旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第八章立体几何第6讲空间向量及其运算

第6讲空间向量及其运算

下础知识整合I

□知识梳理

1.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a,⅛(⅛≠0),a〃b的充要条件是存在实数，，使四a=Ah

(2)共面向量定理

如果两个向量a,Z)不共线，那么向量P与向量a,A共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对(x,y),使画。=xa+yb.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a,b,C不共面，那么对空间任一向量p存在有序实数组{x,y,z},使

得国P=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空间的一个画基底.

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点R都存在唯一的三个有序实数

-►-A—►-►

X,y,z,使OP=圆X9+避~∖~Z在

2.数量积及坐标运算

(1)两个向量的数量积

®a*b=∖a∖6∣cos〈a,b).

②aJLk>≡la∙b=O(a,b为非零向量).

③|才=母Z

(2)空间向量的坐标运算

设a=(a,如aɜ),6=(6"&,ZzO,则

①Ial=，/+请+A；

②a+6=阐(aι+∕⅜,&+庆，&+—)；

③a—6=画(a—bi,a—bz,2—A)；

(4)λQI=园(Xa,可念，」aɔ；

⑤a•6=圜团61+含〃+&加；

⑥设∕4(xι,y∖∙fzι),B(x"y-2,Z2),贝IJ

—►

/—=圜(，-X],%一力，Z2-Z1);

厂X.,.Llaɪ⅛+a2fe+aj⅛

⑦COS(a,6〉=IBI「一一；「»一/,「一?一

-λ∕∙+--∣^•、陆小员+质

知识拓展

1.证明空间任意三点共线的方法

对空间三点RA,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:

(1)Λ4=APB(λSR)；

—►—►-►

⑵对空间任一点O,OP=OA+tAB(teR);

-►―►-►

(3)对空间任一点O,OQxOI+y/(x+y=l).

2.证明空间四点共面的方法

点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明Λ4=x∕R+

yPC,或对空间任一点0,有(M=OP+xPB+yPC,或%三*的+叩5+ZOC(X+y+z=1)即可.

3.确定平面法向量的方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量.

(2)待定系数法：取平面内的两条相交向量a,b,设平面的法向量为〃=(X,y,z),由

n∙a=0,

解方程组求得.

n∙b=0,

□双基自测

1.已知a=(4+l,0,2),6=(6,2〃一1,24)，若2〃6,则4与〃的值可以是()

111

A.2,2B.-ɜ,2

C.-3,2D.2,2

答案A

6=kA+1

解析Ya〃b,：.b=ka,即(6,2〃-1,2H)=晨久+1,O,2),.,2〃一1=0,

2λ=2k.

,λ=2,∙A=—3,

解得彳1或｛1

故选A.

U=­U=—

22'

2.已知a=(—2,1,3),A=(-1,2,1),若aJ.(a-Xb),则实数X的值为()

Cn14

A.-2B.一—

O

C∙;D.2

ɔ

答案D

解析由题意知a∙(a—入Zo=0,即a'—Xa•6=0,又疔=I4,a∙b=7,Λ14—7λ

=0,/.Λ=2.故选D.

3.在长方体力犯9-4名G〃中，BA+BC+DDx={)

A.IλB∖

C.DB^D.BDx

答案D

—►—►—►—►—►—►—►―►—►

解析BA+BC+D队=C叶BC+DD∖=BD+D仄=BDx.故选D.

4.若直线1的方向向量为a=(1,0,2),平面a的法向量为〃=(一2,0,—4),则()

A.1//aB.7±a

C.aD.1与a相交但不垂直

答案B

解析'.'a—(1,0,2),n—(—2,0,—4),.,.n--2a,即a〃〃，二α.故选B.

5.已知点P是平行四边形/政力所在的平面外一点,如果/8=(2,-1,-4),/P=(4,2,0),

—►—►—►

AP^(-1,2,-1).对于结论：①"_U8；②"U。；③"〃M其中正确的是(填

序号).

答案①②

—►—►—►—►—►—►

解析因为47∙∕Q0,AP-AD=O,所以ΛPVΛD,则①②正确；因为劭=〃>-

-A―►—►—►

49=(2,3,4),AP={-∖,2,-1),所以劭与力环平行，故③错误.

-A-A

6.已知O(0,0,0),4(1,2,3),庾2,1,2),一(1,1,2),点0在直线卯上运动,当QA∙QB

取最小值时，点0的坐标是.

答案⅛(44r5

解析由题意，没Qg∖QP,即8=(4,Λ,24),则2=(1-4,2-Λ,3-24),

―►—►—►

QB-(2—λ,1—A,2—2X),所以04∙QB-(1一4)(2—4)+(2—4)(1—4)+(3—24)(2

，、

—24)=61一16a+10=60—g4j\—2当X=g4时有最小值,此时点O的坐标为‹［j4，y4，8ɜj.

核心若向突破I

考向一空间向量的线性运算

例1如图所示，在平行六面体ABCD-ABa及中,设44=a,AB=b,AD=c,M,N,P

分别是44，BC,G4的中点，试用a,b,C表示以下各向量：

(l)Λp;(2)4Λ⅛(^)MP+NG.

解(I)'.•一是G〃的中点，

—►-►—►―>

.∖AP=AAι+Aιlλ+∕λP

f1f

=a+ΛD+-DιCι

L

=a+c+~^ΛB

=a÷c÷~A.

⑵•・"/是比的中点，

-A-A-A-A

：.AxN=AxA+ΛB+BN

］一

=-a+b+~BC

］一

=^a+b+~AD

=—a+∂÷~c.

⑶；"是44的中点，

—►—►—►ɪ—►—►

・・・MP=MΛ+AP=-Λ^Λ+ΛP

=-%+(a+c+))

Ka+/+，

.A,,A■1A■■»ɪA1"Aɪ

又NG—M7+CC∖—∕6C+AAi--AJ)+AAi--c+a,

a+2c

触类旁通J用已知向量表示某一向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来.

即时训练1.在三棱锥行极?中，MN分别是以，比1的中点，G是的重心,

用基向量力，OB,O俵示OG,MG.

^"^*^--->∙-*■2-**^^*2---*^-^*∙2ɪ-*■—*■—>ɪ-►ɪ—►ɪ

解OG=0A-∖~AG=OA+^AN=OA-∖--(ON-OA)=OA+-τ-OB+OC—如=Wfl4+可防+可

əɔOOO

OC.

ffffIfLjfJfLLJfJf

MG=%-/=科+§如+严-/=飞。什”+产

考向二共线向量与共面向量定理的应用

例2已知£,F,G,〃分别是空间四边形4⅛∕的边16,BC,CD,物的中点，用向量方

法求证：

WE,F,G,〃四点共面;

⑵劭〃平面EFGH.

1■,►AAAɪι►*A'►,1►►，AA

证明⑴连接班,EG,奥∖EG=EB+BG=EB+](BC+B"=EB+BF+EQEF+EH,由共面

向量定理知£F,G,〃四点共面.

TffIfIflffIf

②因为EH=AH—AE=7D~5AB=小D-AB)=~BD,

又aH,D,8四点不共线,

所以EH//BD.

又E3平面EFGH,B及平面EFGH.

所以劭〃平面EFGIL

触类痢⅞J证明三点共线和空间四点共面的方法比较

三点(RA,而共线空间四点(MP,力，)共面

―►—►—►—►—►

PA=/期且同过点。MP=xMΛ+yMB

—►―►—►―►—►—►-►

对空间任一点“OP^OA+tAB对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB

—►—►-A

--►--►-A对空间任一点。，OP=XOM+yOA+X-

对空间任一点。，OP=xOA+{∖-^)OB―►

y)OB

即时训练2.已知a=(2,1,-3),6=(—1,2,3),c=(7,6,4)，若a,b,C三向

量共面，贝IJ4=.

答案一9

解析由题意知C=Xa+yb,即(7,6,4)=x(2,1,—3)+y(—1,2,3),工

Γ2%-y=7,

∖%+2y=6,解得A=-9.

〔一3x+3y=Λ,

精准设计考向，多角度探究突破

考向三空间向量的数量积

角度1坐标法

—›—►

例3已知空间三点力(一2,0,2),5(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=4氏b=AC.

(1)若∣c∣=3,豆c/1BC,求c；

⑵求a与b夹角的余弦值；

⑶若ka~∖~b与后一26互相垂直，求左的值.

解(D：c〃6G∖c=mBC=m~2,-1,2)=(—20，~m,2ni).

.*.Ic∣=y∣~—2m^^7÷一^-nι^^j÷~2nι^^5=3∣m∖=3,.*.m=±1.

.∙.c=(-2,—1,2)或c=(2,1,—2).

(2)Va=(l,1,0),Δ=(-l,0,2),

Λa∙b=(l,1,0)∙(-1,0,2)=-b

又∣a∣=√FTFT^=√l

b∖=7~-1^^2+02÷22=-∖[δ,

•/八a，b-1vɪθ

abyj[Q10

∙∙.a与6夹角的余弦值为一噂.

(3)V⅛+⅛=(A-l,k,i),kaTb=(k+2,k,-4),

.∙.(A—l,k,2)∙U+2,k,-4)

=(A-I)(k+2)+A2-8=0.

:・k=2或4=-].

5

即当ka+b与〃8-26互相垂直时，A=2或k=~~.

角度2基向量法

例4已知平行六面体ΛBCD-A∖B∖CD∖中,底面/政力是边长为1的正方形，/4=2,ZAtAS

=/449=120°.

(1)求线段力G的长；

(2)求异面直线AQ与4〃所成角的余弦值；

(3)证明：AAJBD

解(D如图所示，设力”=2

AD=b,AAi=c,

则Ial=Ibl=1,Ic∖=2.

a∙b=0,

a∙c=b∙c=2×1×cos120o=—1.

AG=AB+BC+Ca=a+b+c,

.β.IACi12=(a+6+c)2=a'-∖-l)-∖-c+2a∙b-∖-2a∙c~∖~2b∙c—1+1+22—2—2=2.

-A

.∙.MGl=√I即线段AG的长为［I

(2)VACl=a+b+c,A1D=b-c,

—►—►

22

∙∖AC↑∙AiD=(a+⅛+c)∙(Z?—c)—a∙b—a∙c~∖~6-b∙c+b∙c—c=1+1-2=-2.

-►-A

又∣4"∣2=(⅛-C)2=A2+c-2b∙C=I+4+2=7,Λ∣A∖D∖=y∣7∙

―►―►

Λcos(后焉=上处=行"=—理

I力拓Ia小7

异面直线ACi与4。所成角的余弦值为乎.

(3)证明:VJJi=C,BD=b-a>

.∖AΛι∙BD=c∙(A—a)

=c∙b—c∙a=-1—(―1)=0.

：.AAiLBD9即44J_RZ

触类旁通］

1.空间向量数量积计算的两种方法

(1)基向量法:a∙b=∖a∖∖b∖cos<a,b〉.

⑵坐标法：设a=(xι,71,Zi),6=(如72,Zl),

则a∙b—x∖Xι-∖-y∖yzλ-Z∖Z2.

2.利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题

(l)a≠0,b≠0,aLb<^a∙b=0.

(2)!a∣=\标.

a∙b

(3)cos〈a,b)

ab,

即时训练3.(2021•云南昭通模拟)已知4(1,0,0),8(0,-1,1),。为坐标原点,

物+4仍与行的夹角为120°,则A的值为()

A.

vθ

C.D.±y∣6

一6

答案C

4+√l

解析由的+4仍=(1,-AA),OB=(0,-1,1),则COSI200

9y∣1+2Λ2∙y∣2

-1,解得才=±*.经检验才=差不符合题意，舍去，所以a

4.如图，在四棱锥产一四切中，底面/腼为直角梯形，AD//BC,NBAD=90：Ea底

IffABCD,且为=4O=∕8=28G"为％的中点.

(1)求证：PB1DM；

⑵求“'与如所成角的余弦值.

解⑴证明：结合题图知，PB=AB-AP,

一1一f

DM=I(DP+DO力二同于+导何

If]f

则阳∙DM=(JB-AK^AB∖'1--∖AP∖2^,故PBlDM.

⑵设PA=AgAB=2BC=2,

―►—►—►—►―>ɪ—►

由于阳="-仍AC^-AB+^AD,

贝”即F=IAT-"|2=44-2/〃•"+/尸=8,i⅛∣∕»∣=2√2,

Ma2=ΛB+-ΛD2=∖AB∖'-∖-2AB∙-ADΛ--∖AD∖2=^,故|[。|=仍，

N/4v

ffffLL、

PD∙AC=(AD-AP)∙∖AB+-AD∖=2f

故COS[PD,AO=厂2=耍.

2√2×√510

课时除亚I

1.已知a=(2,3,—4),6=(—4,—3,—2),b=^x~2a,则X=()

Λ.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由£>=~%—2a,得X=4a+26=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,—20).故

选B.

—►—►-►

2.若O,A,B,C为空间四点，且向量如，OB,。坏能构成空间的一个基底，则()

―►―►—►―►―►

A.OΛ,OB,。供线B.OA,明专线

―►―►

C.OB,戈洪线D.O,A,B,。四点共面

答案D

―►―►—►—►―►—►

解析；向量以，OB,比不能构成空间的一个基底，；.向量的，OB,比共面，因此。，A,

B,C四点共面.

—►―►—►-►

3.(2021•江西鹰潭模拟)在空间四边形力腼中，49=a4C=6,47=c,则混于()

A.a-∖-b-cB.c——a-b

C.a-b—cD.b-a+c

答案B

―►―►—►―►—►—►

解析如图所示，CD=CBJfBD=CB+(AD—AB)=-b+c-a=c—a—b.椒选B.

4.已知向量a=(l,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

答案B

解析经检验，B中向量(1,一1,0)与向量a=(1,0,-1)的夹角的余弦值或，即它们

的夹角为60°.故选B

5.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面。的一个法向量是〃=(6,—3,6),则

下列点尸在平面α内的是()

A.A2,3,3)B.户(一2,0,1)

C.2(一4,4,0)D.尸(3,-3,4)

答案A

—►—►-►

解析∙.F=(6,—3,6)是平面。的法向量，,AL"在A中，物三(1,4,1),・・・〃・.,护

=O故选A.

—►—►-►

6.棱长为1的正方体4Mλ-48d4中，AB-(DD∖—D0=()

A.-1B.0

11

c∙2D-4

答案B

-►----►►----►-A

解析ABt∙(ZM=倔•8=0.故选B.

7.(2022•大庆一中模拟)如图，在空间四边形被力中，若向量/8=(-3,5,2),G9=(-

7,-1,-4),点反厂分别为线段比；4〃的中点，则笛的坐标为()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,-1)

答案B

-**1->，35ʌɪ-(7

解析取然的中点M,连接磔,版,,监=5四=一5,5，1LMF^-CD^[-∑,一5，-2

乙\乙乙J乙\乙乙

而EF=MF-ME=(-2,-3,-3),故选B.

8.已知长方体/成为一454〃，下列向量的数量积一定不为0的是()

A.AD1∙B1CB.BDx∙AC

—►-►―►—►

C.ΛB∙ARD.BhBC

答案D

解析当侧面ECG台是正方形时，得Λβ・B∖C=0,所以排除A；当底面/发力是正方形时,

得力。垂直于对角面9，BDx∙AC=O,所以排除B；显然在，侧面月〃〃4,则很∙∕l"=0,所

以排除C；由题图可得薇与笈所成的角小于90°.故选D.

9.已知两个非零向量a=(句，a2,曷)，b=(b∖,bi,&),它们平行的充要条件是()

ab

儿蔺=两

B.a↑b∖=a^bi=asbs

C.a↑bι+a2b2+aibi=O

D.存在非零实数4,使a=行

答案D

ab

解析首先排除B；C表示当a〃b时，有——=±,故A错误.故选D.

a7πb

10.(2021•安徽合肥模拟)已知向量a=向2,3),6=(—2,-4,-6),∣c∣=√M,

若(a+6)∙c=7,则a与C的夹角为()

A.30oB.60°

C.120oD.150°

答案C

解析由于<s+b=(-L—2,—3)=-a,故(a+b)∙c=-a∙c=7,即a∙c=-7.

又因为Ial=MFT声1=MTL所以CoS<a,c)=：:=V,所以〈劣0〉=120°.

—►—►—►

11.已知正方体48(力一484〃，如图所示，£为上底面45G〃的中心，若/IE=∕4+M8

+%。，则X,y的值分别为()

A.x—y—1B.x=l,y=~

11

C.X-y-2D.X--,y-∖

答案C

>>►►ɪ>►>>>

解析由向量运算的三角形法则知，AE=AAi+A,E,而4Qg4G,4G=48∣+8G,又AB

―►—►―►—►—►—►—►—►—►I―►I—►I

=ABfBC=BC=AD,*.A∖C∖=AB-VAD,.*.AE=AA↑+~^ABΛ-^AD,Λx=y-~^

12.(2022•雅安模拟)4B,C,〃是空间不共面的四点，且满足48∙力C=0,AC-AD=Q,

46∙4>=0,材为用的中点，则跖是()

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.不确定

答案C

―►I-►-A—►—►ɪ―»—►—►I-►—►ɪ

解析为优的中点，.,.AM=-(ΛB+AO.：.AM>ΛD=-{ΛB+ΛC)∙Λβ=~Λβ∙ΛD+~

AC∙AD=O,：.AMLAD,为直角三角形.故选C.

13.在空间直角坐标系中，以点/(4,1,9),8(10,—1,6),C(X,4,3)为顶点的4/8C是

以鸵为斜边的等腰直角三角形，则实数X的值为

答案2

解析由题意知48∙4C=0,∖AB∖-∖AC∖,

又AB=(6>—2,—3),AC^(X—4,3,—6),

6X-4-6+18=0,

解得X=2.

X—42=4,

"1>',A-11A⅛2

14.如图所示，在空间四边形十％中，OA=a,OB=b,QC=C,点"在勿上，且〃Iz=W

以，点N为比的中点，则肠V=(用向量a,b,C表示).

O

211

案

答⅛4

1a一

3+-"2

-

21221!

解析MN=ON—OM=5(OB+Oc)--OA=-za+-b+^c.

乙ɔ。乙乙

15.(2021•河南信阳模拟)如图所示，正方体/比力-45G4的棱长为1,若动点P在线