（课堂设计）高中数学 第一章 解三角形章末检测 新人教A版必修5

第一章解三角形章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC中，c＝eq\r(2)，则bcosA＋acosB等于()A．1 B.eq\r(2) C．2 D．42．设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是()A．20eq\r(3)m，eq\f(40,3)eq\r(3)mB．10eq\r(3)m,20eq\r(3)mC．10(eq\r(3)－eq\r(2))m,20eq\r(3)mD.eq\f(15,2)eq\r(3)m，eq\f(20,3)eq\r(3)m3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，则角B的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))5．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)6．从高出海平面h米的小岛看到正东方向有一只船俯角为30°，看到正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A．2h米 B.eq\r(2)h米C.eq\r(3)h米 D．2eq\r(2)h米7．在锐角△ABC中，有()A．cosA>sinB且cosB>sinAB．cosA<sinB且cosB<sinAC．cosA>sinB且cosB<sinAD．cosA<sinB且cosB>sinA8．在△ABC中，已知a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则c等于()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．以上都不对9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解10．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200eq\r(3)m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是()A．200m B．300mC．400m D．100eq\r(3)m11．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，则△ABC是()A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形12．△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，则△ABC的周长为()A．4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))＋3B．4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＋3C．6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))＋3D．6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＋3题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，eq\f(2a,sinA)－eq\f(b,sinB)－eq\f(c,sinC)＝______.14.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为______．15．△ABC的三边长分别为3、4、6，则它的较大锐角的角平分线分三角形的面积比为________．16．在△ABC中，若A>B，则下列关系中不一定正确的是________．(填序号)①sinA>sinB②cosA<cosB③sin2A>sin2④cos2A<cos2三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cosA＝eq\f(4,5).(1)求sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A的值；(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.18．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.19．(12分)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(结果保留根号)．20．(12分)在△ABC中，A最大，C最小，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．21．(12分)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c＝10，且eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3).(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧上，∠PAB＝60°.求四边形ABCP的面积．答案详解第一章章末检测1．B2.A3.A4.D5.A6.A7.B8．C[因a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2eq\r(15)×c×eq\f(\r(3),2).化简得：c2－3eq\r(5)c＋10＝0，即(c－2eq\r(5))(c－eq\r(5))＝0，∴c＝2eq\r(5)或c＝eq\r(5).]9．D[A中，因eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(16×sin30°,8)＝1.∴B＝90°，即只有一解；B中sinC＝eq\f(20sin60°,18)＝eq\f(5\r(3),9)，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(25－4)＝eq\r(21)，即有解，故A、B、C都不正确．]10．B[如图所示，600·sin2θ＝200eq\r(3)·sin4θ，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，∴θ＝15°，∴h＝200eq\r(3)·sin4θ＝300(m)．]11．C[∵eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA,2RsinA≠0.∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.]12．D[A＝eq\f(π,3)，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝2R，∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB＋BC＋AC,sinA＋sinB＋sinC)，即eq\f(3,\f(\r(3),2))＝eq\f(x,\f(\r(3),2)＋sinB＋sinC).∴2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋sinB＋sinA＋B))＝x，即x＝3＋2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))))＝3＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋sinBcos\f(π,3)＋cosBsin\f(π,3)))＝3＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(1,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB))＝3＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB))＝3＋6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinB＋\f(1,2)cosB))＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6))).]13．014．60m解析在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120m.∴宽h＝AC·sin30°＝60m.15．1∶2解析不妨设a＝3，b＝4，c＝6，则cosC＝eq\f(32＋42－62,2×3×4)＝－eq\f(11,24)<0.∴C为钝角，则B为较大锐角，设B的角平分线长为m，则S1∶S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3msin\f(B,2)))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6msin\f(B,2)))＝1∶2.16．③解析在△ABC中，A>B，sinA>sinB，cosA<cosB.∴1－2sin2A<1－2sin2∴cos2A<cos2B17．解(1)sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A＝eq\f(1－cosB＋C,2)＋cos2A＝eq\f(1＋cosA,2)＋2cos2A－1＝eq\f(59,50).(2)∵cosA＝eq\f(4,5)，∴sinA＝eq\f(3,5).由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，得3＝eq\f(1,2)×2c×eq\f(3,5)，解得c＝5.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a2＝4＋25－2×2×5×eq\f(4,5)＝13，∴a＝eq\r(13).18．解(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°.∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ABE)＝eq\f(AB,sin∠AEB)，即eq\f(AE,sin45°－15°)＝eq\f(2,sin90°＋15°)，故AE＝eq\f(2sin30°,cos15°)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2).19．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)，∴BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)．故B、D的距离为eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)km.20．解在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(sin2C,sinC)＝2cosC，即cosC＝eq\f(a,2c).由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∵2b＝a＋c，∴eq\f(a,2c)＝eq\f(a2－c2＋\f(1,4)a＋c2,2a·\f(a＋c,2))，整理得2a3－3a2c－2ac2＋3c3＝0，即(a＋c)(a－c)(2a－3c)＝0，解得a＝－c(舍去)，a＝c或a＝eq\f(3,2)c，∵A>C，∴a>c，∴a＝eq\f(3,2)c.当a＝eq\f(3,2)c时，b＝eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(5,4)c，∴a∶b∶c＝eq\f(3,2)c∶eq\f(5,4)c∶c＝6∶5∶4.故此三角形的三边之比为6∶5∶4.21．(1)证明根据正弦定理得eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA).整理为sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.又∵eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，∴0＜A＜B＜π，∴0＜2A＜2B＜2π，∴2A＝π－2B，即A＋B＝eq\f(π,2)，∴C＝eq\f(π,2).故△ABC是直角三角形．(2)解由(1)可得：a＝6，b＝8.在Rt△ABC中，sin∠CAB＝eq\f(BC,A