机器视觉原理与应用 课件 2机器视觉原理与应用数学基础

第2章机器视觉原理与应用数学基础2.1线性空间2.2内积空间 2.2.1内积空间及其基本性质 2.2.2度量矩阵2.3矩阵的因子分解2.3.1对角矩阵2.3.2单位矩阵2.3.3初等矩阵2.4稠密及其完备性2.5向量范数第2章机器视觉原理与应用数学基础2.6矩阵范数2.7矩阵扰动分析2.8广义逆矩阵2.8.1广义逆矩阵的概念2.8.2广义逆矩阵与线性方程组的极小最小二乘解2.1

线性空间数域如果复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P为一个数域。如有理数域、实数域及复数域，其中有理数域是数域的一部分，每个数域都包含整数0和1。2.1

线性空间线性空间的定义定义2-1设V是一非空集合，P是一数域。如果：（1）在集合V上定义了一个二元运算（通常称为加法），即V中任意元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中一个唯一确定的元素，这元素称为x与y的和，并记作x+y；（2）在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P中任一数与V中任一元素x，经过这一运算后所得结果仍为V中一个唯一确定元素，称为与x的数量乘积，记作x；（3）上述两个运算满足下列八条规则：①对任意

，

；②对任意

，

；③V中存在一个零元素，记作0，对任一

，都有

；2.1

线性空间④任一 ,都有

，使得

，元素y称为x的负元素，记作–x；⑤对任一

，都有

；⑥对任何

，

，

；⑦对任何

，

，

；⑧对任何

，

，

；则集合V称为数域P上的线性空间或向量空间，V中的元素常称为向量。V中的零元素常称为零向量.当P是实数域时，V叫实线性空间；当P是复数域时，V叫复线性空间；数域P上的线性空间有时简称为线性空间。52.1

线性空间6定义2-2

设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集,如果W对于V的加减法运算及数量乘法运算也构成数域P上的线性空间，则W为V的一个线性子空间（简称子空间）.如何判断线性空间V的一个非空子集W是否构成V的子空间？有如下定理:2.1

线性空间定理2-1设W是数域P上线性空间V的非空子集，则W是V的一个线性子空间当且仅当W对于V的两种运算封闭，即(1)如果

，则

；(2)如果

，

，则 .定理2-2若W是有限维线性空间V的子空间，则W的一组基可扩充成V的一组基.由定理2.5.2可知，线性空间V的一组向量构造V的子空间的方法如下所示。设，，……，是数域P上线性空间V的一组向量，这个向量组的所有线性组合组成的集合记为W，即

72.1

线性空间82.2.1内积空间及其基本性质我们首先在一般的线性空间中定义内积运算,导出内积空间的概念,然后引进长度、角度等度量概念。定义2-3 设V是数域P上的线性空间,V到P的一个代数运算记为。

如果

满足下列条件：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

，当且仅当

时

，其中k是数域P中的任意数, 是V中的任意元素,则称

为α与β的内积。定义了内积的线性空间V称为内积空间.特别地,称实数域R上的内积空间V为Euclid空间(简称为欧氏空间)；称复数域C上的内积空间V为酉空间或复内积空间。若内积空间是完备的，称为Hilbert空间（内积空间+完备性）。92.2.1内积空间及其基本性质由定义2-3不难导出,在内积空间中有(1)(2)(3)2.2.1内积空间及其基本性质2.2.1内积空间及其基本性质2.2.1内积空间及其基本性质定理2-3 设V是数域P上的内积空间，则向量长度具有如下性质；

(1) 当且仅当

时

；

(2)对任意

,有

；

(3)对任意

，有

(4)对任意

，有

(5)对任意

，有

并且等号成立的充分必要条件是α，β线性相关.132.2.1内积空间及其基本性质142.2.1内积空间及其基本性质152.2.1内积空间及其基本性质162.2.1内积空间及其基本性质定义2-5 设V是内积空间,V中向量α与β之间的距离定义为

并称

是由长度导出的距离.172.2.2度量矩阵定义2-6 设α，β是内积空间中两个向量，如果

，则称α与β正交，记为

.182.2.2度量矩阵192.2.2度量矩阵定理2-4 设

是数域P上n维内积空间V的一组基，则它的度量矩阵A非奇异.202.2.2度量矩阵定义2-7

设

，用表示以A的元素的共轭复数为元素组成的矩阵,

称为A的共轭转置矩阵。矩阵的共轭转置运算具有下列性质：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6)如果A可逆，则

。212.2.1内积空间及其基本性质定义2-8

设

，如果

，则称A为Hermite矩阵；如果 ,则称A为反Hermite矩阵。

实对称矩阵是Hermite矩阵，有限维内积空间的度量矩阵是Hermite矩阵定义2-9 如果n阶实矩阵A满足 ,则称A为正交矩阵。

如果n阶实矩阵A满足 ,则称A为酉矩阵。222.2.2度量矩阵232.2.1内积空间及其基本性质定义2-10

设

，且

，则称A为正规矩阵。推论1 设A是n阶正规矩阵，其特征值为

，则（1）A是厄米特（Hermite）矩阵的充要条件是：A的特征值全为实数；（2）A是反厄米特矩阵的充要条件是：A的特征值为零或纯虚数；（3）A是酉矩阵的充要条件是：A的每个特征值的模。2.3.1对角矩阵方阵

的特点是：从左上角到右下角的直线(叫做对角线)以外的元素都是0，这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵。对角阵也记作：特别地当

时的线性变换叫做恒等变换，它对应的n阶方阵

叫做n阶单位矩阵25线性变换

对应n阶方阵2.3.2单位矩阵形如

的矩阵特点为：对角线上的元素都是1，其他元素都是0即单位矩阵E的

元为：

。262.3.3初等矩阵1初等行变换

（1）对换两行(对换i,j两行，记作

)；

（2）以数

乘某一行中的所有元素(第i行乘k，记作

)

（3）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上，记作

).2初等列变换

把上面(1)(2)(3)的“行”换成“列”，得初等列变换。3初等变换

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。272.3.3初等矩阵4初等矩阵

定义2-11

设

，为一复数，如下形式的矩阵

称为初等矩阵。定理2-5 初等矩阵具有如下性质： （1）

； （2）如果

，则

可逆，并且其逆矩阵也是初等矩阵

其中

（3）对任意非零向量

，可适当选取和使得

282.3.3初等矩阵292.3.3初等矩阵302.3.3初等矩阵312.3.3初等矩阵322.4稠密及其完备性332.4稠密及其完备性342.4稠密及其完备性定义2-12（有界集）设

是非空数集。(1)如果存在

，使

，有

，则称M为数集A的一个上界；(2)如果存在

，使，有，则称m为数集A的一个下界；(3)如果数集A既有上界又有下界，则称A为有界数集。注2-1数集有界的等价定义：如果存在

，使

，有

，则称A为有界数集。352.4稠密及其完备性362.4稠密及其完备性372.4稠密及其完备性382.4稠密及其完备性392.4稠密及其完备性完备性在微积分中，数列

收敛

是基本列（或

列），它有六个相互等价的命题，这些命题反映了实数的完备性（连续性）。现在将这一概念推广到距离空间。定义2-14（基本列）设

是一距离空间，是X中的点列，如果, ，当

时，有

就称为基本列（或

列）.402.4稠密及其完备性定理2-7（基本列的性质）

中的基本列有如下的性质：(1)若点列收敛，则是基本列；(2)若点列是基本列，则有界；(3)若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，其极限为该子列的极限。412.4稠密及其完备性422.4稠密及其完备性432.5向量范数定义2-16（范数公理）

设V是数域P上的线性空间，是以V中的向量α

为自变量的非负实值函数，如果它满足以下三个条件：(1)非负性：当

时，

；当

时，

；(2)齐次性：对任意

，有

；(3)三角不等式：对任意

,有

。

则称为向量α的范数，并称定义了范数的线性空间为赋范线性空间，称

为赋范线性空间，简记为V.如果V按照距离

是完备的，称V为巴拿赫空间。442.5向量范数452.5向量范数462.5向量范数472.6矩阵范数定义2-17

设是以

中的矩阵A为自变量的非负实值函数，如果它满

足以下四个条件：(1)非负性：当

时，

；当时，

；(2)齐次性：对任意

，有

；(3)三角不等式：对任意

，有

；(4) ，则称为矩阵A的范数.482.6矩阵范数492.6矩阵范数定理2-8 设

，则有

（列模和最大者）

（

是

最大特征者）

（行模和最大者）通常将称为A的列和范数．称为A的谱范数，称为A的行和范数，称为的Frobenius范数（范数）．502.6矩阵范数512.6矩阵范数522.6矩阵范数532.6矩阵范数542.7矩阵扰动分析为了解决科学与工程实际中的实际问题，人们根据物理、力学等规律建立问题的数学模型，并根据数学模型提出求解数学问题的数值计算方法，然后进行程序设计，在计算机上计算出实际需要的结果。在数学问题的求解过程中，通常存在两类误差影响计算结果的精度，即数值计算方法引起的截断误差和计算环境引起的舍入误差。为了分析这些误差对数学问题解的影响，人们将其归结为原始数据的扰动（或摄动）对解的影响。自然地，我们需要研究该扰动引起了问题解的多大变化，即问题解的稳定性。552.7矩阵扰动分析562.7矩阵扰动分析572.7矩阵扰动分析582.7矩阵扰动分析592.7矩阵扰动分析602.7矩阵扰动分析612.7矩阵扰动分析622.7矩阵扰动分析632.8广义逆矩阵642.8.1广义逆矩阵的概念对

，Penrose以简便实用的形式给出了矩阵A的广义逆定义，并陈述了四个条件，称为Penrose方程。(1) (2)(3) (4) 定义2-19对任意矩阵A，如果存在某个G矩阵，满足Penrose方程的一部分或全部，则称G为A的广义逆矩阵。652.8.1广义逆矩阵的概念662.8.2广义逆矩阵与线性方程组的极小最小二乘解设A是的矩阵，其秩为

。关于矩阵A的Moore-Penrose广义逆的存在性与唯一性，有如下结论：定理2-11设A是任意的

矩阵，存在并且唯一。定理2-12设A是

矩阵，其满秩分解为其中B