现代机械工程图学 第3版 课件 第3、4章 立体表面上几何元素的投影、切割体与叠加体

第三章立体表面上几何元素的投影§3.2立体表面上的点§3.3立体表面上的直线§3.4立体表面上的平面§3.1投影法与投影体系§3.5几何元素的相对位置§3.6换面法§3.7立体表面上的曲线与曲面§3.1投影法与投影体系§3.1.2投影体系§3.1.1投影法§3.1.1投影法PABCabcS投影投影面

投射线投射中心一、投影法概述

投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。图3-1投影法PABCabcS投影投影面

投射线投射中心常用的投影方法有两种：中心投影法和平行投影法。二、投影法的分类§3.1.1投影法中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投影特性物体位置改变，投影大小也改变。投射线物体投影面投影投射中心§3.1.1投影法图3-2中心投影法平行投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法正投影法§3.1.1投影法图3-3正投影法图3-4斜投影法三、正投影的基本性质HabHHHcedECDABEFACDBabABdabccedDECABabef1.积聚性3.类似性2.真实性4.平行性§3.1.1投影法图3-5正投影法的投影规律四、工程上常用的投影图§3.1.1投影法（1）多面正投影图（a）直观图（b）投影图图3-6多面正投影图四、工程上常用的投影图§3.1.1投影法（2）轴测投影图（a）轴测投影图的形成（b）轴测图图3-7轴测投影图四、工程上常用的投影图§3.1.1投影法（3）标高投影图（a）曲面标高投影图的形成（b）曲面标高投影图图3-8标高投影图四、工程上常用的投影图§3.1.1投影法（4）透视投影图图3-9透视投影图§3.1投影法与投影体系§3.1.2投影体系§3.1.1投影法HWV1.三面投影体系的建立正面投影面--V面水平投影面--H面侧面投影面--W面2.投影轴OXZOX轴

V面与H面的交线OZ轴

V面与W面的交线OY轴

H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y三面投影体系将空间分为八个分角。§3.1.2投影体系图3-10三面投影体系Va'

b'

s'

b

a

c

s

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立投影体系;(2)正投影;c'

3、三面投影体系的展开OXZY§3.1.2投影体系图3-11（a）

直观图a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;a

s

b

c

OXYWZYHVHW图3-11（b）

展开图§3.1.2投影体系a'

b'

s'

c'

b”s”

a”(c”)投影过程：(1)建立坐标系;(2)作正投影;(3)投影面展开;b

a

c

s

(4)整理图形。

立体投影的形状以及投影之间的关系与轴无关，因此，可以不必画出投影轴。图3-11（c）

平面投影图§3.1.2投影体系§3.2立体表面上的点§3.2.2两点的相对位置和重影点§3.2.1点的三面投影§3.2.1点的三面投影1．符号规定

空间点：用大写字母A、B、C….表示投影：用小写字母

●水平投影a、b、c

●

正面投影a′、b′、

c′

●

侧面投影a″、b″

、c″等2．点的投影规律①a

a⊥OX轴

a

a

⊥OZ轴②aax=a

az=y=A到V面的距离

a

ax=a

ay=z=A到H面的距离

aay=a

az=x=A到W面的距离a′a″aaxayazxyzVHAWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHW图3-12点在三面投影体系中的投影a)直观图b)投影图§3.2.1点的三面投影YHYWOXZ?用圆规截取Y相等b’b’’a【例3-1】已知点的两个投影，求第三投影。b§3.2.1点的三面投影YHYWOXZb’b’’b作45°辅助线，使y相等。正方形的各边相等45°画圆弧，使y相等。Y相等的其它作图方法：【例3-1】已知点的两个投影，求第三投影。§3.2.1点的三面投影(1)空间点可用三个坐标表示，如A点坐标（XA，YA，ZA）。

X：反映点到W面距离Y：反映点到V面距离

Z：反映点到H面距离(2)一个投影点反映了两个坐标值，如投影a，其坐标XA

，YA

；结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。3．点的坐标与投影的关系图3-13点的坐标与投影关系a)直观图b)投影图§3.2.1点的三面投影VHXOZYW【例3-2】

已知点（15，5，10），作出点的三面投影和直观图。a'aa’a"Aa"

a图3-14由点的坐标求作点的投影图和轴测图a)投影图b)直观图XOZYHYW§3.2.1点的三面投影OXZYHYWa'aa"c'c由图3-15可知:(1)三个坐标值中有一个坐标为零时，则该点必定在投影面上，如A、B点。(2)三个坐标值中有两个坐标为零时，则该点必定在其坐标值不为零的那个投影轴上，如C点。b'b"b45°图3-15特殊位置点的投影c"4、特殊位置点的投影§3.2.1点的三面投影§3.2立体表面上的点§3.2.2两点的相对位置和重影点§3.2.1点的三面投影

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x

坐标大的在左

▲

y

坐标大的在前▲z

坐标大的在上b

aa

a

b

bB点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ1．两点的相对位置图3-16两点相对位置O§3.2.2两点的相对位置和重影点(d')aa'a"c'cc"dd"b'bb"XOZYHYW2．重影点

位于同一投射线上的两点，由于它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做重影点（重影点必须有两个坐标值相同）

。图3-17

重影点的投影(b)被挡住的投影加()§3.2.2两点的相对位置和重影点

§3.3立体表面上的直线

3.3.1各种位置的直线

3.3.2直线上的点

3.3.3一般位置直线的实长与倾角

3.3.4两直线的位置关系

3.3.5直角投影定理

一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影，如图3-18所示。图3-18直线的投影XZYHYWa'aa"b'bb"O§3.3.1各种位置的直线直线与投影面的相对位置情况：直线的空间位置特殊位置直线一般位置直线投影面平行线投影面垂直线正平线

水平线侧平线正垂线

铅垂线侧垂线§3.3.1各种位置的直线

对三个投影面都倾斜的直线。直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。空间直线与投影面H、V、W之间的倾角分别用α、β、γ表示，如图3-19所示。水平投影

ab=ABcosα

1．一般位置直线一般位置直线的投影特征：①三个投影均不反映实长；②三个投影均不反映直线与投影面的倾角。图3-19一般位置直线侧面投影a″b″=ABcosγ正面投影a′b′=ABcosβ§3.3.1各种位置的直线VHWOXYZbabaabABγγββ投影特性：1.a‘b’//OX，a“b”//OY；2.ab=AB；3.反映

、

角的真实大小oxzyHyWbabaab§3.3.1各种位置的直线2．投影面平行线——水平线图3-20水平线投影特性：1.ab//OX，a“b”//OZ；2.a'b‘=AB；3.反映

、

角的真实大小图3-21正平线2．投影面平行线——正平线§3.3.1各种位置的直线投影特性：1.a‘b’//OZ，ab//OY；2.a“b”=AB；3.反映

、

角的真实大小§3.3.1各种位置的直线图3-22侧平线2．投影面平行线——侧平线2．投影面平行线投影特性:①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。图3-23投影面的平行线§3.3.1各种位置的直线与一个投影面平行，而对另外两投影面倾斜的直线。oxzyHyWbaabVHWOXYZABbaaba(b)a(b)投影特性：1.ab积聚成一点；2.a’b’

OX;a’’b’’

OY

；3.a’b’=a’’b’’=AB3、投影面垂直线——铅垂线图3-24铅垂线§3.3.1各种位置的直线投影特性：1.a’b’积聚成一点;2.ab

OX;a’’b’’

OZ;3.ab=a’’b’’=ABHW3、投影面垂直线——正垂线§3.3.1各种位置的直线图3-25正垂线投影特性：1.a’’b’’积聚成一点；2.ab

OY;a’b’

OZ；3.ab=a’b’=ABHW3、投影面垂直线——侧垂线§3.3.1各种位置的直线图3-26侧垂线投影特性:

①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。②另外两个投影，反映线段实长（真实）。且垂直于相应的投影轴。3．投影面垂直线垂直于某一个投影面的直线。

图3-27投影面的垂直线§3.3.1各种位置的直线

§3.3立体表面上的直线

3.3.1各种位置的直线

3.3.2直线上的点

3.3.3一般位置直线的实长与倾角

3.3.4两直线的位置关系

3.3.5直角投影定理①直线上点的投影必在该直线同面投影上；（从属性）②同直线上两线段长度比等于其投影长度比。（定比性）图3-28直线上点的投影AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″§3.3.2直线上的点投影特性a

b

abkb

a

k

【例3-3】在AB上求作点K，使AK:KB=1:2。

21k

图3-29求作直线上K点的投影OX§3.3.2直线上的点

§3.3立体表面上的直线

3.3.1各种位置的直线

3.3.2直线上的点

3.3.3一般位置直线的实长与倾角

3.3.4两直线的位置关系

3.3.5直角投影定理

一般位置直线段在各投影面上的投影均不反映实长，也不反映对投影面的倾角。在工程上，经常遇到求一般位置直线的实长和倾角，常采用的作图方法有直角三角形法。

aYZVAb'BHbOXa'A1aa'Xbb'ZA---ZBZA--ZBAB实长aa'Xbb'AB实长Aoab图3-30用三角形法求一般位置直线的实长和倾角OO§3.3.3一般位置直线的实长与倾角

一般位置直线的投影中可作出三个直角三角形，若只考虑直角三角形的组成关系。利用直角三角形法，只要知道四个要素（实长、投影、倾角、距离差）中的两个要素，即可求出其他两个未知要素，如图3-31所示。图3-31直角三角形的三种三角形B1aYZVAb'BHbOXa'A1§3.3.3一般位置直线的实长与倾角Xa’b’b30°ababaa【例3-4】已知AB直线的正面投影a’b’及点B的水平投影b,=30°,求ab。§3.3.3一般位置直线的实长与倾角

§3.3立体表面上的直线

3.3.1各种位置的直线

3.3.2直线上的点

3.3.3一般位置直线的实长与倾角

3.3.4两直线的位置关系

3.3.5直角投影定理空间两直线的相对位置可以分为三种：平行、相交、交叉。

（1）两直线平行

空间两直线平行，则它们的同面投影必然相互平行；反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则两直线在空间也一定相互平行。图3-32平行两直线§3.3.4两直线的位置关系AB、CD为侧平线，虽然ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a″b″不平行于c″d″，故直线AB不平行于直线CD。

若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行。但对于投影面的平行线，通常根据其三面投影（或其他的方法）来判别。图3-33

判断两直线平行§3.3.4两直线的位置关系

当两直线相交时，它们在各个投影面上的同面投影也必然相交，并且交点符合点的投影规律。

（2）两直线相交图3-34相交两直线§3.3.4两直线的位置关系VXZYDACBc'd'b'a'badcⅣⅠⅡⅢ(2’)1‘3(4)既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。投影图上的交点是重影点。OXabb’a’c’d’dc（2’）1‘3（4）4’3’12

不符合投影规律O（3）两直线交叉§3.3.4两直线的位置关系图3-35交叉两直线1’11’d’1’c’结论：直线AB、CD是两交叉直线。§3.3.4两直线的位置关系【例3-5】：判断空间两直线AB、CD的相对位置。【例3-6】：判断AB、CD两直线的相对位置。交叉OXabb’a’c’d’dc分析：判断方法：方法一作第三投影（略）方法二按定比性。（略）方法三：假定AB、CD平行，则ABCD共面，AD和BC必相交，AB、CD

两交叉直线。结论：平行？交叉？作图：§3.3.4两直线的位置关系

§3.3立体表面上的直线

3.3.1各种位置的直线

3.3.2直线上的点

3.3.3一般位置直线的实长与倾角

3.3.4两直线的位置关系

3.3.5直角投影定理VZYO

直角投影定理CAb'a'bc'caB已知：AB为水平线，∠BAC为直角，则∠bac仍为直角。证明：

∵AB⊥AC，

AB⊥Aa

,∴AB⊥平面ACca，∵AB∥H面，

ab∥AB∴

ab⊥平面ACca

有ab⊥ac

。ab∥ABa’b’∥OX直角

有AB⊥ac；∠bac仍为直角X§3.3.5直角投影定理图3-36直角投影定理直观图VZYOCAa'bab'c'cBXOa'b'c'bca投影图

直角投影定理已知：AB为水平线，∠BAC为直角，则∠bac仍为直角。X图3-37直角投影定理§3.3.5直角投影定理VZ

YO

直角投影定理bc'cCaAB反之：若a’b’∥OX，∠bac为直角，则空间∠BAC为直角。ab⊥平面aACc，有ab⊥AC；

AB⊥平面ACca

,

有AB⊥AC。AB为水平线AB∥aba'b'X图3-38直角投影逆定理直观图§3.3.5直角投影定理

直角投影定理也适于两交叉直线。

已知CD与EF交叉垂直，EF为水平线，则在H面上cd与ef垂直。投影图XOe'f'c'fc(e)d'dVZYOe'f'fc'c

(e)EFd'DdCMX图3-39交叉两直线垂直§3.3.5直角投影定理【例3-7】求点A到水平线BC的距离AK及其投影。

分析：点A到BC的距离AK⊥BC，因为BC为水平线，所以在水平面投影上能反映直角关系。cabc′a′b′XOkk′a实长图3-40求点到直线的距离§3.3.5直角投影定理Xa(b)a’b’cdc’d’HABCDEFabecdfff’ee’【例3-8】求直线AB和CD间的最短距离。距离§3.3.5直角投影定理图3-41求两直线最短距离3.4立体表面上的平面§3.4.1平面表示方法§3.4.2各种位置的平面§3.4.3平面上的点和直线不在同一直线上的三个点直线及线外一点两相交直线两平行直线平面图形图3-42用几何元素表示平面1.几何元素表示法§3.4.1平面表示方法VXZY2.迹线表示法迹线：平面与投影面的交线。PPVPHPWPXPYPZ规定：V、H、W各面迹线分别用PV、PH、PW

表示。

XZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPWO§3.4.1平面表示方法图3-43用迹线表示平面3.4立体表面上的平面§3.4.1平面表示方法§3.4.2各种位置的平面§3.4.3平面上的点和直线平面与投影面的相对位置情况：

平面的空间位置特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面正垂面

铅垂面

侧垂面

正平面

水平面侧平面§3.4.2各种位置的平面1．一般位置平面

一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面。图3-44一般位置平面投影特性：在三个投影面上的投影都不反映实形，而是小于原平面的类似形。§3.4.2各种位置的平面

投影特性：

①平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，它与投影轴的夹角分别反映该平面对另两个投影面的倾角(真实)。②平面在另两个投影面上的投影均为小于原平面的类似形。2．投影面垂直面垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。铅垂面正垂面侧垂面图3-45投影面的垂直面§3.4.2各种位置的平面投影特性：①平面在所平行的投影面上的投影反映实形（真实）。②平面在另两个投影面上的投影均积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴。3．投影面平行面平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。水平面正平面侧平面图3-46投影面的平行面§3.4.2各种位置的平面

分析：铅垂面的水平投影积聚成一条倾斜直线，且与X轴的夹角为β角，据此可作图。

【例3-9】过点A（a，a′）作一铅垂面，并使其与V面的倾角为β=30°。

作图：

过点A的水平投影a作与X轴成30°夹角的线段ab，在线段ab上任选一点c，即得铅垂面的水平投影。过点A的正面投影a′作a′b′、a′c′，则abc和a′b′c′即为所求铅垂面。cbac

a

b

β图3-47求作铅垂面XO

有两解§3.4.2各种位置的平面3.4立体表面上的平面§3.4.1平面表示方法§3.4.2各种位置的平面§3.4.3平面上的点和直线

点和直线在平面上的几何投影条件：

①若某点位于平面内的一条已知直线上，则此点必定在该平面上。②一直线通过平面上的两已知点，则此直线必在该平面上。③一直线过平面上的一已知点且与平面上一已知直线平行，则此直线必在该平面上。图3-48

点和直线在平面上的条件（一）图3-49点和直线在平面上的条件（二）§3.4.3平面上的点和直线【例3-10】

已知平面ABC，如图3-50所示，试求：

(1)判断点D是否在平面ABC上。

(2)平面ABC上有一点E，已知水平投影e，求正面投影e′。ed'd1'2'12XOa'ab'c'bc

作图：

①连接c′d′，并延长与a′b′交于1′，求出1c，若点D在直线IC上，则不仅d′在1′c′上，而且d也在1c上，从图中可看出点D不在平面ABC上。

②连接ae与bc相交于2，求出a′2′，则AⅡ为平面ABC上的一条直线，因为点E在平面ABC上，所以点E在直线AⅡ上，因此过点e作投射线与a′2′的延长线得交点，该交点即为所求正面投影e′。

e'图3-50平面上的点

分析：判断一点是否在平面上，或在平面上取点，都必须在平面上取一包含该点的直线。§3.4.3平面上的点和直线

作图：①分别连接ac、bd得一交点为点k，连b′d′，在b′d′上求出点k′，并连接a′k′。

【例3-11】

试完成平面四边形ABCD的正面投影，并在平面ABCD上取一条水平线，使其到H面的距离为15mm。c′kk′15mm2′12图3-51平面上的直线

分析：

ABCD既然是平面，则其对角线必相交；水平线的正面投影平行于X轴，按题意，其所有点的Z=15mm，据此可作图。1′③在正面投影上作一平行于X轴的直线且使z=15mm，与a′d′、b′c′分别交于1′、2′点，求出其水平投影1、2并连接，则直线ⅠⅡ即为所求水平线。

②过c作⊥OX的连线，与a′k′的延长线相交求得c′，连接b′c′、d′c′，即完成ABCD的正面投影。§3.4.3平面上的点和直线3.5几何元素的相对位置§3.5.1平行问题§3.5.2相交问题§3.5.3垂直问题§3.5.4综合问题§3.5.5最大斜度线1．直线与平面平行

若一直线与某平面内的任一直线平行，那么此直线与该平面平行，反之亦然。图3-52

直线与平面平行的条件（1）§3.5.1平行问题直线与特殊位置平面平行

当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。§3.5.1平行问题图3-53

直线与平面平行的条件（2）【例3-12】过点M作一正平线MN与平面△ABC平行。

dd'nn'

分析：

过直线外一点作某一平面的平行线可以有无数条，但本题要作的是正平线，因此在△ABC平面内只要作一条正平线AD，使MN平行于该正平线即可。

图3-54

过点作与已知平面平行的正平线

作图：

①

在△ABC的水平投影△abc中，由点a作X轴平行线与bc边相交于d，并由ad得a′d′

。

②过点m、m′分别作直线mn、m′n′平行于ad、a′d′

，MN

（mn、m′n′）即为所求。§3.5.1平行问题唯一解【例3-13】判断直线AB是否与平面△DEF平行。

gg'b'OXafedf'a'e'd'b

分析：假设直线AB与平面△DEF平行，则在平面△DEF内一定能作一条与AB平行的直线。否则，直线与平面不平行。作图：过点e

作一条与a

b

平行的直线e

g

，作出其水平投影eg，图3-55判断直线与平面是否平行由作图可知，eg不平行ab。结论：直线AB与平面△DEF不平行。§3.5.1平行问题2．平面与平面平行

若一平面内两相交直线与另一平面内的相交直线对应平行，则此两个平面互相平行，如图3-56所示。图3-56

两平面平行的条件（1）§3.5.1平行问题

若两个投影面的垂直面互相平行，则它们积聚性的同面投影也互相平行，反之亦然，如图3-57所示。图3-57两平面平行的条件（2）§3.5.1平行问题【例3-14】过点K作一平面与平面△ABC平行。

ff'e'eOkk'Xbcac'b'a'

分析：过点K作平面平行于△ABC平面时，只要过点K作两相交直线与△ABC的任意两边平行即可。作图：过k作ke∥bc、

kf∥ac，过k

作k

e

∥b

c

，k

f

∥a

c

，则KEF组成的平面即为所求。

图3-58

过点作平行平面§3.5.1平行问题acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。【例3-15】判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知AB∥CD∥EF∥MH§3.5.1平行问题3.5几何元素的相对位置§3.5.1平行问题§3.5.2相交问题§3.5.3垂直问题§3.5.4综合问题§3.5.5最大斜度线1．直线与平面相交(1)一般位置直线与特殊位置平面相交1'(2')kk'a'b'c'acbXOe'f'ef①求交点。交点K的水平投影k必在abc上。因为点K又在EF上，所以点k必在ef上，ef与cde的交点即为交点K的水平投影k，据点k可求出K的正面投影点k

。

②判别可见性。

EF与AB是一对交叉直线，Ⅰ在AB上，Ⅱ在EF上，点Ⅰ、Ⅱ在V面有重影点，由于yⅠ＞yⅡ，对V面而言，点Ⅰ的投影可见，点Ⅱ的投影不可见，即线段a

b

可见，而e

f

上被平面遮住的部分k

2

不可见，画为细虚线。

图3-59

一般位置直线与铅垂面相交分析与作图步骤:12§3.5.2相交问题(2)一般位置平面与投影面的垂直线相交c'k′kOXee'cdd'b'ba'(a)①

求交点。由于直线AB的水平投影积聚成一点，因此交点K的水平投影k必与之重合。又由于交点K属于△CDE，故可利用平面上取点的方法，求出点K的正面投影k′。

②判别可见性。由水平投影可知，平面上的DE边与AB是交叉直线，由于DE在上，AB在下，所以在正面投影中，k′b′与d′e′重叠的部分不可见，用细虚线表示，则k′a′可见，为粗实线。图3-60

一般位置平面与正垂线相交分析与作图步骤:§3.5.2相交问题①求交线K1K2。利用平面ABCD在水平面上具有积聚性，可直接求出K1、K2的水平投影k1、k2。利用表面取点的方法，求出K1、K2的正面投影k1′、k2′，并连接其同面投影，则线段K1K2为所求。

②判别可见性。由H面投影可知，EFK2K1部分在平面EFG的前方，故其V面投影e′f′k2′k1′部分为可见，其余部分的可见性可由此进一步确定。2．投影面的垂直面与平面相交a

b

c'd

a(b)d(c)e

f

g

efgk2'k1

k1k2图3-61一般位置平面与铅垂面相交XO分析与作图步骤:§3.5.2相交问题ee'ff'dd'aa'c'b'cm'n'm(n)

分析：两铅垂面相交，交线一定是一条铅垂线，在H面投影积聚为一点，V面投影垂直于OX轴且在两平面的公共范围内。作图：

①求交线。

利用铅垂面的积聚性，可直接求出交线的水平投影为m（n），过m作OX轴垂线，分别交

d′f′、d′e于m′、n′，得交线的V面投影m′n′。

②判别V面投影可见性。

由H面投影可知，在交线MN左边，△DEF

中EFMN部分在△

ABC平面的前方，故其V面投影e′f′m′n′部分可见，其余部分可由此进一步确定。【例3-16】已知两平面△ABC与△DEF相交，试求其交线。图3-62两正垂面相交求交线bXO§3.5.2相交问题3、一般位置直线和平面相交引：求直线DE与平面△ABC的交点。

辅助平面法cbac'b'a'xod'e'de分析KACBPE(D)§3.5.2相交问题图3-63一般位置直线与平面相交（a）KACBPE(D)已知平面辅助平面法作图过程：1.包含直线作辅助平面；2.求辅助平面与已知平面的交线；3.求交线与已知直线的交点。已知直线辅助平面交点辅助平面的位置原则?特殊位置平面引：求直线DE与△ABC平面的交点。

辅助平面法§3.5.2相交问题3、一般位置直线和平面相交图3-63一般位置直线与平面相交（b）cbac'b'a'xoPV1‘2’(

)

1234(

)

4’3‘kk’作图过程：1.包含直线DE作正垂面P(或铅垂面）；2.求P平面与△ABC平面的交线，并确定交点K；3.利用重影点判别可见性。引：求直线DE与平面△ABC的交点。

辅助平面法直线V投影的可见性直线H投影的可见性d'

e'deKACBPE(D)§3.5.2相交问题3、一般位置直线和平面相交图3-63一般位置直线与平面相交（c）4、两一般位置平面相交求交线的方法：(1).线面相交法；(2).三面共点法。§3.5.2相交问题PVkQVl’k’l【例3-17】

求两平面△ABC和△DEF的交线。(1)线面相交法分析:

两次运用直线与平面相交的方法,求两交点连线即可。投影作图:xoebac'b'a'cfde‘f’d’§3.5.2相交问题图3-64线面相交法求解两一般位置平面交线（a）kk’PVQVxoebac'b'a'cfde‘f’d’l’l分析:

两次运用直线平面相交的方法,求两交点连线即可。投影作图:判别可见性:V投影的可见性H投影的可见性§3.5.2相交问题图3-64线面相交法求解两一般位置平面交线（b）【例3-17】求两平面△ABC和△DEF的交线。(1)线面相交法【例3-18】求△ABC和平面(L1∥L2)的交线。(2)三面共点法xobac'b'a'cL1’L2’L1L2原理分析:K1K2S1S2PQ投影作图:K1K2K1’K2’交线SV1SV2§3.5.2相交问题图3-65三面共点法求解两一般位置平面交线（b）3.5几何元素的相对位置§3.5.1平行问题§3.5.2相交问题§3.5.3垂直问题§3.5.4综合问题§3.5.5最大斜度线1．直线与平面垂直

若一平面为投影面垂直面，则与这个平面垂直的直线一定是该投影面的平行线，如图3-66所示。

edd'e'OXbcac'b'a'

直线DE垂直于铅垂面△ABC，则DE一定是水平线。因为de⊥abc，且d′e′∥OX轴，则点E必为垂足。图3-66直线与铅垂面垂直§3.5.3垂直问题

【例3-19】已知点D和平面△ABC的投影，求点D到平面△ABC的距离及投影。e'e分析：作图：①在V投影面中，过d′作a′b′c′的垂线d′e′，那么DE必定是正平线，②过d作OX轴平行线与过e′作OX轴的垂线相交，得交点e，de即为DE的水平投影。③由于正平线在V面反映实长，所以d′e′为点D到平面△ABC的实际距离。cc'XOa'b'abd'd图3-67求点到投影面垂直面的距离§3.5.3垂直问题【例3-20】含点E作直线垂直△ABC，并求垂足。22'1'13'44'3cb'aa'xc'obe'eQHkk'f'f解题过程：4.含EF作铅垂面QH,求垂足K;1.在平面

内取正平线CⅡ(c2∥OX);2.在平面内取水平线AⅠ

(a

’1’∥OX);3.过e作ef⊥a1;

过e’作e’f

’⊥c’2’

;5.判别可见性。则EF垂直△ABC§3.5.3垂直问题图3-68求点到一般位置平面的垂线

2.

平面与平面垂直

若两空间平面垂直相交，且两平面都垂直于某一投影面时，两平面的积聚性投影一定互相垂直，且交线为该投影面的垂直线，如图3-69所示。

铅垂面ABCD和铅垂面ABEF互相垂直，则它们积聚性的水平投影互相垂直，交线AB必为铅垂线。f(e)e'f'(b)ad（c）c'XOb'd'a'图3-69两铅垂面垂直§3.5.3垂直问题2.

平面与平面垂直【例3-21】

含点A

作平面⊥平面△ⅠⅡⅢ

。bb'a1'c'c分析:2.无穷解。1.含A作直线垂直已知平面;作图:1.在△ⅠⅡⅢ内取水平线、正平线；2.过A作直线AB垂直该水平线、正平线；3.过A任作直线AC。

相交直线AB、AC所决定的平面为所求。5'4'54O2a'X2'1'13'3§3.5.3垂直问题图3-70过定点作已知平面的垂面3.5几何元素的相对位置§3.5.1平行问题§3.5.2相交问题§3.5.3垂直问题§3.5.4综合问题§3.5.5最大斜度线求解综合问题主要包括：

平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤空间几何元素的定位问题（交点、交线）空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。§3.5.4综合问题c

g

h

e

f

d

cefghdXO【例3-22】已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。1、

空间几何元素定位问题§3.5.4综合问题图3-71(a)定位问题例题分析

所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF§3.5.4综合问题图3-71（b）定位问题——分析作图过程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

§3.5.4综合问题图3-71（c）定位问题——求解度量问题—是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。

(1).距离的度量点到点之间的距离.

求二点之间线段的实长（直角三角形法）。

2空间几何元素度量问题§3.5.4综合问题DBPPBPKAKALCKLL点到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。

点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。

直线与直线平行之间的距离过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。§3.5.4综合问题PQPPLABKLABKCDEF直线与交叉直线之间的距离直线与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。§3.5.4综合问题【例3-23】求两平行直线AB和CD的距离。c

a

b

cabXOe

f

ef1

2

12kk

所求距离PVd

d§3.5.4综合问题图3-72两平行线间距求解【例3-24】求Ｍ点到△ABC平面的距离。

作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与△ＡＢＣ平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即可。hfe

bm

b

a

c

ach

所求距离

MK实长k

kXOef

m§3.5.4综合问题图3-73定点到定平面的距离求解cc

a

b

abXOdd

【例3-25】求交叉两直线AB和CD的公垂线段。§3.5.4综合问题图3-74交叉直线工垂线段求解（1）分析LKABDCGHEFP

过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。§3.5.4综合问题作图过程gg1

122

h343

4

eefkklflcc

a

b

abXOdd

hPH§3.5.4综合问题图3-74交叉直线工垂线段求解（2）PABCEF任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。两相交直线间的夹角θ(2)、角度的度量§3.5.4综合问题PCAB直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法。直线与平面的夹角Ø

θ(2)、角度的度量§3.5.4综合问题PQ两平面间的夹角两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相交直线间的夹角)的补角，补角即为所求。此法又称补角法。Ø

θθBCA(2)、角度的度量§3.5.4综合问题【例3-26】求直线ＤＥ与△ＡＢＣ平面的夹角θ作∠ＥＤＦ的余角θ，即为所求直线ＤＥ与△ＡＢＣ平面的夹角。ＥＦf

XObee

b

a

c

acd

dＤＦＦＤＥθØfdfef§3.5.4综合问题图3-75直线与平面夹角求解3.5几何元素的相对位置§3.5.1平行问题§3.5.2相交问题§3.5.3垂直问题§3.5.4综合问题§3.5.5最大斜度线1．平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2．平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。§3.5.5最大斜度线*图3-76最大斜度线§3.5.5最大斜度线*【例3-27】求

ABC平面与水平投影面的夹角

。bd'de'ebe

BE图3-77一般位置平面倾角求解3.6换面法§3.6.1换面法的概念§3.6.2点、直线的换面§3.6.3平面的换面§3.6.4换面法的应用

在原投影面体系中，保持空间几何元素的位置不动，再建立一个新的投影面，使新建立的投影面相对于空间几何元素处于特殊位置以有利于解题。这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：①新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置。②新投影面必须垂直于原来投影体系中的一个投影面。

图3-78投影变换的方法§3.6.1换面法的概念3.6换面法§3.6.1换面法的概念§3.6.2点、直线的换面§3.6.3平面的换面§3.6.4换面法的应用

1．点的换面

(1)变换V面VHXX1a1'ax1V1V1HX1①新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴；②新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。a1'a'aXVH直观图b)投影图图3-79点的一次投影变换（变换V面）Aaxa'aOO1§3.6.2点、直线的换面(2)变换H面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1

用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′

=aax。

a'aXVH直观图b)投影图图3-80点的一次投影变换（变换H面）Aaxa'aOO1§3.6.2点、直线的换面

（3）、点的二次变换解决工程上的实际问题时，有时变换一次还不能解决问题，而必须变换二次或多次。点的二次变换作图过程，其原理和点的一次变换相同。a2V1X2H2图3-81点的二次投影变换a)直观图b)投影图V1HX1a1'a'aXVHO1OO2§3.6.2点、直线的换面a1'b1'V1HX1

变换V面——正平线：新轴与水平投影平行实长平行(1)将一般位置直线变为投影面的平行线图3-82

一般位置直线变换成H1面平行线a)直观图b)投影图aa'b'bVXHOO1§3.6.2点、直线的换面

1．直线的换面a1b1变换H面——水平线：新轴与正面投影平行XVHa'b'baX1VH1

实长平行图3-83一般位置直线变换成H1面平行线a)直观图b)投影图O1O§3.6.2点、直线的换面

新轴与新的水平投影垂直；新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。1c'(d1')图3-84投影面平行线变换成投影面垂直线a)直观图b)投影图X1HV1O1§3.6.2点、直线的换面(2)将投影面的平行线变为垂直线

1．直线的换面一般位置直线一次变换平行线二次变换垂直线V1H2X2垂直a2(b2)图3-85一般位置直线变换成垂直线V1HX1aa'b'bVXHa1'

实长平行b1'OO1O2§3.6.2点、直线的换面3.6换面法§3.6.1换面法的概念§3.6.2点、直线的换面§3.6.3平面的换面§3.6.4换面法的应用1.将一般位置平面变为投影面的垂直面

分析：若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其变换为垂直线，则平面就可变换为垂直面。图3-86一般位置平面变换为投影面铅垂面a)直观图b)投影图§3.6.3平面的换面VHXaxa'b'X1V1c’ck'kBK新投影面应垂直于平面内的平行线！图3-90一般位置平面变换为正垂面直观图ax1cx1bx1abbxACa1'(k1')b1'c1'

§3.6.3平面的换面k'kb1'c1'

HV1X1垂直平面有积聚性的投影步骤：①找平面内的水平线;③平面变成垂直面，有积聚性，反映平面与H面的夹角。②建新轴V1/H垂直于ak，AK变成正垂线;图3-91一般位置平面变换为正垂面投影图作图:将一般位置平面变为正垂面的投影图。a'aXVHcbc'b'a1'(k1')OO1§3.6.3平面的换面2.将投影面垂直面变为投影面的平行面△ABC是铅垂面，要将其变换为投影面平行面，只能变换为正平面，因此必须变换V投影面，可设立一新投影面V1平行于△ABC，且与H面组成V1/H新投影面体系。图3-92铅垂面变换为正平面a)直观图b)投影图§3.6.3平面的换面

一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。V1H2X2a2b2c2平行实形图3-93一般位置平面变换为水平面a'aXVHcbc'b'k'kb1'c1'

HV1X1a1'(k1')OO1O2§3.6.3平面的换面3.6换面法§3.6.1换面法的概念§3.6.2点、直线的换面§3.6.3平面的换面§3.6.4换面法的应用

前面所讨论的点、线、面等问题仅偏重于单个问题的投影原理及作图方法，而实际中，作图问题往往是综合性的，有时需要多种作图方法才能解决。解决这类问题时应按照以下步骤进行：

①弄清题意：明确已知条件和求解的关系。

②空间分析：想象出已知条件在空间的状态，加以分析,想出解题的方案。必要时可用橡皮、笔、纸等作为点、线、面模型帮助思考。

③

分清步骤：解题方案选定之后，就要决定作图步骤，先作什么，后作什么等等。

④

作投影图：利用各种基本作图方法逐步作出投影图，直到完成解答。§3.6.4换面法的应用【例3-28】过点A作一直线AK与直线BC垂直相交。

k'

分析：

根据直角投影定理可知，当垂直相交的两条直线中有一条是投影面的平行线时，则此两条直线在该投影面上的投影互相垂直。因此，需先将直线BC变换为投影面的平行线。

作图过程如图3-94所示。cbac'a'b'XOVHX1HV1b1'c1'a1'k1'k图3-94过点A作直线与BC垂直相交O1§3.6.4换面法的应用【例3-29】已知AB、CD是两条交叉直线，求两直线最短距离及其投影。X2H2V11m'm'mnn'

若将两交叉直线中一直线CD变换成投影面的垂直线，则公垂线MN一定是该投影面的平行线，在该投影面上的投影反映实长，且与另一直线AB在该投影面上的投影互相垂直。利用换面法将直线CD进行两次换面，使其成为H2投影面上的垂直线，公垂线MN平行于H2面。

分析：

连接两交叉直线的线段中，只有它们的公垂线最短。

BACDMNabc(d)(n)Hcbac'a'b'OVHdd'XX1HV11a'b1'图3-95求两交叉直线间的公垂线及投影d1'c1'n1'm2'a2'b2'(c2')d2'O1O2§3.6.4换面法的应用d'dX1HV1(d1')a1'c1'b1'e1'25k1'm1'mk'm'【例3-30】已知点K到平面△ABC的距离为25mm，求k′及点K到平面△ABC距离的投影。

分析：

当平面为投影面的垂直面时，点K到此平面的垂线为该投影面的平行线，据此可作图。由于已知的是点K的H投影，则必须设立新投影面V1，建立新投影体系V1/H，将平面△ABC变换为V1面的垂直面。图3-96已知点到平面的距离求点的另一投影及距离c'a'b'cbaXVHkOO1§3.6.4换面法的应用f'a'b'e'c'd'efcbdXVHak'ka1'X1HV1c1'b1'd1'f1'e1'm1'n1'mnn'm'【例3-31】求两平面△ABC和△DEF的交线，并判断可见性。

分析：

当相交两平面中有一个是投影面的垂直面时，可利用投影的积聚性求解两平面交线。因此可将其中一平面利用换面法变换为投影面的垂直面，求出在新投影体系中的交线，然后再返回到原投影体系中。

图3-97求两平面的交线OO1§3.6.4换面法的应用【例3-32】求两平面△ABC和△ABD的夹角。

分析：

当两平面均垂直于某一投影面时，则两平面在该投影面上的投影积聚成为直线，两直线间的夹角就反映了两平面的实际夹角。由于两平面均为一般位置平面，若将它们变换为投影面的垂直面，只要将其交线变换为投影面的垂直线即可。θ图3-98求两平面的夹角§3.6.4换面法的应用3.7立体表面上的曲线与曲面*§3.7.1概述§3.7.2几种常见的曲线和曲面§3.7.1概述1.曲线曲线的形成一般有三种方式：1）不在一条直线上的点的运动轨迹；2）一系列直线或曲线的包络线；3）两曲面（或一平面与一曲面）相交的交线。图3-99曲线的投影§3.7.1概述2.曲面曲面可以看作是一动线在空间连续运动的轨迹所形成。形成曲面的动线称为母线，母线在曲面上的任一位置称为素线图3-100曲面的投影（a）直观图（b）投影图3.7立体表面上的曲线与曲面*§3.7.1概述§3.7.2几种常见的曲线和曲面§3.7.2几种常见的曲线和曲面1.圆图3-101水平圆的投影圆，平面曲线。当圆所在的平面平行于投影面时，圆在该投影面上的投影反映实行，而其他两投影都积聚成直线，长度等于圆的直径，如图3-101所示图3-102正垂圆的投影当圆所在的平面垂直于某一投影面时，圆在该面的投影积聚成直线，长度等于圆的直径，而其他两投影面上的投影均为圆的类似形——椭圆，如图3-102所示2、圆柱螺旋线

当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。（1）

圆柱螺旋线的形成图3-103圆柱螺旋线形成图§3.7.2几种常见的曲线和曲面(2)、螺旋线的画法图3-104螺旋线的画法§3.7.2几种常见的曲线和曲面3、单叶双曲回转面（1）单叶双曲回转面的形成

单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。（2）单叶双曲回转面的画法画出回转轴及直导线的两面投影；作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：作出若干素线及外视转向线的投影。图3-105单叶双曲回转面的形成§3.7.2几种常见的曲线和曲面

（2）单叶双曲回转面的画法

图3-106单叶双曲回转面的形成画法§3.7.2几种常见的曲线和曲面4柱状面（1）柱状面的形成

一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面（2）柱状面的画法画出两条曲导线的两面投影；作出直母线的两面投影：作出该曲面上各素线的投影。图3-107柱状面的形成§3.7.2几种常见的曲线和曲面（2）柱状面的画法图3-108柱状面的画法§3.7.2几种常见的曲线和曲面第3章

立体表面上几何元素的投影本章结束第4章切割体与叠加体4.1基本体的投影4.2切割体的投影4.3叠加体的投影

根据立体的组成可以把立体分为基本体和组合体。柱、锥、球、圆环等几何体是基本体。a)棱柱