锐角三角函数的实际应用-中考数学复习题练习（教师版）

专题25锐角三角函数的实际应用（解析版）

第一部分典例割析

类型一与学科间相关的实际应用问题

典例1（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图,

老师在该厂房顶部安装一平面镜MN,MN与墙面48所成的角NMM3=118°,厂房高AB=8m房顶

AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距

离8是多少?（结果精确到0.1〃?，参考数据：sin34o≈⅛0.56,tan340≈⅛0.68,tan560F.48）

思路引领：连接MC,过点M作HΛ∕J"NM,根据题意可得NoMC=2NCMH,NMCD=NHMN=90°,

AB=MC=Sm,AB//MC,从而利用平行线的性质求出∕CMN=62°,进而求出NCM4=28°,然后在

RtACMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

解：连接MC,过点M作“MJ_MW,

由题意得：

NDMC=2NCMH,NMCD=NHMN=90°,AB=MC=Sm,AB//MC,

.∙.∕CMN=180°-ZMWB=180°-118°=62°,

.∙.ZCMH=ZHMN-ZCMN=28°,

，NOMC=2NCM”=56°,

在RtaCMO中，Co=CW∙tan56°≈8×1.48=≡I1.8（米），

/.能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米.

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

类型二与坡度、坡角相关的实际问题

典例2（2021秋•宁德期末）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜

角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO

=24",伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离30=2〃?，当车厢底座与车架底座的夹角NAO8=37°时，

求液压臂AB的长.（结果保留根号，参考数据sin37°=∣,cos37°=g,tan37°=M）

图1图2

思路引领：过点B作BcLLoA于C,先在RtaOBC中求出8C,OC,再求出AC,然后在RtZXABC中求

出AB即可解决问题.

解：过点B作BClOA于C,如图.

在Rt408C中，NOCB=90°,∕B0C=3T,BO=I,

二BC=08∙sinNBOC=2X|=|,

48

OC=OB∙cosZB0C^2×1=自

84

.∖AC=OA-OC=2.4-∣=*

在RlZ∖ABC中，VZACB=90o,

：.AB=>∕AC2+BC2=J($2+急2=怨支

故液压臂AB的长为q¾n.

图2

总结提升：本题考查了解直角三角形，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把

实际问题转化为数学问题.

类型三与方向角相关的实际问题

典例3（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时30√Σ海里的速度向正北方向航行.当甲船位于4

处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的Bl处，且乙船从Bl处沿北偏东15°方向匀速直线航行.经过

20分钟后，甲船由4处航行到上处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的汝处，此

时两船相距10√Σ海里，求乙船每小时航行多少海里.

思路引领：根据甲船的速度和行驶时间求出442,可得4AιA282是等边三角形，作52"L4I8I于根

据题意求出N8∣4B2=45°,ZAIBIB2=60O,根据正弦的定义求出B1B2,计算即可.

解：Y甲船以每小时30√Σ海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2,

ΛAIA2=30√2×∣=10√2（海里），

VA2B2=IO√2（海里）,

.∖A]A2=A2B2^乂NAIA282=6。°,

...△A1A2B2是等边三角形；

如图，过点82作B24J∙4B∣于H,

北

乙

根据题意可知：N48ιC=NS4O=75°,NCBlB2=15°,

：.ZΛ∣β∣B2=75o-15°=60°.

•.•△A1A2B2是等边三角形，

.∙.ZA2A∣B2=6O0,AιB2=AιA2=lθV2（海里），

ΛZBIAIB2=180O-75°-60°=45°.

在48∣A182中，AIB2=10√2（海里），Zβ∣Aιfi2=45°,NA∣8∣82=6O°,

、万

ΛBzH=-2A1B2=10（海里），

.ŋB?H20Λ∕3/、`扃田、

∙∙βnlβ2=⅛=-（海里）,

则乙船每小时航行：÷-=20√3（海里）.

33

总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念、

熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

典例4（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它

沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的8处，此时8处与灯塔P的距离

为—海里；AB=海里（结果保留根号）.

A

思路引领：过点P作PC_LAB于C,解RtZ∖APC求出AC、PC,再解RtABPC求出P8、BC,进而得到

AB.

解：过P作尸CLAB于C,如图所示：

由题意得：ZAPC=30°,NBPC=45°,7¾=5O海里,

在RtZiAPC中，VZACP=90°,ZAPC=30°,

.∙.AC=^¾=25海里，PC=KAC=25次海里，

在Rt△尸CB中，VZBCP=90o,NBPC=45°,

.∙.8C=PC=25√I海里，8尸=或改=25n海里，

.∖AB=AC+βC=(25+25√3)海里.

故答案为：25√6,(25+25√3).

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解

直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

类型四与不易策略相关的实际问题

典例5(2022秋•靖江市期中)如图，为了测量河对岸两点4、8之间的距离，在河岸这边取点C、D测得

CD=IOO米，NAeD=90°,NBCD=45°,ZADC=19o17,,NBDC=56°19'.设A、B、C、D

在同一平面内.

(1)求AC的长；

(2)求A、B两点之间的距离.(参考数据：tanl9°17,≈⅛≈0.35,tan56019,F.50.)

思路引领：（1）在RtZXACO中利用直角三角形的边角间关系直接求出AC；

（2）过点B作BELCD,过点A作AFJ构造矩形4CEF和直角三角形.先说明ABCE是等腰直角

三角形，再利用等腰三角形的性质得到CE、BE间关系，在Rt45EZ）中，利用直角三角形的边角间关系

求出BE、CE,再利用线段的和差关系求出8F,最后在RlZ∖4BF中利用勾股定理求出A&

解：（1）在RtZvtCD中，

ΛΓ

：NAOC=19°17',CZ）=IOO米，IanNAOC=冷，

ΛAC=tanl9o17'×CD≈⅛0.35×100=35（米）.

答：AC的长约是35米；

（2）如图，过点8作BELCD,垂足为点E,过点4作AFLBE,垂足为点尸.

VZACD=90°,

四边形ACEF是矩形.

.∙.M=AC=35米，AF=CE.

VZBCD=45o,BELCD,

...△8CE是等腰直角三角形.

设CE=X米，则A尸=BE=X米，ED=(IOo-X)米,

在RtABED中，

BF

:FanNBOC=翁NBDC=56019,,

RFX

Λtan56o19'=⅞⅛,即------≈1.50,

EDIOO-X

∕∙x=6(),

.∙∙4b=3E=60米，

.∖BF=BE-EF=60-35=25(米).

½RtAABF中，

AB=y∕AF2+BF2=√602+252=65(米).

答：A、8两点之间的距离约是65米.

总结提升：本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质和

判定、矩形的性质和判定及勾股定理是解决本题的关键.

类型五与可调节的滑动悬杆相关的问题

典例6（2022•岳阳模拟）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120C*,BC为支杆，它可

绕点8旋转，其中BC长为30C7”,Cr）为悬杆，滑动悬杆可调节CO的长度，支杆BC与悬杆CO之间的

夹角NBCD为70°.

（1）如图2,当A、8、C三点共线且CQ=50c机时，求灯泡悬挂点。距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点3顺时针旋转50°,同时调节Cz）的长（如图3）,此时测

得灯泡悬挂点力到地面的距离为160CVn,求CD的长.（结果精确到lew,参考数据：sin70°^0.94,cos70o

~0.34,tan70o≈2.75,sin50o七0.77,cos50o80.64,tan50o≈1.19）

思路引领：⑴过点。作OEJ_AC于点E,在RtACDE中，Zcos70o=器=翳皿34,即可得出CE.

（2）过点。向地面作垂线，垂足为F,过点C作CGLC尸于点G,延长AB交CG于点4,在RtZ∖BC4

中，cos50°=¾⅞=器a≈0.64,解得54=19.2,则FG=4"=A8+B4=139.2（tro）,Z）G=OF-FG=20.8

Ccm）,在RtZiCCG中，NDCG=7Q°-（90°-50°）=30o,sin30o=黑=需=2，即可得CD

解：（1）过点。作。E_L4C于点£

C

B

A

在RtZ∖Ci>E中，NBCD=70°，CD=SOcm,

cos70°=CD=5O≈O∙34,

解得CE=17,

灯泡悬挂点。距离地面的高度为120+30-17=133(cm).

(2)过点。向地面作垂线，垂足为凡过点C作CGLDP于点G,延长A8交CG于点H.

在RlZ∖BCH中，ZCBW=50o,BC=30cm,

cos50o=I^=铝=0.64,

解得BH=19.2,

FG=AH=AB+BH=120+19.2=139.2(Cm),

.∖DG=DF-FG^160-139.2=20.8(cm),

在RtZ∖CDG中，ZDCG=70°-(90°-50°)=30°,

.DG20.81

s*n30=CD=-CD=2'

解得CQ=41.6≈≈42,

,CD的长为42a〃.

总结提升：本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.

典例7(2022•盐城)2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图

是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB.BC为机械臂，OA

=∖m,AB=5m,BC=2m,ZABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CO=6m.

(1)求A、C两点之间的距离；

(2)求OO长.

(结果精确至∣JO.lnz,参考数据：sin37o«=0.60,cos37o^0.80,tan37o七0.75,√5≈2.24)

B

思路引领：（1）过点4作AEI.CB,垂足为£在Rt/MBE中，由AB=5∕n,NABE=37°,可求4E和

BE,即可得出AC的长;

（2）过点A作AF_LCO,垂足为F,在RtZ∖ACf中，由勾股定理可求出AF,即。。的长.

解：（1）如图，过点4作4E_LC8,垂足为E,

在RtZiABE中，AB=5m,NABE=37°,

APQP

VsinZABE=而，cosΛABE=丽

・AEBE

=0.60,—=0.80,

-55

.∖AE=3m,BE=4m,

・♦CE=6/77»

在RtAACE中，由勾股定理AC=√32+62=3√5≈6.7m.

（2）过点4作4FJ_C£）,垂足为尸，

.,.FD=AO=Im,

:∙CF=5m,

在Rt∆ACF中，由勾股定理AF=√45-25=2√5∕π.

ΛOD=2√5≈4.5m.

总结提升：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识：正确作出辅助线构造直角三角形是解题

的关键.

类型六“触礁甄别”类型试题

8.（2021春•海门市期中）如图，海中有一小岛P,在以P为圆心、半径为166〃加/e的圆形海域内有暗礁.一

轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛尸位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile.若

轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始沿

南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？

南S

思路引领：过P作PBlAM于B,则PC的长是A沿4M方向距离P点的最短距离，求出尸C长和16百比

较即可，第二间设出航行方向，利用特殊角的三角函数值确定答案.

.,.PB=^AP=j×32=16海里，

V16<I6√3,

故轮船有触礁危险.

为了安全，应改变航行方向，并且保证点尸到航线的距离不小于暗礁的半径160海里，即这个距离至少

为16遍海里，

设安全航向为AC,作PDlAC于点D,

由题意得，AP=32海里，PD=I66海里,

•smN%C=而=烹=2,

，在Rt△司。中，Z∕¾C=60o,

：.ZBAC^ZPAC-ZPAB=GOQ-30°=30°.

答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险.轮船自A处开始沿南偏东至多60。度方向航行才能

安全通过这一海域.

总结提升：本题考查了解直角三角形-方向角问题，掌握的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

第二部分专题提优训练

1.（2022秋•宽城区校级期末）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起

重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B,A0垂直地面，垂足为点。，BClAD,垂足为点

C.设NABC=α,下列关系式正确的是（）

A

变幅索

D

ʌ,ABn.ABCBCCAC

A.Slna=前B.tana=C.cosa=丽D.cosa=丽

思路引领：由锐角三角函数的定义即可得出结论

解：在RtZXABC中，NACB=90°,NABC=a,

∆ΓAr

Λsina=sinZABC=而，tana=tanZABC=前，CoSa=CoSNABC=而,

故选项A、B、。不符合题意，选项。符合题意,

故选：C.

总结提升：本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.

2.（2022秋•包头期末）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树A8,当太阳光线与水平线

成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影3C长为〃?，则大树43的高为二—.（请用含〃?，a的式子

表示）

水平地面

思路引领：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于。，根据正弦的定义求出B。，根据余弦的定

义求出CD,根据等腰直角三角形的性质求出AO,计算即可.

解：过点C作水平地面的平行线，交48的延长线于。，

则∕8CO=a,

在RtΔβCZ)中，BC-ITiy/BCD=a,

则BD=BC*sinZBCD=m*sma,CD—BC*cosZBCD—m∙cosa,

在RtZ∖4CD中，NACD=45°,

则AD=CD=Wcosa,

.".AB-AD-BD=mcosa-msina=m(cosa-sina),

总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度/?和水平宽

度/的比是解题的关键.

3.（2022∙湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角a为45°,C点

的俯角B为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CQ为6”，则甲建筑物的高度AB

为

m.

(sin58o=O.85,cos58o≈0.53,tan58oF.60,结果保留整数).

思路引领：过点。作。E_LAB于点E,则BE=CD=6相，NADE=45°,NACB=58°,在Rt∙∆AOE中，

NADE=45°,设AE=第”，则。E=XBC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在RtZSABC中，tanNACB

=tan58o=镖=竽°1.60,解得X=I0,进而可得出答案.

解：过点。作CE,AB于点E,如图.

BC

则BE=CD=6/小NAOE=45°,ZACB=58o,

在RtZ∖AQE中，NADE=45°,

设AE=XB∣JDE—xm,

：.BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,

在RtAABC中，

tanZACβ≈tan58o=浅=第a1.60,

解得X=I0,

ΛAB=16m.

故答案为：16.

总结提升：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的

关键.

4.（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔一一阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古

老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角

NCAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∕CBE=53°,AB=10/«；小亮

在点G处竖立标杆FG,小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.5m,GD=2m.

(1)求阿育王塔的高度CE;

(2)求小亮与阿育王塔之间的距离EZX

(注：结果精确到0.01〃?，参考数据：sin53oQo.799,cos53o≈0.602,tan53o«1.327)

思路引领：(1)由∕C4E=45°,AB=IOm,可得BE=AE-Io=CE-10,在RtZXCEB中，可得tan/

C8E=tan53°=⅛⅞≈7≠÷∩,即可解得阿育王塔的高度CE约为40.58m；

DE.Cc-IU

152

(2)由aFGOSz∖CEZ),可得而藐=访，可解得小亮与阿育王塔之间的距离Ez)是54.1加.

解：(1)在RtZXCAE中，

YNCAE=45°,

CE=AE,

∖,AB=10m,

：.BE=AE-IO=CE-10,

在RtACEB中,

tanZCBE=tan53°=器=(3。,

CF

Λ,∙327≈CE=40'

解得CE«=40.58(布)；

答：阿育王塔的高度CE约为40.58"?；

(2)由题意知：NCED==NFGD,NFDG=NCDE,

：ZGDSXCE3

FGGD1.52

--=---,即-----=---,

CEED40.58ED

解得ED=54.11（m）,

答：小亮与阿育王塔之间的距离ED约是54.ll/n.

总结提升：本题考查解直角三角形-仰角问题，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是读懂题意，

列出关于CE的方程求出CE的长.

5.（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角NBAC=I3°,计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏

板的一端位于点A,过其另一端。安装支架。£OE所在的直线垂直于水平线AC,垂足为点尸，E为

力厂与AB的交点.已知AO=IOoαw,前排光伏板的坡角∕D4C=28°.

（1）求AE的长（结果取整数）；

（2）冬至日正午，经过点。的太阳光线与AC所成的角NQGA=32°,后排光伏板的前端，在AB上.此

时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？

参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45.

锐角A13°28°32°

三角函数

SinA0.22