高中数学 对数 知识点精讲及重点题型训练（解析版）

4.3对数

❽知识导图

®知出精讲

考点一对数的概念

如果谈=N(a>0,且存1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x=lognN,其中a叫做对数的底数，N

叫做真数.

考点二对数的性质、换底公式与运算性质

⑴对数的性质：①〃og/=N；②log“"=b(a>0,且存1).

(2)对数的运算法则

如果。>0且存1，M>0,N>0,那么

@logfl(W)=loglogJV；

/M

②log==log“M-logaN；

N

③10go=n\ogaM(nGR)；

n

④log/册=TogaM冽，〃£R,且机网).

一m

lo^N

(3)换底公式：logW="；------(〃，b均大于零且不等于1).

logab

重点题型

（-）求对数型函数的定义域问题

例1.（1）、下列对数式中，与指数式7,=9等价的是（）

A.log7x=9B.log,x=-7C.log79=xD.logY9=7

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的关系直接判断即可.

【详解】对于A,log7X=9等价于79=》，A错误；

对于B,1咤/=-7等价于9-=x,B错误；

对于C,log?9=x等价于7*=9,C正确；

对于D,k）g,9=7等价于/=9（x>0,x/l）,D错误.

故选：C.

（2）.（2021•全国•高一专题练习）（多选）下列选项中错误的是（）

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以10为底的对数叫做自然对数

D.以e为底的对数叫做常用对数

【答案】BCD

【分析】对于A：由对数的定义即可判断；

对于B：用对数的定义即可判断；

对于C：由常用对数的定义即可判断；

对于D：由自然对数的定义即可判断.

【详解】对于A:由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；

对于B：只有符合。>0,且awl,N>Q,才有优=Nox=logaN,故B错误；

对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；

对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.

故选：BCD.

【变式训练1-1】、(2021•江西省吉水中学高一阶段练习)使式子log(2,f六有意义的x的取值范围是

()

A.(2,+co)B.C.(-°°,2)D.g,l]u(l,2)

【答案】D

【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可.

【详解】要使式子1。坳1)—一有意义，

I)2-x

.1

'2x-l>0X>2

贝<2x—1w1,即<xw1,

2-x>0x<2

解得或l<x<2,

2

所以X的取值范围是(；,ju(l,2).

故选：D

【变式训练1-2】、(2023•全国•高一专题练习)有下列说法：

①以10为底的对数叫作常用对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以e为底的对数叫作自然对数；

④零和负数没有对数.

其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.

【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，

只有当。>0且时，指数式a，=N才可以化成对数式，②错误，

故选：C

(二)对数与指数互化

例2.(1)、(2021•全国•高一单元测试)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是()

A.54=625与log4625=5B.lO^=与炮。.=一2

[J=16与log-16=；1,._1

c.D.95=3与log93=—

【答案】BD

【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解.

【详解】对于A,54=625可化为：logs625=4,故不正确；

对于B,10-2=0.01可化为：|go.oi=_2,故正确；

对于C,（£|4=16可化为：腕316=一4,故不正确；

对于D,9：=3可化为：1°893=；，故正确.

故选：BD

（2）、（多选题）（2021•全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

A.10°=1与1g1=0B.27^=:与I°g27：=一:

（：.嗨9=2与9；=3D.嗨5=1与51=5

【答案】ABD

【分析】

根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案.

【详解】

对于A,10°=lolgl=0,A正确；

-1111

对于B,273=-«log-=一一，B正确；

327733

2

对于C,log39=2^3=9,C不正确；

1

对于D,log55=1<=>5=5,D正确.

故选：ABD.

【变式训练2-1】.（2023•全国•高一专题练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

B.8Q=；与logsgu.g

A.e°=Tnl=0

C.log39=2与95=3D.Iog77=l与7=7

【答案】C

【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.

【详解】根据指数式与对数式互化可知：

对于选项A：e°=l等价于lnl=O,故A正确；

对于选项B：86）=」等价于1。88!=-!，故B正确；

对于选项C：logs9=2等价于h=9,故C错误；

对于选项。：1。877=1等价于7:7,故D正确；

故选：C.

【变式训练2-2】.（2023•全国•高一假期作业）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的一组是（

A.e°=l与lnl=0B.logs9=2与95=3

1111

1

C.83=］与k）g85=-§D.log77=12g7=7

【答案】AD

【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解.

【详解】解：对于e°=l可化为：0=log/=lnl=0,A正确，

对于logs9=2可化为：32=9,B不正确，

对于83=上可化为与，1。队不=鼻（不正确，

223

对于log77=l可化为：7'=7,D正确，

故选：AD.

.（三）解对数方程

例3.（1）、（2021•江苏•淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）若log?%：7,贝拉=

【答案】:##0.125

O

【分析】将对数式化为指数式，由此求得X的值.

【详解】依题意10g2》=-3,所以》=2-3="

O

故答案为：—

O

（2）.（2022•全国•高一专题练习）方程In（log/）=0的解是（）

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.

【详解】•.Tn(log3X)=。，.♦.log3X=e°=l,.・.x=3.

故选：D.

【变式训练3-1】、(2023秋•贵州黔东南•高一统考期末)若贝匹=.

【答案】V3/3I

【分析】将对数式化为指数式来求得正确答案.

【详解】由1083。=；，则q=3；=g

故答案为：V3

【变式训练3-2】、(2022•安徽模拟预测(文))方程In(logs》)=。的解是()

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.

【详解】••Tn(log3X)=0,.・.log3X=e°=1,・・.%=3.

故选：D.

例4.(2023•全国•高一假期作业)求下列各式中x的值.

(l)log3(log4(log5x))=l

(2)logs(log4(log5x))=0

【答案】⑴x=5"；

(2)625.

【分析】(1)利用对数式与指数式的关系化简即可；

(2)利用对数式与指数式的关系化简即可.

【详解】(1)由1。83(1。84(1。85%))=1可得，1084(1。85月=3,

3

则log5x=4=64,

所以X=56，

（2）由log3（bg4（log5X））=0可得，log4（log5X）=l,

log5X=4,所以x=54=625.

【变式训练4-1】、(2022•高一课时练习)求下列各式中的x值:

(l)log5x=3；

(2)log2(2x+l)=3；

⑶bg，=3；

o

(4)log28'=-3.

【答案］⑴工25

可

(4)-1

【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.

【详解】（1）解：因为log5X=3,

所以x=53=125；

（2）解：因为log2（2x+l）=3,

7

所以2X+1=23=8,解得X=]

（3）解：因为k）g，=3,

O

所以=所以X=:；

（4）解：因为log2&'=-3,

所以8、=2-3=8-，所以x=-L

（四）用对数型公式及换底公式化简求值

例5.（1）、（2020•全国高一课时练习）Iog5；+log53等于（）

10

【答案】A

【解析】因为log51+log53=log5Qx3j=log5l=0.

故选：A.

log53

(2)、(2023秋•高一课时练习)2log32-log3y+log38-5=()

A.1B.2

C.—1D.—5

【答案】C

【分析】由对数式的运算规则化简求值.

【详解】原式=21og32-(log332-log39)+31og32-3=510g32-(51og32-2)-3=-l.

故选：C

【变式训练5-1】、(2022秋•江苏徐州•高一统考期中)(多选题)下列结论正确的是()

A.(卫)="5"方B,ln(lne)=0

C.{(a-n)2=a-?t(aeR)D.(1g2)-+lg5xlg20=l

【答案】BD

【分析】利用指数累的运算性质可判断A选项；利用对数的运算性质可判断BD选项；利用根式的性质可判

断C选项.

【详解】对于A选项，篇『="5〃「5,人错；

对于B选项，ln(lne)=lnl=O,B对；

对于C选项，［(。-兀)2=|a-7t|(aeR),C错；

对于D选项，(lg2)2+lg5xlg20=(lg2)2+lg5(lg2+lgl0)=lg2(lg2+lg5)+lg5

=lg2+lg5=lgl0=l,D对.

故选：BD.

,11

【变式训练5-2】、(2021•上海市行知中学高三开学考试)已知实数满足:2，'=27,贝卜+一=

xV

【答案】|

【分析】由已知指数式化为对数式求出X/的值，再由对数的运算性质求出工+工

xy

【详解】因为']=2>'=27,所以x=log/7,y=log227,

nj[|-1+1-=；1+\1=110§327-+110§2c72l=lo§27r3=T1

1

火Jxylog327log22723•

2

故答案为：?

例6.（2023秋•吉林通化•高三校考阶段练习）计算下列各式的值：

(1)0.25-2+［曰一;Igl6-21g5+出；

（2）2叫+得

a

【答案】①三

⑵2

【分析】根据指数和对数运算法则直接化简求解即可.

【详解】(1)0.25-3一;Igl6-21g5+［；］=42+3^-1lg24-21g5+l

3333

=16+--2(lg2+lg5)+l=16+--2+l=y.

l0821810

(2)2^+f^+lg20-lg2-log32.log23+(V2-l)=^+^1+21g2+lg5-lg2-l+(V2-l)

13

=-+-+lg2+lg5-l+l=l+l=2.

44

【变式训练6-1】.(2023春•湖南岳阳•高一校考开学考试)计算

77--4Q--?

(D(y)3-(y)O5+(0.008)3x—+(7t-l)°

1

?2

(2)log23log34+(lg5)+lg51g20+-lgl6-2脸？

【答案】⑴5

(2)1

【分析】（1）根据指数幕的运算性质，准确运算，即可求解.

(2)根据对数的运算法则及性质，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解.

【详解】(1)解：由指数塞的运算性质，可得:

49__?3J247-2,47°10

-(y)05+(0.008)3X—+(K-1)°=+x----1-1=-------1-25x----1-1=--------1-3=—

I4II259325939

(2)解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得:

91

3

10g23.logs4+(1g5)一+1g51g20+51g16-2脸

]g3,1g4421g2

=+lg5(lg5+lg20)+1lg2-3=+lg5.lg(5x20)+21g2-3

lg2lg3lg2

=2+21g5+21g2-3=21gl0-1=1.

(五)与对数有关的条件求值问题

例7、(2020•浙江高一课时练习)已知二次函数/(》)=(炮°)/+2%+4坨。的最小值为3,求(log“5『+

log.2-log“50的值.

【答案】1.

【解析】•//(x)=(lga)x2+2x+41g。的最小值为3，

(1)1(1>11

lga>0,/(x)min=f——=lgax--^+2x-------+41ga=41ga---------=3,

IIgaJ(Iga)IIgaJIIggaa

即4(lga)2—31ga—l=0,(41ga+l)(lga—1)=0,贝Hga=l,.•.a=10.

22

•••(logfl5)2+log“2.logfl50=(lg5)+lg2-lg50=(lg5)+Ig2(lg5+1)=Ig5(lg5+lg2)+lg2=1.

X

例8、(2021•安顺市第三高级中学(文))(1)已知21g(x-2y)=lgx+lgy,求一的值.

y

(2)设石满足2x+lnx=3,工2满足ln(l—')—2x=l求再+X2的值.

x

【答案】(1)一=4；(2)1.

y

【分析】

(1)利用对数运算化简已知条件，因式分解然后求得土的值.

y

(2)利用换元法化简已知条件，结合函数〃x)=2x+lnx的单调性求得否+%=1.

【详解】

(1)由2坨(》一2歹)=电e+坨＞得联工一2方=也0),

•••(x-2)y=xy

.,.x2-5xy+4y2=0,(x-j^)(x-4y)=0,

Y

即一=1或4.

y

又%>0)>0,%-2>>0,

•••土=1舍去，故土=4.

yy

(2)由题意得2再+111再=3,ln(l—%2)-2%=1,ln(l-x2)+2(l-x2)=3,

令1—%2=1，则2%+1/E=3.

•・•/(X)=2x+Inx在(0,+8)单调递增,

**t—再，

再+x2=1.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，考查对数型函数的单调性，属于中档题.

(六)对数的综合应用

例11.(1)、(2023秋•河北保定•高三校联考开学考试)在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国

的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员一一渡江小英雄马毛

姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响

并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把

学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率"为3%,那么经过一个学期(看作120天)后的学习情况为

(1+3%)12°«34.711,如果每天的"迟步率”为3%,同样经过一个学期后的学习情况为(1-3%)皿。0.026,经

过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若"进步"的值是"迟步"的

值的10倍，要经过的天数大约为(保留整数)(参考数据：吆103。2.013,1g97al.987)()

入片

人好

阂率

回

A.28B.38C.60D.100

【答案】B

【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可.

【详解】设要经过"天，"进步"的值是"迟步”的值的10倍，

103

W

2.013-1.987-0.026

故选：B.

(2)、(2022•广东汕头•高三阶段练习)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对

在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DN4实时监测，在尸CR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值

时，。股的数量X与扩增次数〃满足lgX.=〃lg(l+M+lgX。，其中X。为DM4的初始数量，p为扩增效率.

己知某被测标本。AM扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为()(参考数据：

025

IOa1.778,IO*?5ss0.562)

A.2