2023-2024学年安徽省阜阳市高二年级上册1月学情检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省阜阳市高二上册1月学情检测数学

模拟试题

一、单选题

1.过点4-2,2)和点8(4,-1)的直线在了上的截距为()

A.1B.2C.-1D.-2

【正确答案】A

【分析】求出直线Z8的方程，解出直线在)上的截距

【详解】过点4-2,2)和点8(4,7)的直线方程为二=-1二即y=-Lx+\,

x-4-2-42

故直线在V上的截距为1,

故选：A

2.在等差数列｛4,｝中，若4=6,%=1，则％=()

A.8B.9C.10D.11

【正确答案】B

【分析】根据等差数列通项公式列方程组即可求得.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为&。4=。|+34=6,。9=%+&/=1,解得.卬=9

故选：B

3.抛物线y=2pf的焦点坐标(0,5)，则P=()

A.-B.-C.1D.2

42

【正确答案】D

【分析】由抛物线的标准方程求焦点坐标，可解得答案.

【详解】歹=2px?.二/=二乂.,.「=%■,解得：p=2.

2p8P16

故选：D

4.已知/(%)=tanx,则/(令=()

14

A.-BC3D.4

4-1

【正确答案】C

【分析】由题意可知，/(x)=tanx=—,利用导数的四则运算即可求出/'(x),代入数

COSX

值即可求得结果.

【详解】因为/(x)=tanx,所以/口)=他!!4=(吗，=四立要上=—!一，所以

cosxcosXcosX

故选：C.

5.《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的

题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，则最大一份与最小一份

和为()

A.30B.35C.40D.60

【正确答案】C

【分析】设5人所得面包个数依次为％,出外，4吗，由等差数列的前〃项和公式可得6+%•

【详解】设5人所得面包个数依次为％，生,4,4,《，它们成等差数列，由题意

5(0+/)

at+a2+a}+a4+as=-------—=100,%+牝=40,

故选：C.

1_1_Y

6.函数的增区间是()

1-x

A.s一¥),(*,+wB.(-¥，*)

C.(—72,1),(l,+oo)D.,(-^,1),(l,+oo)

【正确答案】D

【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性，注意原函数的定义域.

【详解】由题意可知：函数/(》)=手・"4,的定义域为{x|xwl},

1—X

______-(4x+3)(l-x)e*+(l+x)e-2(2f-1”以

*/W=W=(J.，

令八x)>0,则J"一7°,解得x>@或x<-变，且x",

1-xwO22

二函数/(x)的增区间是(-co,-与)吟,D，(l,+功,

故选：D.

7.乒乓球(TableTennis),被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育比赛项目.假

设一个质量合格的乒乓球，从1m高的高度自由下落，每次下落后反弹的高度都是原来高度

3

的“则至少经过几次着地后，它经过的路程能超过5。。.（）

（参考数据：log34=1.262,log43«0.792）

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】C

【分析】第一次着地后，小球每次着地经过的路程成等比数列，求和得总路程，建立不等式,

两边取对数得〃的范围.

【详解】经过〃次着地后,经过的路程

3

s=l+2x-+2xf->|++MJL+24=7一6图>5

4⑷1.2

4

,31111

.七）

<-,n>l+log3-=log3-=-

43,3J4log|2-l-log430208,

Z4

:.n>5.

故选：C

8.已知圆C:x2+j?=4,点p在圆C上,点4（0,4）,直线/P与圆C的另一交点为0,且

。为/尸的中点，则直线/P的斜率为（）

A.±-B.±-C.D.士^1

-15995

【正确答案】D

【分析】先设出点户的坐标，利用中点坐标表示点。的坐标，分别将P,。代入到圆的方程,

可以解出P,。坐标，再利用两点求斜率即可得出结果.

【详解】设点尸的坐标为（为,%）,因为。是4P中点，所以2M）,

X；+N：=4

又因为产,。均在圆上，所以代入得＜或

（罗+必和=4I

"="2

岳

%=一

2即P（理,-；）,°（半小或正乎,=）,°（一坐/）,

J_

%=一

2

7171

,4+23岳,4+23亚

则直线AP的斜率心=叵近~丁或加=♦姮+叵=—'

故选：D

二、多选题

9.已知数列｛%｝,其前〃项和为S..则下列结论正确的是()

A.若数列SJ是等差数列，贝!|｛。,,+。田｝是等差数列

B.若数列S,,｝是等比数列，则｛%+4"是等比数列

C.若数列｛4｝是等差数列，则&，Sn-Sk,S“-S”是等差数列

D.若数列｛4｝是等比数列，则S&,S2k-Sk,S3*-%是等比数列

【正确答案】AC

【分析】根据等差数列的定义等差中项的性质判断AC,结合等比数列的定义举例说明判断

BD.

【详解】对于A,若数列｛/｝是等差数列，设公差为d,则a„+l+an+2-(an+%)=an+2-an=2d

为常数，因此｛。"+。向｝是等差数列，A正确；

对于C,Sk=G|+a2++ak,Slk—Sk=^+]+at+2+L+a2t,

S”-S*=a2*+i+&*+2+L+aj*，

显然有4+a2m=24+i，a2+a2M=2aM,ak+aik=2a,

所以工+(S*F)=2(邑*一&)，即Sk,S”-既，S3k-S2k是等差数列，C正确；

对于B,a„=(-1)",则｛%｝是等比数列，但%+%*=0,｛4+%”｝不是等比数歹U,B错误,

对于D,当人=2,其=。，S4-S2-0,S6-S4=0,则S«,52A.-Sk,羸-之不

是等比数列，D错误.

故选：AC.

10.下列不等式成立的是()

A.sinx<xB.ev>ex

I-1—X

C.lnx<VxD.Inx>----

x

【正确答案】BC

【分析】对于A,取x=0进行验证；

对于B,令"x)=e=ex,xeR,利用导数求出/⑴的最小值即可判断；

对于C,令〃(x)=lnx-4,x>0,利用导数求出抑x)的最大值即可判断；

对于D,令g(x)=lnx—3,利用导数得g(x)在(0,+8)上单调递增，又g(l)=0,从而得当

X

X21时，Inx》上三，即可判断.

X

【详解】解：对于A,当x=0时，sinx=0,此时sinx=x,故错误；

对于B,令/(x)=e*-ex,xeR,则有/<x)=e*-e,令f'(x)=0,得x=l,

当x<l时，f'(x)<0,/(x)单调递减;当x>l时,f'(x)>0,/(x)单调递增；

所以f(x)mM=/(l)=e-e=0,

即/(x)N0,所以e*—exNO，

所以e'2ex，故正确：

对于C,令〃(x)=lnx-4,x>0,

则l(x)」--厂=与五

X2Vx2x

所以当0<x<4时，l(x)>0,〃(x)单调递增;当x>4时，h'(x)<0,〃(x)单调递减,

所以“(x)max=4(4)=ln4-2=ln4-lne2<o,

所以lnx-4<0,BPInx<\[x»故正确；

l-x1

对于D,令g(x)=lnR-----=Inx——+l,x>0,

xx

所以g'(x)=-+4>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增,

XX

又g⑴=0-1+1=0,

所以当时，g(x)>0,即Inx》上三，故错误.

X

故选：BC.

11.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若首项4=1,且满足。向+%=3-2",则下列说法正确

的是()

A.。“+叫是等比数列B.0+2"｝是等比数列

C.a.=2"+(-l)"D.S“=2"i+(T?-5

【正确答案】ACD

【分析】根据等比数列的定义结合条件可判断AC,根据数列的前3项可判断B,根据等比

数列的求和公式可判断D.

【详解】因为4=1,且满足。向+&=32,

所以g=5,+

所以"z+a向=黑1=2,又%+%=6,

所以｛。用+4｝是首项为6,公比为2的等比数列，故A正确；

由凡+1+。,=3-2"，％=1,可得。2=5,%=7，

所以“I+2=3,4+2。=9,为+2,=15,(q+2乂%+2，片区+2°)~，

所以｛%+2"｝不是等比数列，故B错误；

由凡T+4“=3-2"，可得%-2e=2"-2"),又q-21-l，

所以口,-2"｝是首项为T,公比为-1的等比数列，

所以%-2"=(-1)",即勺=2"+(-1)",故C正确；

因为勺=2"+(_])",

所以S,=2'+22++2-+[-1+1++(-1)"]

=上空+—(-厂=2叫LD士,故D正确.

1-21+12

故选：ACD.

12.双曲线《一己=1的左、右焦点分别是6,入，PG。/。)是双曲线第一象限上的一点(不

927

包括轴上的点)，且pd：2G5，/月”的角平分线交x轴于点M(机,0),下列说法正确的有

()

A.G的轨迹是双曲线的一部分B.GO的最小值是1

C.晨■取值范围是(1,3)D.叽=9

【正确答案】ACD

【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知0G的长度的范围，利用内角

平分线定理与双曲线定义可得警取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得

MF2

叫=9.

【详解】设G(xj),又尸(%,%),((-6,0),玛(6,0),PG=2Go\

x=3x

.1.(x-x0,^-70)=(-2x,-2y),即｛“；,又口毛,比)是双曲线上一点，

1%=3.

.•.幽__包匚=[,即*2一片故A正确；

9273

•••G的轨迹是双曲线/一]=1">0/>0)的一部分，实半轴长为1,故B错

误；

\MFt\_\PFt\6+^F2|_6

根据内角平分线定理可知,

\MF2\~\PF2\~\PF2\一陶|

4

又忸玛|G(3,+8),•.耐一141，3),故C正确:

同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由需=解可知,m+62玉）+3

6—m2%-3

/.mx0=9,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.设曲线y=*-x-l在点(0,0)处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则。=

【正确答案】3

【分析】根据导数的几何意义结合条件即得.

【详解】由y=e"-x-l,可得y=ae"-l,

所以y'L=o="l,

由题意知，(a-l>

所以a=3.

故3.

14.双曲线Y+仁=1的离心率ee(l,2),则实数人的取值范围是

4k

【正确答案】(72,0)

【分析】由已知可得〃2=4,/=—42=4一幺6=£=巫三，再由ee(l,2),解不等式可得

a2

发的取值范围

【详解】双曲线方程可变形为《-二=1,则/=4万=北c2=4T,e=£=3^1.

4-ka2

又因为ee(l,2),即i(更三<2,解得-12<%<0.

2

故(-12,0)

此题考查由双曲线的离心率的范围求参数的取值范围，属于基础题

15.设等比数列应｝的前〃项积为若7；=243,则卅2%=.

【正确答案】27

【分析】根据等比数列的性质可得。3=3,进而%。2%=媛，即得.

【详解】设｛〃“｝的公比为夕，因为4=4的。3aM=d=243,

所以=3,ata2a6=%q-丫=a；=27.

故27.

16.设曲线y=d(x20),直线，=0及x=/(z>0)围成封闭图形的面积为S。)，贝IJ

S'(t)=.

【正确答案】?(/>0)

【分析】利用定积分可得S"),在对函数S(f)求导即可求解.

【详解】因为曲线y=Y(x>0),直线，=0及x=f(?>0)围成封闭图形的面积为S(。为

S(f)=卜生

所以S")=R

故答案为/(f>0)

四、解答题

17.已知椭圆的焦点为片(-2,0),居(2,0),且该椭圆过点P(2,-JI).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆上的点〃满足吟，/鸣，求点”的坐标.

22

【正确答案】(1)二+2=1

84

(2)M(0,+2)

【分析】(1)利用两点间距离公式求得尸到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义

得到。的值，结合c的值，利用。也c的平方关系求得从的值，再结合焦点位置，写出椭圆

的标准方程.

(2)利用向量的数量积二0,求得点M*。，")满足的条件，再结合椭圆的方程，

解得吃,为的值.

【详解】(1)设椭圆的长半轴长为。，短半轴长为6,半焦距为c,

因为|3|=^[2-(-2)]2+[(-\^)-0]2=旗=3]，

归闻=，(2-2)2+[(-6-0『=也,

所以|P耳|+|P周=4痣=2,即承=2五，

又因为c=2,所以〃=02-°2=4，

又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上,

22

所以该椭圆的标准方程为二十=1.

84

(2)设”(%,%),

烟=(-2-x0,-y0),MF2=(2-x0,-y0)

因为加，证，所以加万欣10,即/2+%2=4,

又苣+竺=1,所以%2=4,即%=±2,4=0.

84

所以〃(0,±2)

18.已知函数屈x)=x3-然2-X,aeR,且/'⑴=0.

⑴求曲线〉=.f(x)在点(7处的切线方程；

(2)求函数/(x)在区间［0,3］上的最大值.

【正确答案】(l)y=4x+3

⑵15

【分析】(1)求导，利用/'(1)=0可求出。，进而可求出根据点斜式可得切

线方程；

(2)根据导函数研究函数的单调性，根据单调性可得最大值.

【详解】(1)由/(x)=x3-or?-x得/''(》)=-2ax-l,

.•/⑴=3-2。-1=0,解得a=I

:.f(x)=x3-x2-x,f\x)=3>jC-2x-\

/(-l)=-l-l+l=-l,/,(-l)=3+2-l=4

曲线》=/(x)在点(-ij(-i))处的切线方程为N+1=4(X+1),

即y=4x+3；

(2)由(1),令/'(x)>0得x<-；或x>l,令/'*)<0得

.•・函数〃x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

X/(0)=0,/(3)=35-32-3=15,

函数数x)在区间［0,3］上的最大值为/(3)=15

19.设S”是等差数列｛%｝的前〃项和，

（1）证明：数列也,｝是等差数列;

⑵当邑=15,&=91,求数列｛2"也｝的前〃项和7；.

【正确答案】（1）证明见解析;

(2)[=6+(2〃-3>2"”.

【分析】（1）设等差数列｛“,｝的首项为可，公差为d,写出其前〃项和得到"，然后根据等

差数列的定义即得;

（2）由$=7,&=75,求得4”，进而得到〃,，然后利用错位相减法即得.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的首项为卬，公差为d,

所以邑=〃4+若

Cn_1

贝!Ib=—=a(+—r-d,

nn2

所以黑-b“=；d,b,=at,

所以数列｛"｝是以q为首项，以£为公差的等差数列;

(2)由S3=15,$7=91,

得3q+3"=15,7%+21"=91,

解得q=l,d=4,

所以数列｛々｝是以1为首项，以2为公差的等差数列,

所以2-.ft,,=(2M-1)-2",

所以Z,=1X2'+3X22+5X23++(2”-1>2”,

27；,=1X22+3X2?+5X24++(2n-l>2"+

所以+2"卜(2"-1)2",

=2+平二；」)-(2"-1>2"'=-6-p”-3)2"i

所以7；=6+(2〃-3)-2"M.

20.在平面直角坐标系xQr中，已知抛物线C：/=2px(p>0)与直线/：y=x-b(b>0)

相交于4,8两点.

(1)若以48为直径的圆过原点，证明：b=2p；

(2)若线段48中点的横坐标为4,且抛物线C的焦点到直线/的距离为行，求P，分的值.

【正确答案】(1)证明见解析；

(2)p=g/=g.

【分析】(1)设/(国,必),8(々,%)，直线方程与抛物线方程联立消去x,由韦达定理得

M+必，必为，代入坛=T可证得结论；

(2)由占+x2=必+%+加=8得p,b的一个方程，再由点到直线距离公式得p,6的一个方程,

联立解之可得.

【详解】⑴设洋演,1),5(孙力)，

由<:得/一2即一2Pb=°，则凹+%=2p，yxy2=-2pb,

[y=x-h

以为直径的圆过原点，则。4。8斜率显然存在，因此自//g=T，

所以2"四=一],即玉w+y[y2=0,

XlX2

22

所以占々+%为=(必+b)(y2+b)+y,y2=2y,y2+b(yt+y2)+b=-4pb+2pb+b=0,

又b>。,所以b=2p；

(2)由(1)XI+*2=%+%+2b=2p+2b=8,

,,E_Q_b

抛物线的焦点坐标为pg,0),因此工=&，即|p-2目=4,

6一

4

2p4-26=83

由加-2*4'又八0,解得‘

8.

3

21.如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥

P—ABCD,四边形Z8CO是正方形，点。为正方形Z5C。的中心，尸01平面43C。；下

部的形状是长方体-已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为

k{k>0）,下部主体造价与高度成正比，比例系数为4般现欲建造一个上、下总高度为12m,

（1）①若屋顶的高PO=x,请将总造价表示为x的函数；

②若屋顶侧面与底面所成二面角角为。，请将总造价表示为。的函数:

（2）选择（1）中的一个方案，求出总造价的最小值.

【正确答案】（1）见解析

(2)(24五+48,

【分析】（1）①求出S/C得出上部屋顶造价，由/4=12-x得出下部主体造价，进而得出

总造价；②由二面角的定义结合直角三角形的边角关系得出总造价；

（2）选择①：令g（x）=3必3+12-x，利用导数得出总造价的最小值；选择②：令

由导数得出总造价的最小值.

cos。V2）

【详解】（1）①由题意可知/c=,6?+62=60，0c=3应，则TC=Jx2+18.

所以S&pBc=sx6x>jx~+18—9—3dX。+9,

故上部屋顶造价为/x4x3G+9=12ky/x2+9-

因为N4=12-X,所以下部主体造价为4人（12-X）.

故总造价为y=12左，公+9+必（12-*）/«0,12）.

②如图，设8c的中点为E,连接尸£0E,则。£=3.

由于PO人平面/8CZ),则有POJ.OE；

在RtPOE中，由二面角的定义可知则NPEO=0,则有PO=3tanO,PE=--

cos，

所以上部屋顶面积为S—4s△尸BC-%,下部主体的高度为〃=12-3tan。,

cosU

.(3-sin。1..

所以仓库的总造价为y=s/+加瞅=12^-------+4川o.

(cos6)

1

1

1

1

A：c

r1

(2)选择①：总造价为y=4k(3jf+9+12-x),xe(0,12),

令g(x)=34+9+12-x，g'(x)=-73x

h"

当逑<x<12时，g'(x)>0；当0<

时，g'(x)<0.

44

即函数g(x)在0,芈上单调递减，在(芈』2］上单调递增.

故总造价取最小值为4hgf半卜240+48”.

选择②：设/