备考2024年高考数学一轮复习-导数综合练

专题4.9导数综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2023春・江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数y=d^+lnx的单调递增区间为（）

X

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+8）D.（l,+oo）

2.（2023春・北京昌平•高三北京市昌平区前锋学校校考期中）函数/（x）=任的导数/''（》）=（）

X

xsmx—cosx-%sinx-cosx

A.---------z-------

Xx2

xsinx+cosx—xsinx+cosx

D-Y

.X2

3.（2023春・吉林•高三校联考期中）曲线y=e'g在点（0,1）处的切线垂直于直线2x-y=0,贝lja=（）

A.1B.-1C.-D.

44

4.（2023•全国•高三专题练习）己知/（x）的定义域为（0,+劝，尸⑺为的导函数，且满足〃尤）＜-犷'（力，则

不等式/（6+1）＞（«T）〃XT）的解集是（）

A.（0,4）B.（1,4）C.（L+8）D.（4,+w）

5.（2023春・辽宁•高三辽宁实验中学校考期中）设〃彳）=依-|山乂+2有三个不同的零点，则a的取值范围是（）

A.（0,e）B.（。，nC.［。，下］D,^0,—

6.（2023春•广东茂名•高三广东高州中学校考期中）设函数/（x-Inx+G：—］无，若x=l是函数/⑴的极大值点，

则函数"X）的极小值为（）

A.ln2+2B.In2-1C.ln2-3D.ln2-2

7.（2023春•云南玉溪•高三云南省重点中学校考期中）已知函数〃x）=e2x,g（尤）=lnx+g分别与直线V=a交

于点A,B,则的最小值为（）

A.1--ln2B.1+—ln2

22

C.2--ln2D.2+-ln2

22

8.（2023春•广东珠海•高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设函数/（x）的导数为八x）,且/⑶=/_2矿⑴，则

-⑴=（）

A.-§B.-C.-2D.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.（2023春•吉林通化•高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数Ax）的定义域为（0,+8）,导函数为7'（x）,

满足矿（x）-/（x）=（x-l）e',（e为自然对数的底数），且/（1）=0,则（）

A.3/⑵<2/⑶B./(l)>/(2)>/(e)

C.7⑺在x=2处取得极小值D.7（x）无最大值

10.（2023春・甘肃金昌・高三永昌县第一高级中学校考期中）下列结论中，正确的是（）

B.(sin2x)=2cos2x

cos%)xsmx-cosx/、，1

D.（l°g5X）=而

x

11.（2023•安徽•校联考模拟预测）已知直线/与曲线/（x）=ln无+尤2相切，则下列直线中可能与/垂直的是（）

A.x+4y=0B.>/2.x+5y=0

C.0x+3y=OD.-J2x-y=0

12.（2023春・湖北•高三宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知函数/（X）=X3-X+2,则（）

A.函数/（元）在R上单调递增B.无）有三个零点

c.f(x)有两个极值点D.直线y=2尤是曲线y=/(x)的切线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.(2023春・广东江门•高三新会陈经纶中学校考期中)已知函数/(幻=。111(》+1)+/,在区间(2,3)内任取两个实

数外且玉片%，若不等式/区)［"X?)>1恒成立,则实数。的取值范围为.

14.(2023春・上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考期中)函数y=/(力的导函数y=广⑴的图像如图所示,

以下结论正确的序号是.

(1)-3是函数y=/(x)的极值点；

(2)-1是函数y=/(x)的极小值点

(3)y=/(x)在区间(-3,1)上严格增；

(4)y=/(x)在x=0处切线的斜率大于零;

15.(2023春•上海普陀•高三上海市晋元高级中学校考期中)函数y=/(x),其中/(x)=2/,函数〃X)在区间

［毛③+Ax］上的平均变化率为勺,在&-Ax,%］上的平均变化率为履，贝与七的大小关系是

16.(2023•全国•高三专题练习)曲线/Xx)=ln(元-D+x+l上的点到直线y=2x+4的距离的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2023春•高二课时练习)求下列函数的导函数.

(1)/(x)=-2x3+4x2

(2)f(x)——x^~+ctx+1

(3)/(x)=X+COS(0,1)

(4)f(x)=-x2+3x-Inx

(5)y=sinx

心x+1

⑹1石

18.（2022・天津•高三专题练习）设函数/（力=山工-犬+公（其中无理数e=2.71828…，acR）.

（1）若函数/（x）在（0,e］上不是单调函数，求实数。的取值范围;

（2）证明：设函数的图象在x=处的切线为/,证明：f（x）的图象上不存在位于直线/上方的点.

19.（2023,全国•周二专题练习）/（尤）=+ln尤—（。+l）x.

⑴当。=T时，求/⑴的单调区间与极值；

（2）当。＞0时，设g（©=/@,若g（x）既有极大值又有极小值，求a的取值范围.

X

20.（2023春•高三课时练习）已知aeR,函数”到=9+历尤-1.求〃x）在区间（0,e］上的最小值.

21.（2022.高三课时练习）如图①是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆，及矩形ABC。组

成，其中的长为。分米，如图②所示.为了美观，要求小好2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分

米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分（箱体）的制作费用为每平方分米1百元，上半

部分（箱盖）制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元.

（1）写出y关于，的函数表达式，并求该函数的定义域;

（2）当厂为何值时，该首饰盒的制作费用最低？

22.（2023・全国・高三专题练习）设函数〃了）=以在±0-2,已知曲线^=/（同在点4（0,2）处的切线斜率为-：.

x+2x+12

（1）求〃，b的值;

⑵设函数g(x)=(x+2)/(x),求g(x)的最小值.

专题4.9导数综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2023春•江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数y=+lnx的单调递增区间为（

X

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+oo)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】求导，求出不等式y＞。的解集即可.

【详解】函数的定义域为（。,+8）.

X2+227ix2+X—2(x+2)(x-l)

y=-+--l-n--x--=x+—+lnx,贝！Jy，=]—z-+—=

Xxxx

y>o

令，解得%£（l,+8）.

X>0

故选：D

2.（2023春.北京昌平•高三北京市昌平区前锋学校校考期中）函数/（町=母/的导数1f（x）=（）

xsinx—cosx-xsinx-cosx

A.B.

X2X2

xsinx+cosx-xsinx+cosx

C.D.

x2x2

【答案】B

【分析】根据导数公式可得.

..7xcosx,

【详解】由〃x)=]一知

\，

cosx)x—xrcosx-xsinx-cosx

故选：B

3.（2023春•吉林•高三校联考期中）曲线y=e*在点（0,1）处的切线垂直于直线2x-y=0,贝|a=（）

A.1B.—1C.—D.—

44

【答案】D

【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于。的方程，解出。后可得正确的选项.

【详解】y=2ae2（K,所以y'r=2a,

因为在点（0,1）处的切线垂直于直线2x-y=0,故切线的斜率为,

故^2a=—即ci=—,

24

故选：D.

4.（2023•全国•高三专题练习）己知/（X）的定义域为（0,+动，尸（x）为〃x）的导函数，且满足/（X）〈-矿（力，则

不等式/（«+1）>（五-1）〃1）的解集是（）

A.（0,4）B.（1,4）C.（1,+<»）D.（4,-H»）

【答案】D

【分析】构造函数g（x）=V（x）,结合题意可得g'（x）<。，进而得到尤>0时，函数g（无）单调递减，转化

+-为+结合单调性即可求解.

【详解】设g（x）=4（x）,则短==犷（x）+/（x）<0,

即当x>0时，函数g（无）单调递减，

由/（«+1）>（4一1）/（%-1）,

所以（百+1）/（4+1）>（彳-1）〃尤T，

即g（«+i）>g（龙一1）,

\/~X+1<X—1

所以，x-l>0,解得x>4,

A/X+1>0

则不等式的解集为（4,a）.

故选：D.

5.（2023春・辽宁・高三辽宁实验中学校考期中）设/（司=依-|山刀|+2有三个不同的零点，则a的取值范围是（）

A.（0,e）B.（0，e?）C.^0,—D.（0,丁］

【答案】C

【分析】由外力=依-|111才+2有三个不同的零点，可得ar+2=|lnx|有三个不同的零点，构造函数y=|lnx|和y=ax+2,

画出函数图像，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图像关系即可求解.

【详解】如图，由/（*=◎-|也乂+2有三个不同的零点，可得依+2=|问有三个不同的零点，

画出函数y=|lnx|的图像，直线>=6+2过定点（0,2）,

当x>l时，设过（。,2）的直线与y=lnx的切点为（无o，lnx。）,

由y=lnx,得y，=L所以故切线方程为>-皿=1（”飞）,

X/X。

把定点（0,2）代入得:2-lnx0=-l,即九0户

所以即直线>=依+2的斜率为。=：,

由图知，当0<。<二时,y=依+2与y=|hw|有三个交点,

所以使Ax）=k|Inx|+2有三个不同的零点的。的取值范围是

3

6.（2023春•广东茂名•高三广东高州中学校考期中）设函数〃x）=lnx+依②-己无，若x=l是函数/⑺的极大值点,

则函数/（X）的极小值为（）

A.In2+2B.In2-1C.ln2-3D.ln2-2

【答案】D

【分析】由题意可得/⑴=0,求出。的值，即可求出了（1），再对/（%）求导，得到了（九）单调性，即可求出答案.

313

【详解】由/(%)=1口%+加-万工,得/'(%)=—+2双-],

又光=1是函数的极大值点，Aff（l）=2a-^=0,「•〃=；，

r23

则fM=lnx+--—x,(x>0),

2x

令r（%）=。，得％=i或%=2,

令［（x）〉0,解得了>2或Ovxvl；令1（%）<0,解得I<xv2,

所以在（0,1）,（2,+^）上单调递增，在（1,2）上单调递减，

则当％=2时，/⑴的极小值为ln2—2.

故选：D.

7.（2023春•云南玉溪•高三云南重点中学校考期中）已知函数/⑺=e2=g（x）=lnx+；分别与直线V=。

于点A,B,则目的最小值为（）

A.l--ln2B.l+-ln2

22

C.2--ln2D.2+-ln2

22

【答案】B

【分析】依题意，表示出A2两点坐标和IAM,构造函数，利用导数研究单调区间和最值.

由题意，2,aj,其中e"W>；lna,且a>0,

11_1_1

所以|A3|=e2_—\na,令/z(%)=e__inx,(x>0),

J11

则/(x)=e2——=。时，解得工=

2%2

所以0<x<；时，”(x)<0；时，”(x)>0；

则h(x)在(of上单调递减，在g，+8J上单调递增，

所以当X=g时，I叽„=可=1+*

故选：B.

8.(2023春・广东珠海•高三珠海市斗门区第一中学校考期中)设函数/(x)的导数为八x),且/。)=--2矿⑴，则

(⑴=()

22

A.--B.-C.-2D.2

【答案】B

【分析】可先求函数的导数，令x=l求出(⑴即可.

【详解】由/(x)=d—2^”)nr(x)=2x—2/(1),

令x=l得尸⑴=2x1-2-⑴，

解得/⑴=耳.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.(2023春•吉林通化・高二梅河口市第五中学校考阶段练习)已知函数AM的定义域为(0,+8),导函数为/'(x),

满足矿(x)-/(无)=。一1q,(e为自然对数的底数)，且/(1)=0,则()

A.302)<2八3)B./(l)>/(2)>/(e)

C.7(x)在x=2处取得极小值D.7(x)无最大值

【答案】AD

【分析】由题意，构造函数，利用导数可得新函数的单调性，解得函数/(X)的解析式，根据导数求得该函数的单

调性，可得答案.

【详解】解：设g(x)=3(x>0),则g8)=矿(X)；〃x)=生芈:=㊁,

xXxIxJ

可设g(x)=J+C,则仪1)=匕+°=0,解得c=-e,故且。)=£__©,gp/(x)=ex-ex,

XX

令/(%)>0,则％>1,故g(x)在(l,y)上单调递增，

g(2)<g⑶，即与〈与，则3/(2)<2〃3),A正确；

Vf'{x}=ex-e,令/(x)=e'-e>0,解得x>l,则〃幻在(0,1)上单调递减，在(1,E)上单调递增，

A/(l)</(2)</(e),/(x)在x=l处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确.

故选：AD.

10.(2023春•甘肃金昌•高三永昌县第一高级中学校考期中)下列结论中，正确的是()

A.(cos工)=-sin—B.(sin2x)=2cos2x

C.(土]'=加…。sxD.(log^)^—

2

IXJXI-，x1n5

【答案】BD

【分析】利用基本初等函数求导公式，复合函数求导公式以及导数的运算法则的进行求导，逐项分析即可.

【详解】对于A,常数cos2的导数等于0,

故A错误；

对于B,4y=sin2x,u=2x,贝!]y=sin"，义=乂•〃；=(sina)'.(2x)'=2cos2x,

故B正确；

对于c(cosxY_(cosx)-x-cosx-x'_-xsinx-cosx

(xJx1x2

故C错误；

对于D,利用公式(log。尤)'=一二一(a〉。,awl),

元Ina

故D正确.

故选：BD.

11.（2023•安徽•校联考模拟预测）已知直线/与曲线/'（x）=lnx+/相切，则下列直线中可能与/垂直的是（）

A.x+4y=0B.&x+5y=0

C.s/2x+3y=0D.-J2x—y=0

【答案】AB

【分析】求导，利用基本不等式可得导数范围，然后可得垂线斜率范围，进而可得答案.

【详解】Ax）的定义域为（0,+8）,

f'（x）^-+2x>2y/2,即直线/的斜率左22五，

X

设与/垂直的直线的斜率为机，则上=-L，

m

所以一工22应，.IwmvO.

m4

故选：AB.

12.（2023春•湖北•高三宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知函数/（力=丁-尤+2,则（）

A.函数/（X）在R上单调递增B./（X）有三个零点

c.f（x）有两个极值点D.直线y=2尤是曲线y=的切线

【答案】CD

【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方

程.

【详解】函数〃X）=X3-X+2,定义域为R,r（x）=3x2-l,

/^x）>o,解得x<_#或x>4；r（x）<0,解得一4

<X<—，

3

在一叫一分卜口］/400上单调递增，在一曰,当

上单调递减,

极大值为《3k+9，极小值可3卜9>

0,

”-2）=T<0,-孚>0,函数图像如图所示

则函数“X）的图像与X轴只有一个交点,即〃尤）只有一个零点,

所以AB选项错误，C选项正确；

曲线y=/（x）切线的切点坐标为&，〃%）），当切线斜率为2时，尸（尤。）=3龙。2-1=2,解得不=±1,

当为=1时，切点坐标为（1,2）,切线方程为y-2=2（x-l）,即y=2x,D选项正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（2023春・广东江门•高三新会陈经纶中学校考期中）已知函数/（幻=。111（》+1）+/,在区间（2,3）内任取两个实

数为三，且可片々，若不等式"*）一/区）>1恒成立,则实数。的取值范围为_______.

玉-x2

【答案】［-9,+8）

【分析】根据题意得函数g（x）="尤）-尤=。ln（x+1）+f-X在区间（2,3）内单调递增，利用导函数与单调性的关系即

可得。2（-2尤+1）（尤+1）恒成立，即可求解.

【详解】不妨设%>/，贝I由八%）一:（%）>1,

百一

可得了（不）一/（彳2）>占一%，即/（图）一3>/（%2）一%，

设g(x)=/(%)-x=aln(x+1)+x2-x,

则g(x)在区间(2,3)内单调递增，

g'(x)=-^—+2x-l,

x+1

则g'(x)==+2龙-12。在区间(2,3)内恒成立,

艮〃2(—2x+l)(x+1),也即a之—2x2—x+1,

因为二次函数J=-2/-x+l在(2,3)单调递减，

所以y<_2x22_2+l=_9,

所以。2-9,

故答案为：［-9,+co).

14.(2023春.上海杨浦.高三同济大学第一附属中学校考期中)函数y=的导函数y=/'(x)的图像如图所示,

以下结论正确的序号是.

(2)-1是函数_y=/(x)的极小值点

(3)y=)(x)在区间(-3,1)上严格增;

(4)〉=/(%)在x=0处切线的斜率大于零；

【答案】(1)(3)(4)；

【分析】利用导函数与原函数的关系一一判定即可.

【详解】由图象可得x=-3时，/'(一3)=0,且x<-3时/(力<。，x>-3时掰^)>0,即一3是函数y=/⑺的极

小值点，(1)正确；

而尸-1时，r(-l)=0,但x<T与X>—1时，/^)>0,不是函数y=/(x)的极值点，(2)不正确；

由图象可知(-3,1)上力^)>。，.•.y=/(尤)在区间(-3,1)上严格增，(3)正确；

尤=0处/<勾>0,所以该处切线的斜率大于零，(4)正确；

故答案为：(1)(3)(4)；

15.(2023春•上海普陀•高三上海市晋元高级中学校考期中)函数y=/(x),其中〃x)=2/,函数〃尤)在区间

［而③+Ax］上的平均变化率为尤，在1Ao-Ax,x0］上的平均变化率为k2,则尤与k2的大小关系是

【答案】

【分析】根据平均变化率公式求出《与心，再比较大小即可;

22

2（X0+Z\X）-2XQ_4x0Z\x+2Ax

【详解】依题意勺==4%+2Ax,

x0+Ax-x0Ax

22

2%g-2（x0-Ax）_4x0z\x-2Ax

k?—=4x-2Ax,

Ax0

所以左一左2=4AX,而AX>0,所以左>人2.

故答案为：勺＞/

16.(2023・全国•高三专题练习)曲线f(x)=ln(x-l)+x+l上的点到直线y=2x+4的距离的最小值为.

【答案】V5

【分析】求出曲线/(尤)的斜率为2的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】"X)的定义域为(1,”),

求导得((尤)=」7+l，令r(x)=2,解得x=2,则"2)=3,故切点坐标为(2,3),

X-1

故曲线上的点到直线＞=2x+4的距离的最小值即为切点(2,3)到直线y=2尤+4的距离，即为

|2x2-lx3+4|

=3

6+1

故答案为：出

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2023春•高二课时练习)求下列函数的导函数.

(1)f^x)=-2x3*145+4x2

(2)f(x)=§"—"++]

(3)/(x)=COSX,XG(0,1)

(4)f(x)=-x2+3x-Inx

(5)y=sinx

gx+1

⑹

【答案】⑴广(x)=-6d+8x

(2)—-2x+a

(3)/'G)=-sinx+l

(4)广⑺=-2—+3

(5)/=cosx

,2

⑹—F

【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.

【详解】(1)/(X)=-2X3+4X2,所以/'(%)=-6/+8北

(2)/(x)=-x3-x2+ox+l,所以=_2%+〃.

(3)f(x)=x+cosx,xG(0,1),所以r(%)=-sin%+l,xe(0,l).

(4)/(x)=-x2+3x-lnx,所以f'(x)=-2x--+3.

x

(5)y=sinx,所以y=cosx.

x+1(x+l)'(D-(x+gT)'2

(6)y=；，所……=

x-1(x-1)2

18.(2022・天津•高三专题练习)设函数/(x)=lnx—x2+依(其中无理数e=2.71828…，aeR).

⑴若函数〃力在(。目上不是单调函数，求实数，的取值范围;

(2)证明：设函数/(力的图象在％=/处的切线为/,证明：/(力的图象上不存在位于直线/上方的点.

【答案】⑴(-叱2e-』

(2)证明见解析

【分析】(1)由单调性可知广(x)在(0,e］上必存在变号零点；分别在仅有一个变号零点和两个变号零点的情况下,

结合二次函数性质构造不等式组求得结果；

(2)利用导数的几何意义可求得切线斜率，可得/：y=f--2x0+A+^+lnx0-l;令

VoJ

/i(x)=/(x)-^X-2x0+fljx+^+ln%0-l,利用导数可求得力(x)单调性，得到//(可少(%)=0,由此可得结论.

(1)

由题意得：f'(x)=--2x+a=~2x~+ax+1,

XX

/(x)在(0,e］上不是单调函数，.•.广(力在(0,e］上必存在变号零点；

令g(X)=—2x2+or+1,

2

当r(X)在(0,e］有且仅有一个变号零点时，g(o).g(e)=-2e+fle+l<o,

解得：a<2e--；

e

A=/+8〉0

0<色v

当尸(X)在(0,e］有两个变号零点时，<4<e,不等式组无解；

g(e)<0

g(o)<o

综上所述：实数。的取值范围为1%2e-

⑵

f'(x)=--2x+a(x>0),f'M=---2x0+a,又/(毛)=111升-x；十秩,

XX0、

・••切线/方程为：＞-（1口%0-4+依0（尤-尤0），

—~2x0+a

7

即y=1---2%+4?|x+

XQ+Inx-1；

Uo)0

令/z(x)=/(x)—1---2x0+a

x+XQ+InXQ_1f

1

2(无o-尤)

1+2xx、2(%-x)x-\----

r02%

：.h(x]=--2x——+2x0=———+2(%o—(尤0—

xXQXXQl书）Jxx0X

令〃（x）=0,解得：x=x（）或x=_；＜0（舍）；

，当工£（0,毛）时，/lr（x）＞o；当X£（Xo，+oo）时，"（x）＜0；

，〃（%）在（0,%上单调递增，在（无（）,”）上单调递减，「•用（九）＜/z（xo）=O,

即〃尤)4--2x0+ax++InXQ—1,

xo

\/（X）的图象上不存在位于直线/上方的点

【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明函数图象之间的关系；本

题证明的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为所构造函数网力最值的求解问题，通过说明〃（x）V0得到

所求的函数与直线的位置关系.

19.（2023・全国•高三专题练习）/（无）=：办2+inx_（a+l）x.

（1）当。=-4时，求Ax）的单调区间与极值;

⑵当。＞o时，设go）=A0,若g（x）既有极大值又有极小值，求。的取值范围.

【答案】（D/a）的单调增区间为（0,1）,单调减区间为（1,y）；极大值为7（1）=1,无极小值;

(2)0<«<e-3.

【分析】（1）由题可得导函数，然后根据导数与函数单调性及极值关系即得;

21nx-2

（2）由题可得g'（x）=0有两个不等正根，进而可得。=有两个不等正根，然后构造函数，利用导数研究函

数的性质作出函数的大致图象利用数形结合即得.

【详解】(1)因为/(%)=:加+lnx—(Q+l)x,

当a=-4时，f(x)=-2x2+Inx+3x,x>0,

-4/+3)+1-(4x+l)(x-l)

所以f\x)=-4x+-+3=

xX

由r(x)>o,得o<x<i,由r(尤)<0,得x>i,

所以,⑺的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8)；

所以Ax)在x=l处有极大值，极大值为了⑴=1,无极小值；

(2)因为g(元)=—―=—at+^^-(a+l),x>0,

x2x

所以g\x)=-a+匕"=-+2=21nx,则gf(x)有两个变号零点，

2x2x

由g'(%)=°,可得ox?+2-21n%=0,

所以。=2皿：-2有两个不等正根，

X

、“、21nx-2介制〃(x)-2"2x(21nx-2)_2(3-21nx)

设/z(x)=——,x>0,贝⑺一(巧2一丁,

由%x)>0,可得0<x<el，函数九(力单调递增，由〃(x)<0,可得x>£，函数力⑺单调递减，

f3\

所以〃(x)在％=/处有极大值，h”=厂，

I7

又/z(e)=0,0<x<e时〃(尤)<0；彳>［时，Mx)>0,

作出函数Mx)的大致图象,

由图象可知要使“二丁有两个不等正根,则0<“<e-3,

即a的取值范围为0<”L.

【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从/⑴中分离

参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等

式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函

数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范

围并在一起，即可为所求参数的范围.

20.（2023春•高三课时练习）已知aeR,函数〃x）=£+lnx-l.求在区间（0,e］上的最小值.

【答案】答案见解析.

【分析】先求导，再对。分三种情况讨论，结合函数的单调性求出函数的最小值.

【详解】因为〃尤）=y+lnx—l,所以尸（%）=呼，xe（O,e］.

XX

令（（尤）=0得AO.

①若处0,则/'（x）>0,〃x）在区间（0,e］上单调递增，此时函数Ax）无最小值.

②若0<a<e,则当xG（O,a）时，/'（尤）<0,函数〃x）在区间（0,。）上单调递减；

当xW（a,e］时,f'（x）>0,函数/（x）在区间（a,e］上单调递增，所以当x=a时，函数/⑴取得最小值Ina.

③若定e,则当xe（O,e］时，/（x）<0,函数/⑺在区间（0,e］卜.单调递减，所以当x=e时，函数/⑴取得最小值，

综上可知，当心0时，函数,⑺在区间（0,e］上无最小值；

当0<a<e时，函数/（x）在区间（0,e］上的最小值为Ina；

当a>e时，函数/⑺在区间（0,e］上的最小值为

21.（2022・高三课时练习）如图①是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为厂分米的半圆，及矩形ABC。组

成，其中的长为。分米，如图②所示.为了美观，要求心方2r.己知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分

米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分（箱体）的制作费用为每平方分米1百元，上半

部分（箱盖）制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元.

①