（a）中的受控电流源与电阻的并联等效变换为受控电压源与电阻的串联，如图（b）所示。假设在图（b）所示端口处外加电压源U，则U在端口处产生的端口电流为I，下面分析端口U-I关系。选定I1、I2参考方向如图所示，可得

U=2I+（10+10）I1–4U

（10+10）I1–4U–20I2=0I2=I–I1联立解之得U=4I

故

图1-31

【例1-9】试将图1-32（a）所示的含受控源的二端网络进行化简。

解：图（a）中既含有受控源，也含独立源，其等效电路应为一个独立电压源与一个电阻的串联。同样利用“外施电源法”，写出端口U-I关系式。先将图（a）中的受控电流源与电阻的并联等效变换为受控电压源与电阻的串联，如图（b）所示。写出端口的U-I关系式为

U=-500I+1000I+1000I+20=1500I+20据此可得到相应的等效含源支路如图（c）所示。

图1-32节点电压及节点电压分析法：

节点电压：选电路中某一节点作为参考点（其电位为零），其它各结点到参考点的电压称为该节点的节点电压（实际上就是该节点的电位），一般用V表示。

节点电压分析法：以节点电压为未知量，应用KCL列出各节点的KCL方程，解方程得到节点电压，继而以节点电压为依据，求出各支路电流。在节点电压分析法中电阻元件的参数值用电导表示，即1.7节点电压分析法1.7.1节点电压及节点电压方程

如图1-33所示电路共有4个节点，选节点4为参考节点，则V4= 0；节点1、2、3即为电路的3个独立节点，各独立节点到参考节点之间的电压分别是V1、V2、V3。则各支路电流可用节点电压表示为图1-33节点分析法用图节点1节点2节点3

整理得：

自导及互导：上式中，令G11=G2+G5，G22=G2+G3，G33=G4+G5，G11、G22、G33分别为节点1、节点2、节点3的自导，是分别连接到节点1、2、3的所有支路电导之和。用G12和G21、G13和G31、G23和G32分别表示节点1和2、节点1和3、节点2和3之间的互导，分别等于相应两节点间公共电导并取负值。本例中，G12=G21=-G2，G13=G31=-G5，G23=G32=0。

自导总是正的，互导总是负的。此外，用IS11、IS22、IS33分别表示电流源或电压源流入节点1、2、3的电流。本例中，Is11=Is1，Is22=Is6，Is33=-Is6。其中，电流源电流参考方向指向节点时，该电流前取正号，反之取负号；电压源与电阻串联的支路，电压源的参考“+”极指向节点时，等效电流源前取正号，反之取负号。节点电压方程：下面是有3个独立节点的节点电压方程的一般形式：以下是有n-1个独立节点的节点电压方程的一般形式：

【例1-10】图1-34所示电路中，已知Us1=16V，IS3=2A，Us6=40V，R1=4Ω，R1/=1Ω，R2=10Ω，R3=R4=R5=20Ω，R6=10Ω，o为参考节点，求节点电压V1、V2及各支路电流。1.7.2节点法应用举例

解：选定各支路电流参考方向如图所示。由已知可得列出节点电压方程为：联立解之得

V1=10V，V2=28V根据I1～I6的参考方向可求得

【例1-11】用节点电压法求图1-35所示电路的节点电压。

解：图中6V电压源为无伴电压源，设通过它的电流为I，参考方向如图所示。选接地点作为参考节点，则节点1、2为独立节点，其节点电压分别为V1和V2。计入电流变量I列出两个节点电压方程为

V1=5–I0.5V2=-2+I

补充方程为

V1–V2=6解得

V1=4V，V2=-2V

【例1-12】电路如图1-36所示。已知g=2S，求结点电压和受控电流源的功率。

解：

当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量I来建立结点方程。

2V1–V2=6–I-V1+3V2–V3=0-V2+2V3=gV2+I求解可得

V1=4V，V2=3V，V3=5V受控电流源的功率为

（发出功率30W）1.8.1网孔电流及网孔电流方程

电路如图1-37所示，图中有3条支路，两个网孔。支路电流I1、I2、I3的参考方向已标出。所谓网孔电流，是假想的沿网孔环绕流动的电流，图中Ia、Ib分别是左、右两网孔的网孔电流，网孔电流的参考方向可以选为顺时针或逆时针，本例中均选为顺时针。

图1-371.8网孔电流分析法由KVL可推得网孔电流方程为：

R11Ia+R12Ib=US11

R21Ia+R22Ib=US22

上式中，R11和R22分别为网孔1（左网孔）和网孔2（右网孔）的自阻，它们分别等于网孔1和网孔2中所有电阻之和。用R12和R21表示网孔1和网孔2的互阻，且满足R12=R21，互阻的绝对值就是两网孔所拥有的公共支路上的总电阻。

由于网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，所以自阻总是正值。而互阻可正可负，当通过网孔1、2的公共电阻的两个网孔电流参考方向一致时，互阻R12和R21为正值，相反时，互阻R12和R21为负值。在图1-43电路中，互阻R12=R21=-R2。

US11和US22分别为网孔1和网孔2中所有电压源电压的代数和。当电压源电压的参考方向与网孔电流参考方向一致时，电压源电压前取“-”号，反之取“+”号。根据上述规定，在图1-43电路中，US11=US1–US2，US22=US2–US3。同理，不难得到具有三个网孔的网孔电流方程的一般形式为：

R11Ia+R12Ib+R13Ic=US11

R21Ia+R22Ib+R23Ic=US22

R31Ia+R32Ib+R33Ic=US33

以假想的网孔电流为变量，应用KVL列出网孔电流方程，联立解出网孔电流，则各支路电流为有关网孔电流的代数和。这种分析方法叫网孔电流法。1.8.2网孔法应用举例

【补充例题】

用网孔法求下图电路中各支路电流。

解：选定两个网孔电流Ia、Ib的参考方向如图所示。列出网孔电流方程为（1+1）Ia-Ib=5-Ia+（1+2）Ib=-10解得

Ia=1AIb=-3A各支路电流分别为

I1=Ia=1A，I2=Ib=-3A，I3=Ia-Ib=4A

【例1-13】用网孔法求图1-38电路中各支路电流。

解：

选定三个网孔电流Ia、Ib、Ic的参考方向如图所示。列出网孔电流方程为（2+1+2）Ia-2Ib-Ic=6-18-2Ia+（2+6+3）Ib-6Ic=18-12-Ia–6Ib+（3+6+1）Ic=25-6解得

Ia=-1AIb=2AIc=3A各支路电流分别为I1=Ia=-1AI2=Ib=2A

I3=Ic=3A

I4=Ic–Ia=4A

I5=Ia–Ib=-3AI6=Ic–Ib=1A

图1-38

【例1-14】用网孔法求图1-39电路中各支路电流。解：本题电路中含有独立电流源，且该电流源没有电阻与之并联，无法等效成电压源，因此应增加电流源电压作变量来建立网孔电流方程。此时，由于增加了电压变量，需补充电流源电流与网孔电流关系的方程。设电流源电压为U，考虑了电压U的网孔方程为：

Ia+U=52Ib-U=-10补充方程

Ia–Ib=7求解以上方程得到Ia=3AIb=-4AU=2V各支路电流分别为I1=Ia=3AI2=Ib=-4A

图1-39

【补充例题】下图所示含受控源电路中，已知U=rI，r=5kΩ，试用网孔法求图中受控源两端电压U。解：选定三个网孔电流Ia、Ib、Ic的参考方向如图所示。列出网孔电流方程为（1+3）Ia-Ib-3Ic=5-Ia+（1+4.5）Ib=U-3Ia+（3+4）Ic=-U补充方程

U=5I=5（Ia–Ic

）求解以上方程得到

Ia=1mAIb=2mAIc=-1mA所以受控源两端电压为

1.9网络定理分析法1.9.1叠加定理

线性电路：所谓线性电路，是指由独立电源和线性元件组成的电路。

线性电路的特点：凡是线性电路一定同时满足可加性和齐次性。可加性是指：如果电源f1(t)引起的响应为y1(t)，电源f2(t)引起的响应为y2(t)，则电源为f1(t)+f2(t)时引起的响应为y1(t)+y2(t)。齐次性是指：若电路对电源f(t)的响应为y(t)，当电源扩大α倍变为αf(t)时（α为任意常数），其响应也扩大α倍变为αy(t)。将以上两性质结合起来可表示为

定理内容：在线性电路中有两个或两个以上独立电源共同作用时，任意支路的电流或任意两点间的电压，都可以认为是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路中产生的各电流或在该两点间产生的各电压的代数和（叠加）。

应用定理注意事项：（1）叠加定理只适用于线性电路分析，对非线性电路定理不适用。（2）在计算某一个独立电源单独作用所产生的电流或电压时，应将电路中其它独立电源均置零。其中，电压源置零是用“短路”代替，这样才能保证其输出电压为零；电流源置零用“开路”代替，这样才能保证其输出电流为零。（3）叠加时要注意各独立源单独作用时所产生的电流（或电压）分量，与所有独立源共同作用时所产生的总量之间参考方向的关系，若参考方向一致，则叠加时各分量前面取“+”号，反之取“-”号。（4）功率不是电压或电流的一次函数，故不能用叠加定理来计算功率。定理的应用：用叠加定理分析线性电路时，首先应画出叠加电路图，并且在分图中标出各分量的参考方向；然后在分图中求解各分量；最后将各分量进行叠加。下面举例说明叠加定理的具体用法。【例1-15】在图1-40（a）所示电路中，用叠加定理求支路电流I1和I2。解：

根据叠加定理画出叠加电路图如图（b）、（c）所示。

齐性定理：根据叠加定理可以推导出另一个重要定理——齐性定理，它表述为：在线性电路中，当所有独立源都增大k倍或缩小为1/k（k为实常数）时，支路电流或电压也将同样增大k倍或缩小为1/k。例如，将例1-8中各电源的参数做以下调整：US1= 40V，IS2= 6A，再求支路电流I1和I2。很明显，与原电路相比，电源都增大了1倍，因此根据齐性定理，各支路电流也同样增大1倍，于是得到I1 = −3.5A，I2 = 2.5A。掌握齐性定理有时可使电路的分析快速、简便。

叠加定理小结：通过以上分析可以看出，叠加定理实际上将多电源作用的电路转化成单电源作用的电路，利用单电源作用的电路进行计算显然非常简单。因此，叠加定理是分析线性电路经常采用的一种方法，希望熟练掌握。

【例1-16】电路如图1-41（a）所示。已知r=2Ω，试用叠加定理求电流I和电压U。

解：根据叠加定理画出叠加电路图如图1-41所示。图（b）电路中，只有独立电压源单独作用，列出KVL方程为求得第一组分量为图（c）电路中，只有独立电流源单独作用，列出KVL方程为求得第二组分量为

根据I和U总量与分量参考方向的关系，应用叠加定理得到

【补例】如下图所示电路，N为线性电阻网络。已知当uS=4V，iS=1A时，u=0；当uS=2V，iS=0时，u=1V。试求当uS=10V，iS=1.5A时，u为多少？解：根据叠加定理，应有

代入已知条件，得