2024版新教材高考数学总复习课时作业：三十八数列求和

课时作业（三十八）数列求和

一、单项选择题

1.数列1；,3；,5-,71,…，（2〃-1）+,的前〃项和S的值等于（）

A.n+1

2.1

B.277~一〃+1—亍

C.7/+1—产7

D.+1-*

2.已知等差数列｛&,｝首项为1,公差为2,数列满足4=2〃7（〃£“），记数列

｛为+4｝的前n项和为7；则条=（）

A.2147B.1123

C.1078D.611

112+&-2,〃23,/?为奇数，]

3.数列f｛a｝满足d=0,或=1,2=[…工./田火则数列如f一的前10项

[2Xj〃23,〃为偶数，

和为（）

A.48B.49C.50D.51

4.在数列｛&｝中，ai=-29，a“+1=aw+3（nGN*）,则|4+|a21H-H&o|=（）

A.10B.145

C.300D.320

5.已知数列｛&｝满足m=2,a+“i=（一1）",则数列｛a｝前2023项和为（）

A.-1013B.-1012

C.1012D.1013

6.（能力题）[2023•广东广州模拟]若数列｛a｝满足a=（-1）〃T•则｛&｝的

前2022项和为（）

A----1---R----1---

20222023

20212022

C------D------

20222023

7.（能力题）数列L1+2,1+2+2、…，1+2+22+2,+…+2,I…的前刀项和为（）

A.2"-n—1B.2,?（1—n—2

C.2D2.一〃

二、填空题

8.若数列]〃（3卜1）｝的前〃项和为$，若S，・S+i=|,则正整数”的值为.

9.[2023•北京四中模拟]在数列｛&｝中，a.=l,a„-a„+1=-2,贝ijS（»=.

10.已知数列｛4｝的前刀项和S=#—6〃，则｛|al｝的前〃项和。=______.

三、解答题

Q〃+1__Q

11.[2023•河北保定模拟]已知数列｛a｝的前〃项和为S“,且S,：1■于.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）设b„=~-------------,求｛〃,｝的前n项和T„.

10g3&e10g3^+I

12.[2023•辽宁鞍山模拟]在①5=2"—3〃-1；②为+i=2&+3,&=-2这两个条件中

任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

设数列｛a,J的前〃项和为S,且________(只需填入序号).

⑴求数列｛&｝的通项公式；

⑵若b„=n•(a,+3),求数列｛4｝的前〃项和T„.

13.[2023•河南洛阳模拟]已知正项数列｛&｝的前〃项和为S,&=1,S,+d$=a",

数列｛6"｝满足bn•6"+i=2a〃且b\—2.

⑴求数列｛a,J,｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前〃项和T,,,

优生选做题

14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设xGR,

用以]表示不超过x的最大整数，则f(*)=[x]称为高斯函数.已知数列｛&｝满足&=1,且

(〃+〃&=2〃+1,若4=[lga“],数列｛儿｝的前〃项和为北，则%022=()

A.4950B.4953

C.4956D.4959

15.已知数列｛a,J满足曰•色匚....-

"改QnAn

(1)求｛&｝的通项公式；

(2)在&和a+i,A6N*中插入A个相同的数(—1)-’•在，构成一个新数列｛4｝：a“1,

&,一2,—2,as,3,3,3,a”…，求｛方〃｝的前45项和扁.

课时作业(三十八)数列求和

1.解析：可得S,=l+3+5H1-(2/7-1)+J+J+J-I~—

乙乙乙乙乙

答案：A

10(1-1-19)1—9

1***

2.解析：由题意，&=2"-1,a"+4=2〃-1+2"-,所以Tw=---------+—^

100+210-l=1123.故选B.

答案：B

3.解析：因为且〃为奇数时&=2+ai,

所以所有奇数项构成功为首项，2为公差的等差数列,

又因为后3且n为偶数时,a„—2a^2,

即所有偶数项构成会为首项，2为公比的等比数列，

所以团+a；+a)+…+团0

=(ai+as+as+1ar+au)+(az+a+ae+a+aio)

(0+8)X5,1-25「,小小

2卜]—2=5L故选D-

答案：D

4.解析：在数列｛aj中，&=—29,a„+i=a„+3(/JGN"),

数列｛4｝是首项为-29,公差为3的等差数列，

；・a=-29+(??-1)X3=3/2—32,

由a=3〃-3220,得

；・Ia|+|/I+…+I曲I

=­(a+a2H--------Fa。)+&1+&2+…+/。

—£o—2510

',20X19)(10X9

20&+---X10^1d

2

=[20X(-29)+190X3]-2[10X(-29)+45X3]

=300.故选C.

答案：C

5.解析：由题意可知，当〃为偶数时，an+a„+i—(―1)"=1,

因此，数列｛a〃｝前2023项和为$023=团+(az+aj+(a+as)H---1-(32022+52023)=2+

1X1011=1013.故选D.

答案：D

6.解析：当〃为奇数时，&=(十+《7)当〃为偶数时，a〃=—

111

£。222021202220222023

12022

=1;故选D.

20232023

答案：D

i—9,?

7.解析：设此数列的第〃项为a“,则a=1+2+22+2：,+…+2f2i=百=2一,

所以数列｛a,J前n项和为：

句+/+…+&=21­1+22-1+…+2”-1

2(1—2〃)

=L2一刀

=2""—/?—2,z?GN*.故选B.

答案：B

11

8,解析：•:n(〃+1)丁亦'

1,11,,111n

,Sn=1--+--H---F二

乙乙Jn+11n+1刀+1’

.nn+\n

••Sn•S,+1口+]

〃+2〃+2'

n2

=-^/J=4.

答案：4

9.解析：根据题意，由功=1,向4=—2,得为=—2,

又/a=-2,得&=1,a3a=-2,得为=­2,•••,

所以｛a｝中所有的奇数项均为1,所有的偶数项均为一2,

所以5100=囱+含+…+aw+aoo=1—2+,,,+1—2=50X(—1)=—50.

答案：一50

10.解析：由S=/Z—6〃可得，当〃22时，

2

-

an=S1—Sn-\=n—&n—(z?1)+6(/?—1)=2〃-7.当〃=1时，S=—5=a,也满足

上式，

所以a=2〃-7,〃£N*.

所以当〃W3时:aXO；当〃〉3时，品>0,

故1W〃W3时，Tn=—Sn=6n—R\当〃>3时，7L=SL2$=//—6〃+18,即

6〃一//，1<后3,

〃2—6〃+18,〃>3.

6/7—/?2,1W〃W3,

答案：T”=

n—6/?+18,〃>3

Q〃+1_Q

11.解析：（1）因为S：1一厂■,故当〃=1时，ai=3,

当〃22时，£一尸:J,则a=S—SL】=3"("22),

当n=l时，^1=3满足上式，所以a=3".

(2)由⑴得4=^---------\---------=—1匕丁=42一=7)，

log3品・log3a+in(〃+1)\nn+\)

所以北=打+庆+&H----FA=4X(1—-------^77)=4(1—TTT|="^T7

223nn+l\n-vIJn+l

故数列｛4｝的前〃项和

12.解析：(1)若选①：由5=2〃一3〃一1,

当〃22时,a〃=Sj—Si=2"—3〃-1—[2j—3(/7—1)—1]=2"1—3,

当〃=1时，a=S=-2满足上式，

所以数列｛a｝的通项公式为a〃=2〃f—3.

若选②：由a+产2a+3,可得为+i+3=2(&,+3),

又由句=-2,可得4+3=1,

所以数列｛a,,+3｝是以4+3=1为首项，2为公比的等比数列，所以%+3=2"-',

所以数列｛&｝的通项公式为a=2'i—3.

(2)由(1)Wb„=n,(a“+3)=〃•2"，

可得7i-lX20+2X2l+3X22+-+/7«2"-1,

则27；=1X21+2X22+3X23+-+P«2",

1—9n

两式相减，可得一方=20+21+22+…+2"f—〃・2〃=「7—〃・2〃=(1一〃)2〃一1,

所以Tn=(〃-1)2"+L

13.解析：(1)因为%H+S=£M,①

当〃=1时，S+S=/,即/+2劭=潺，

又a=l,所以4=2或4=-1(舍去)

当〃22时，SASC,②

所以①一②，a〃+i+a=(a〃+i+a)(a+1—4),

因为a>0,所以“】一a=1,

所以数列｛&｝是首项为1,公差为1的等差数列，即&=〃，

所以bn•bn+1=2.=2",

当〃=1时，b\•Z>>=2,又仇=2,所以段=1,

当〃22时，bt,-\•bn=『',

两式相除可得约=2,

btt~\

口一1〃+1

所以当〃为奇数时，4=2X2-^^=2-

当〃为偶数时，A=1X2；T=2；T,

(/?+1

2一厂，〃为奇数，

27，A为偶数.

(2)当〃为偶数时，。=(山+&+…+4T)+(庆+&+…+4)

2义IXn

=3X22-3；

n—1〃+1n-1

当〃为奇数时，Tn=Tn-\+bn=3X2717-3+^17=5义2^~—3,

n

3X22-3,〃为偶数

所以Tn=\

〃一1

、5乂2一5一一3,〃为奇数

—=

14.解析：由(刀+1)an+1nalt2z?+1,月.a1=l,根据累加法可得：

(77-1)at,-\+(Z7-1)ar>-\—(〃-2)&L2+…+24一劭+劭=/九

所以an=n.

所以bn=[igaj.

当1W〃W9时，bn=O；

当10W〃W99时，4=1；

当100W/?W999时，4=2；

当1000W〃W2022时,匕=3・

因此私22=0X9+1X90+2X900+1023X3=4959.故选D.

答案：D

15.解析：⑴由『.十

当片1时,平解得：&=2,

SL\—1比一1&-11—1Qi—11—11

当〃22时,9・

a\出3n3n3\32为-13.H-1