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二阶系统时域分析

在控制工程中，二阶系统的典型应用极为普遍，在分析和设计自动控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准，而且许多高阶系统在一定的条件下可以近似或者降阶为二阶系统来处理，所以二阶系统的动态分析显得尤为重要。什么是二阶系统呢？以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。K为系统的开环放大系数。T为时间常数其闭环传递函数为：为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式：ωn--自然振荡频率或无阻尼振荡频率

ζ--阻尼比或相对阻尼系数

ζ和ωn是决定二阶系统动态性能的两个非常重要的参数，二阶系统的性能分析和描述，基本上是通过这两个体现其特征的结构参数来表示的。根据闭环传递函数，可以得到系统的特征方程为：这是一个二阶代数方程，得到两个特征方程的根，分别是：单位阶跃响应的拉氏变换为：可以得到：其中s1和s2是系统的闭环极点，因为当阻尼比ζ属于不同取值范围时，二阶系统的闭环极点在s平面的上的位置不同，其时间响应也对应的有不同的运动规律。①当ζ>1时，称该系统为过阻尼系统。令零初始条件下，可以得到系统的单位阶跃响应：

单位阶跃响应的稳态分量与输入相同，因此无稳态误差。

单位阶跃响应曲线单调上升，既无超调，也无振荡。2当ζ=1时，该系统称为临界阻尼系统。零初始条件下，可以得到系统的单位阶跃响应：

单位阶跃响应曲线单调上升，趋于稳态输出，既无超调，也无振荡。其中1是稳态分量

单位阶跃响应的稳态分量与输入相同，因此无稳态误差。30<ζ<1时称为阻尼振荡频率，此时该系统为欠阻尼控制系统。零初始条件下，可以得到系统的单位阶跃响应：若闭环极点远离实轴，则振荡频率大，衰减速度取决于ζwn的大小。若闭环极点远离虚轴，衰减速度快。振荡的角频率wd，取决于阻尼比ζ和无阻尼振荡频率wn。4ζ=0时零初始条件下，可以得到系统的单位阶跃响应：是一个无

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