人教A版高中数学必修4学案第3章阶段综合提升第4课三角恒等变换

第四课三角恒等变换[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]三角函数式求值【例1】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(2,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)－2α))＝()A．－eq\f(17,25) B．－eq\f(7,8)C.eq\f(17,25) D.eq\f(7,8)(2)4cos50°－tan40°等于()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－1(3)已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．(1)C(2)C[(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2018π,3)－2α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))2＝eq\f(17,25).(2)4cos50°－tan40°＝eq\f(4sin40°cos40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin50°＋30°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)sin50°＋cos50°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)sin50°,cos40°)＝eq\r(3).](3)[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(1,3)＞0.而α∈(0，π)，故α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵tanβ＝－eq\f(1,7)，0＜β＜π，∴eq\f(π,2)＜β＜π，∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝eq\f(1,2)＞0，∴－π＜α－β＜－eq\f(π,2)，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝1，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝α＋β－β，2α＝α＋β＋α－β等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是0，π，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值.eq\o([跟进训练])1．已知－eq\f(π,2)＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sin2x和cosx－sinx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．[解](1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得1＋sin2x＝eq\f(1,25)，所以sin2x＝－eq\f(24,25)，因为－eq\f(π,2)＜x＜0，所以cosx＞sinx，所以cosx－sinx＝eq\r(,1－2sinxcosx)＝eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋2sin2x,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,\f(cosx－sinx,cosx))＝sin2x·eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝－eq\f(24,25)×eq\f(1,7)＝－eq\f(24,175).三角函数式化简【例2】化简：(1)eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(,2＋2cosθ))(0＜θ＜π)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanα·tan\f(α,2))).思路点拨：(1)使用倍角公式化简．(2)切化弦．[解](1)原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(,4cos2\f(θ,2)))＝eq\f(cos\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2))))＝eq\f(－cos\f(θ,2)·cosθ,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))).因为0＜θ＜π，所以0＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)，所以coseq\f(θ,2)＞0，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinα,cosα)·\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))))＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2))·eq\f(cosαcos\f(α,2)＋sinαsin\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(cos\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2,sinα).三角函数式的化简要遵循“三看”原则1一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.eq\o([跟进训练])2．化简：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(,3)tan370°,\r(,1＋cos10°)).[解]原式＝eq\f(2sin50°＋sin80°1＋\r(,3)tan10°,\r(,1＋cos10°))＝eq\f(2sin50°＋cos10°×\f(cos10°＋\r(,3)sin10°,cos10°),\r(,2cos25°))＝eq\f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(,3),2)sin10°)),\r(,2)|cos5°|)＝eq\f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(,2)cos5°)＝eq\f(2[sin45°＋5°＋sin45°－5°],\r(,2)cos5°)＝eq\f(2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°,\r(,2)cos5°)＝eq\f(4sin45°·cos5°,\r(,2)cos5°)＝2.三角恒等式的证明【例3】求证：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).[证明]左边＝eq\f(sin2x,cos2x)＋eq\f(cos2x,sin2x)＝eq\f(sin4x＋cos4x,sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)1－cos4x)＝eq\f(8－4sin22x,1－cos4x)＝eq\f(4＋4cos22x,1－cos4x)＝eq\f(4＋21＋cos4x,1－cos4x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x)＝右边．原式得证．三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.eq\o([跟进训练])3．已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.[证明]由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα，整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα，两边同除以2cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.三角恒等变换的综合应用【例4】已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示求值；(2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值．[解](1)因为a∥b，所以3sinx＝－eq\r(3)cosx，若(cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，所以tanx＝－eq\f(\r(3),3)，因为x∈[0，π]，所以x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝3cosx－eq\r(3)sinx＝－2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))).因为x∈[0，π]，所以x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))≤1，所以－2eq\r(3)≤f(x)≤3，当x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(5π,6)时，f(x)取得最小值－2eq\r(3).利用三角恒等变换研究性质问题的策略,先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.3有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.eq\o([跟进训练])4．已知函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．[解](1)函数f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝eq\r(,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z，可得函数的单调增区间