高中数学30个知识点汇总（表格制）

集合与常用逻辑用语

崎一组对象的全体.xeA,xeA元素特点：互异性、无序性、确定性

子集XEA^>X&BOAQB0QA

关系真子集xeA=>XG5,3x0eB,x0wN。月u3

集相等A=B、B=AoA=B〃个元素集合子集数2”

合

交集NCl3={x|xe4且xeB]CMNU3)=(C/)n(Q8)

后算并集A\<}B=[x\x&A,^x&B]qx4n3)=(CL，4)U(C*)

集

CA且A]G/W)="

合补集V={x|.vet7x£

能够判断真假的语句

与

原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原

常原命题：若p,则《

命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命

用命题四种逆命题：若，，则p

逻命题否命题：若―\P,则「q题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互

常为逆否的命题等价

辑逆否命题：若「q,则」夕

用

用充分条件p=>G，p是q的充分条件若命题p对应集合A,命题q对应集合B,

逻充要

语必要条件pnq,q是p的必要条件则?二>0等价于4=3,2等价于

辑条件

充要条件pOq,〃,夕互为充要条件A=B。

用

类比集合的并

语或命题p^q,有一为真即为真，夕,g均为假时才为假

逻辑

且命题p^q,p,q均为真时才为真，夕,g有一为假即为假类比集合的交

连接词

非命题-W和p为一真一假两个互为对立的命题类比集合的补

全称量词V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题

量词

存在量词3,含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题

复数

规定：z2=-1；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成

虚数单位

立。*=4k+14k+2=一产

l,i=i,i1,+3=_j（kGZ）o

形如a+加（，力eR）的数叫做复数，a叫做复数的实部，办叫做复数的虚部。

瞬艘

b手G时叫虚数、a=0,6w0时叫纯虚数。

复数相等a+bi=c+di{a,b,c,deR)Oa=c,Z>=d

共匏复数实部相等，虚部互为相反数。即二二。+加，则三=a—加。

复数

加减法(4+6。土(c+di)=(a土c)+(6±d)i,(a,b,c,deR)。

、一忖Z乘法(a+bi)(c+cii)=(ac-bd)+(be+ad}i,(a,b,c,deR)

后算

/7.、/i.\ac+bdbe-da,[.C六、

除法(a+bz)+(c+di)=「----------------yzz(c+dzW0,a,b,c,dTcR)

c+dc+d

几何复数二=a+历＜一"^应＞复平面内的点Z（a,Z＞）＜一~^应＞向量OZ

意义向量历的模叫做复数的模，|1=Jl2+/

平面向量

向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度口撇该向量的模。

重0向量长度为o,方向任意的向量。【6与蹲向量共线】

要平行向量方向相同或者相反的两个m曙向量叫做平行向量，也口哄线向量。

概

向量夹角起点放—点的两向量所解角，范围是［。,司。£）的夹角记为＜£$＞。

念

蛭<a,b>=G,bcos9叫做不在［方向上的投影。【注意：投影是数量】

重盛工2不增，存在唯一BSJ实数对（2,//），使2=忘1+4工2。若工1,工2为X,y轴上的单位

基本定理

要

正交向量，（4//）就是向量）的坐标。

法

_^表示坐标表示（向量坐标上下文理解）

则

共稣件aib（1共线u＞存在唯一实数义，Z=41（看,凹）=旗〜为）0再必=*2弘

垂直条件

理aA-ba*b=0x,v,+x2v2=0

法则Z+办的平行四边形法则、三角形法则

加法a+b=(xl+x2,yl+y2)

X-人A

平运算算律a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)与力士去否有同样的坐标表示

面

法则Z一1的三角形法则a-b=(x-x,y-y)

向减法l2l2

运算

量分解^ON-OM河=（小-£2“一加）

小）为向量，N＞0与£方向相同，

雌花=(Ar,Ay)

2＜0与0方向相反，,《=阿忖

娥

各

、"XCi»r

运算

种Mild)=(A//)t7,(A+")a=Aa+pa,

算律与姚旗有同样的坐标表示

运A(a+bi)=Aa+M)

算

喻^•b=

a-bcos<a,b>a*b-xxx2+yxy2

同二百+9，

数量主要

a»a=7,a・b<d'Z)

积运蜩|甲2+弘必|K旧+才7K+状

算

—*—•—•—•—•—♦—•-♦

a・b=b・a,(a+b)・c=t・c+b・c,与上面曦量积、数痔具有同样的坐标

算律

表示方法。

(布)i=4•(篇)=Z(6F*6)0

不等式与线性规划

(1)a>b,b>c=>a>c;两个实数的顺序关系：

(2)a>b,c>0nac>be；a>b,c<Q=>ac<be;a>b=a-b>0

(3)a>b^>a+c>b+c;a=boa-b=0

a<b<^>a-b<Q

质(4)a>b,c>dna+c>b+d;

a>b<=>-<-的充要条件是

(5)a>b>0,c>d>G=>ac>bd;ab

(6)a>b>0,neN\〃>1=>a">b"；&i>^Jbab>0Q

解一元二次不豺;实际上就是求出对应的一元二财程的实数根(如果有实数根)，再结合对应的函数的图

-7LZJ!^F

象艇其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据第的不同取值确定方帮g的大小

等式

以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集.

a+b>2y[ab(a3>0);ab<(f/^)2(abwR);<Jab

鼻2a+b2

(。力22

(a>0,b>0)-V~26>0);a+b>lab0

二元一如二元一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐标系中表示Ax+By+C=O某T厮有点组成

等式组的平面区域。_兀一次不幸C组的解集是指各个不等式解集所表不的平面区域的公共部分。

约束条件对变量x,.y的制约条件。如果是的一次式，则^^性约束条件

目标函数求解的最优问题的表达式。如果是x,y的一次式，则称线性目标献。

可行解满足线性约束条件的解(x,j)叫可行解.

可行域所有可行解组成的集合叫域

使目标级取得最大值或者最〃值的可行解叫最优解。

简单的

在线性约束条件下求线性目标蠲的最大值或者最大值的问题，

第一步画出可行域。注意区域

不含

第二步根据目标理数几何意义确定最优解。边界的虚实。

问题实际背景

第三步求出目标函数的最直

解法

含第一步设会个变量，建立约束条件和目标球。注意实际问题对变

实际背景第邙同不含实际背景的解法步黑量的限制。

算法、推理与证明

顺序结构依次执行程序框图，是一种用程序框、流

逻辑

条件结构根据条件是否成立有不同的流向程线及文字说明来表示算法的

结构

算法循环结构按照一定条件反复执行某些步骤图形。

睇

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

语句

归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。

合情推理

类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。

演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理.

推理综合法由已知导向结论的证明方法。

数学直接证明

与分析法由结论反推已知的证明方法。

证明

证明间接证明主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。

数学数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自

归纳然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n。（例如n0=1）时结论正确；然后假设当

法n=k（左eM,左2%）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

计数原理与二项式定理

完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有叫种不同的方法，在第2类方案中有I火种不

分知□法

同的方法.....在第〃类方案中有7%种不同的方法.那么完成这件事共有

计数原理

有N=叫+m2+---+mn种不同的方法.

完成一件事情，需要分成〃个步骤，做第1步有"4种不同的方法，做第2步有种不同的方

分步乘法

法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有N=叫X"&X---X%种不同的

计数原理

方法.

从n个不同元素中取出iii(in<〃)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n个不同元

排

定义素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元素中取出

列

排列7〃(〃，<〃)个元素的排列数，用符号47表示。

组

合排列数

4：=〃(〃一1)(〃一2)…(”-7〃+1)=————(7A77/GN,777K〃)，规定0!=1.

公式(〃-〃/)!

从n个不同元素中，任意取出〃/。〃<»)个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出

项

式定义7〃(W<77)个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出<77)个

定元素的组合数，用符号C：表示。

组合

理组合数m_W(W-1)--(w-w+l)m_4"

Vr„一.Vr„一.

公式"〃，！"4：

蜩C；=C：-m(111,7?GN,且7〃V〃)；C21=C,7+C；"T(m,〃eM且7〃4〃).

定理(a+b)n=C：a"+Cy~lb+-+C^an-rbr+-+(C：叫做二项式系数)

一项

通项公式T—i=X(其中04左左wN,weN*)

式ZE

C>C；C；-c；=c：1；c：+c：+c；+…+c；+…+c=2";

理系数和+1+2++1

公式C：+C；+C；+-=C；+C；+C：+-2"T；e+2C；+3C；+-.+〃C=〃2i

函数、基本初等函数I的图像与性质

本质：定义域内任何Y自变分寸应毛的函数直两函数相等只要定义域和对应法^相同即可。

解析式法、表格法、图象法。分段函数是T理数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值

表示方法

域的并缜

对定义域司/,玉,与

函数e1,%<x2,,偶蠲在定义联于

单调性是增函数。/(再)<

/(x)/(x2),坐标原点对称的区间

。上具有相反的单调性、

RM/(-V)是减函数Q/(Xj)>f(x2)

表ZF畴对豉摩的K,/(X)是本教O/(.V)=f(-x),奇蔽在定义域关于

坐标原点对称的区间

奇偶性f(x)是奇函数o/(-X)=-f(x)。偶函数图象关于

上具有相同的单调性

y轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称.

周期性对成加gx,舌瞳常数T,f(x+T)=f(x)

指数函数0<<7<1(-00,+00)单调递减，工<0时1，<1,.》>0时0<1，<1函数图象过定

班y=cf<7>1(-00,+℃)单^^增，工<0时0<>?<1,%>0时9>1点(0.1)

初等对数函数0<«<1在(0,内)单调递减，0<x<l时y>0,x>l时y<0函数图象过定

函数

y=iogflxa>l在(0,+ao)单调递增，0cx<1时y<0,x〉l时y>0点(L0)

I

寻函数a>0在在(0,内)单调递增，图象过坐标原点函数图象过定

y=xaa<0在在(0,内)单调递减点(1,1)

函数与方程、函数模型及其应用

方程/(x)=0的实数根。方程/(x)=0有实数根。函数y=/(.r)的图象与x轴有交点。函

函数3

数V=/(x)有零点•

零点

存在定理图象在［a,b］上连续不断，若/3)/(方)<0,则y=/(x)在(a,b)内存在零点。

崎把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。

阅读审题分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

函数

数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。

建模

解题步骤解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果。

解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。

导数及其应用

函数J=/(X)在点x=与处的导数/'(*)=lim""+个，~"*).

与几

何意几何/'(内)为曲线y=f(x)在点(与J(z))处的切线斜率，切发方程是

义意义y-/(*)=/'(Z)XX-N)).

C=Q(C为常数)；(/)'=n/i(〃eN・)；

05

(sinx)f=cosH(cos>：y=-sinx；

亚

(/)'=—(")'=aTna(0>(),且〃H1);

纨

Qnx)，=L(loga»=lloga。(a>0,且〃H1).Qn|x|>'=-.

XX

运算[/(X)士g(切，=f(x)士g，(x)；

[/(x)・g(切'=F(»・g(x)+/(x)・g'(x)，[Cf(x)y=cf(x)；

运算

[出[=3冬皿假3。»0),11'一g'(x)

颉

-2

]g(x)」g&)Lg(x)_g(x).

复合国财序观.】，=[/(g(x))]'=八g(x))g。).

导

单调性的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间.

数/'(x)>0/'(^)<o

研允

及极值_/'(%>)=0且/'(X)在飞附近左负(正)右正(负)的可力极小(大)值点。

函数

其［qb］上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大

应者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最“者.

用

在区间［«6］上是连续的，用分点。=z)<再<---<Xj_j<Xj<---<x*=6将区间

口力］等分成〃个小区间，在每个小区间卜口引上任取一点4(z=l,2,

修

L/a她=蚓£„/")•

如果/(X)星［ad］上的连续函数，并且有Fr(x)=/(x),则

否

^f(x)dx=F(b)-F［a}.

定积

分^{x)dx=k^f(x)dx(上为常数)；

百f[/(力士g(x)H=]：/(》只士。(於；

^f[x}dx=j：J；/(x)rfr.

区间［qb］上的连续的曲注y=/(x),和直统x=ajc=b(a^b),y=Q所围成的曲边悌形

简单

的面积S=也.

三角函数的图像与性质

y

基任意角a的终边与单位圆交于点尸(Ky)时，sine=匕cosa=K,tana=」.

X

本

同角三角.yy,sina

问sin'a+cos“a=l,----=tana。

函数关系cosa

题

诱导公式360°±a,180°±a,-a,90°±a,270°±a,"奇皆嘉限

值域周期单调区间奇偶性对称中心对称1由

K=

7T_77C_,

角增一一+2上万,一+2左牙

v=sinx2k兀22

函E奇函数(彳乃.0)k7T+—

角(xeR)7T_,3兀_72

数减一+2后万,一十

函2ATT

的_22

数y=cosx

增［一九■+左乃,左乃］TT

性22(^+|,0)x=k兀

的(xeR)

质E2k元偶级

图减［2左万,2左乃+)］

与

象y=tanx

图

与但(乃771K俘。)

nRk7V增|—+左乃,一+ATT奇函数无

象(X。左乃+一)(22)

性2

质

上下平移y=/(x)图象平移可得y=/(x)+A■图象，左＞0向上，上＜0向下。

平胸奂

左^¥移y=/(.r)图象平移同得y=f(x+。)图象，。＞0向左，。＜0向右。

图

象X轴方向V=/(X)图象各，融横坐标变为原来co倍得v=f(-.v)的"。

变伸凝换CO

换y轴方向v=/(.V)图象各，题坐磔为原来的A倍得y="(x)的图氨

中心对称V=/(.t)图象关于点(ab)对称图象的解析式是y=2b-f(2a-x)

对履换

轴对称y=f(x)图象关于直线x=a对称图象的解析式是y=f(2a-x).

三角恒等变换与解三角形

和差角公式倍角公式

.r2tana

IBSsin(a±P)sin2a=---------—

sin2a=2sinacosa

=sinacos/?±cosasin(31+tan'a

_l-tan*a

cosla=cos2a-sin2acos2a=---------—

cos(a±/5)1+taiTa

22(

有=cosacosPTsinasin(3=2cosa-l=l-2sin.21-cos2a

sina=------------

2

/.-tana±tany5

tan(a±£)=--------------—r2tana21+cos2a

正切1千tanatan0tan2a=--------—cosa=------------

1—tan"a2

。二b=c射影定理：

S3

IBSsinAsin5sinC0a=bcosC^ccosB

夕偏圆

瓢a=22?sinJs6=2RsinB,c=2RsinC(Rb=acosC^ccosA

事三角形两边和TT?角、三角形两角与一边.c=acosB+bcosA

—IB222222222

a=b^-c-2bccosA,b=a+c-2accosB;c=a-kb-labcosC.

栽.b^+c2-^(6+c)2-a21工

研cosA=---------------=-------------------1等，

2bc2bc

翘两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）.三边.

角

亚。

恒S=^-ahn=^-bhh=-ch.=~sinC=­6csin^1=-drcsin5

面积也

等222222

俎导出

夸S=^£(太夕Hg圆^S)；S=L(o+b+c>・(，•内切园

俎

换4R2

把要求解的量归入到可解三角形中.在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐

与三T〒想

次把求解目标归入到一个可解三角形中.

解

仰

视浅在水平浅以上时，在视线所在的垂直平面内，视浅与水平线所成的角.

角角

俯

形视爱在水程以下时，在螃所在的垂直平面内，视注与水残即斤成的角.

实际角

方

常用术语方向角一股是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到

向

目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30。）.

角

方

位某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.

角

等差数列、等比数列

—按照一定的次屏既！1的一列数.分有夯、无穷、增值、递减、摆动.京朝列等.

T

通项公式数列｛4｝中的项用an=/（n）

数列an='

㈤}§"-S…nNZ

前77Sn=al+a2+'"+an

累加去%+1=4+/(”)型

简单

累乘法%+i=aJ⑺型解决递推数列问麓的基

的速

数本思想是"转化"，即转

转化法%+i-p4+gPtxQLqxO)=智一\+q

列化为两类基本数列-一等

列解PP

ca会［列.等比数列求解.

法丽%+i=n+d(c=0,LdH0)=a+2=c(a„+2).

等n+1

系数法比较系数得出2,转化为等行列.

差

满足a*”一4=d（常数），d>0递增、d<0递减、d=0常数数列.

数

列等差通项。刑+0/1=%+。夕="+〃=「+4。

/=%+(〃-IX=%+(〃—加附

等数列俎%+q=2ap=?w+〃=2p不为0)

比&｝

前〃项

数…”丁“丁SM，S%-S„,S^-s*…为等尊翅.

列

海足a〃+i：an=q（q工0的常数）,单调性臼q的正负，q的范围确定.

通项_一W-1一一界-用4册=Q/q=加+〃=p+q，

等比an=，q=a„g

俎aman=〃；=?w+〃=2p(公比不为1)

数列

%(>/)_Z_ag0.i

前〃项1-g1-q…公比和于一1时，

s“=,

S«S2m-s”3m-s*…照例列.

nax,q=\.

注：表格中风2P4均为正整数

数列求和及其数列的简单应用