数学-上海市闵行区2024届高三上学期学业质量调研试题（一模）试题和答案

2023学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码.3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分.4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.3.若xy=1(x、yeR)，则x2+4y2的最小值为.5.已知圆锥的底面周长为4π,母线长为3，则该圆锥的侧面积为.6.若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为. 3π7.若将函数y=sin(2x+Q)(0 3π数为奇函数，则Q=.个单位，得到的图像所对应的函8.已知f(x)=x2一8x+10，xeR,数列{an}是公差为1的等差数列，若f(a1)+f(a2)+f(a3)的值最小，则a1=.9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为.10.若平面上的三个单位向量、、满足.=，组成的集合为.11.已知数列{an}为无穷等比数列，若ai=一2，则ai的取值范围为________.面ABCD、ADD1A1、ABB1A1中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知a、beR，a>b，则下列不等式中不一定成立的是()2214.某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是()（A）高二和高三年级获奖同学共80人（B）获奖同学中金奖所占比例一定最低（C）获奖同学中金奖所占比例可能最高（D）获金奖的同学可能都在高一年级15.已知复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q,|OP|=5（O为坐标原点且z12z1z2.sinθ+z22=0，则对任意θeR，下列选项中为定值的是()（A）|OQ|（B）|PQ|（C）△OPQ的周长（D）△OPQ的面积16.已知函数y=f(x)的导函数为y=f,(x)，xeR，且y=f,(x)在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是()①“x12”是“f(x1+1)+f(x2)>f(x1)+f(x2+1)”的充要条件；②“对任意x<0，都有f(x)<f(0)”是“y=f(x)在R上为严格增函数”的充要条件.（B）①假命题；②真命题（D）①假命题；②假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图,在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD」底面ABCD,且PA=PD=a,设E、F分别为PC、BD的中点.(1)证明:直线EF//平面PAD；(2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a一2ccosB=c.(2)若△ABC为锐角三角形，求sinC的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：男生小青荷女生小青荷会说日语8会说韩语mn（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知0<p<4，曲线Γ1、Γ2的方程分别为2Γ2在第一象限内相交于点K(xK,yK).（1）若|OK|=4，求p的值；（2）若p=2，定点T的坐标为(4,0)，动点M在直线y=x上，动点N(xN,yN)(0<xN<4)在曲线Γ2上，求MN+MT的最小值；（3）已知点A(x1,y1)(0<x1<xK)、B(x2,y2)(xK<x2<8)在曲线Γ1上，点A、B关于直线y=x的对称点分别为C、D，设|AC|的最大值为m，|BD|的最大值为t，若e[,2]，求实数p的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）若1为函数y=f(x)的驻点，求实数a的值；（3）若a=2，是否存在等差数列x1,x2,x3(0<x1<x2<x3)，使得曲线y=f(x)在点(x2,f(x2))处的切线与过两点(x1,f(x1))、(x3,f(x3))的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由. M M..3三.解答题17．(1)[证明]连接AC,：ABCD为正方形且F为BD的中点，:F为AC的中点，又：E为PC中点，:EF//PA.…………………2分(2)[解]：PA=PD=a,AD=a，:P:ΔPAD为等腰直角三角形，:直线PB与平面ABCD所成的角的正切值为.……………14分(2)：a-2ccosB=c，由正弦定理可得sinA-2sinCcosB=sinC,………8分:sinBcosC-sinCcosB=sinC,sin(B-C)=sinC，……10分又因为ΔABC为锐角三角形，:C=(,),sinC=(,).………………14分19．[解]（1）从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为C6，……2分抽取的两名都不会说日语的方法数为C，（抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为C0+C0C6给2分）理由如下：从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)==，P(A).P(B)=x==P(AnB)，（2）[另解]从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)==，事件A与B同时发生的概率P(AnB)若事件A与B相互独立，则P(A).P(B)=x==P(AnB)，(学生只需写出三种情况中的一种即可),由点K(xK,yK)在第一象限，得,由点K(xK,yK)在第一象限，得(xK(xKlyKlyK（2）曲线Γ1和Γ2关于直线y=x对称，取N关于y=x的对称点N'，则N'在曲线:(MN+MT)min=(MN'+MT)min，所以只需求T到y2=4x(0<x<4,y之0)上动点N'的距离TN'的最小值，当x=2时，TN'的最小值为2(MN+MT)min=2所以（当M(8一4,84)，N(2,2)时）MN+MT的最小值为2．|0<x12y2|12分=p，当x2 4分原问题等价于是否存在x0>0，使得f,(x0)+1=0，因为函数y=g(x)在区间[,1]上是一段连续曲线，由零点存在定理，存在x0e(,1)，使得g(x0