2024年双曲线高二数学寒假练习

第04讲双曲线

知识点1双曲线的定义言【知识梳理】

把平面内与两个定点尸1,尸2的距倍_______，于|尸/2|)的点的轨迹叫做双曲线.这

两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

注：1、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:P^{M\\\MFl\-\MF21|=2a,O<2a<|耳工|}.常数要小于两个定点的距离.

2、对双曲线定义中限制条件的理解

⑴当IIMFiLIM尸2||=2“>四尸2|时，”的轨迹不存在.

⑵当一|Mb2ll=2a=|尸建2|时，M的轨迹是分别以耳，三为端点的两条射线.

⑶当IIMF1I—|Mb2||=0,即尸2|时，M的轨迹是线段FiB的垂直平分线.

(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支.具体是哪一支，取决于1班1

与1"1的大小.

①若|MF,\>\MF21,则I州I—Ig|〉0,点〃的轨迹是靠近定点F2的那一支;

②若|MFX|<|MF?|,则|MF。ITA/月|>0,点M的轨迹是靠近定点耳的那一支.

知识点2双曲线的标准方程及简单几何性质

y2x2

1砂一户=1

标准方程a

（«>0,方>0）（a>0,b>0）

图形

焦点■l（—c,0）,1z（c,0）耳(10,­°),尸2(。，c)

性质焦距—l=2c

范围xW—〃或x^a,yWRyW-a或

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点

顶点A］（-a,0）,A，4,。）A1（0,­a）,。2（°，〃）

实轴：线段逛上，长：2a；

轴

虚轴：线段坨为，长：2b；

半实轴长：a,半虚轴长：b

离心率e=，(L+8)

ba

渐近线产土孑尸土讲

注：(1)在双曲线的标准方程中，看f项与V项的系数的正负：若X2项的系数为正，则焦点在X轴上；若

产项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.

(2)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.

(3)与双曲线^一本=1(。>0，6>0)有共同渐近线的方程可表示为a一l

(4)双曲线的焦点到其渐近线的距离为反

(5)双曲线与椭圆的标准方程可统一为4/+8产=1的形式，当A>0,B>0,44B时为椭圆，当A8<0

时为双曲线.

知识点3双曲线的焦点三角形

双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义

和正弦定理、余弦定理.

2

X丫2

以双曲线=一3=1(。〉0］〉0)上一点尸(xo,yo)UoWO)和焦点Fi(-c,0),入伍,。)为顶点的△「尸1尸2

a"b

中，若/尸IPF2=0,则

⑴双曲线的定义：||P耳|-|相||=2a

22

⑵余弦定理：|耳工『=|PFi|+|PF2|-2|PFI||PF2|-COS0.

(3)面积公式：SAPFIF2=；|PgIIP尸2卜sin0,

重要结论：SAPFIF2=---万

C7

tan—

2

推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1F+|PF2|2-2|PF1||PF2卜COS0得

由三角形的面积公式可得

SAPFIF2=—IP^||PF^|sin0

2-

2

-•———・sin8=/‘in"=已22b

21-cos01-cos02sin^e

tan一

22

知识点4等轴双曲线和共朝双曲线

1.等轴双曲线

(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为5—摄=1或营一\=1(。>0).

(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y=±x,离心率e=dl

(3)等轴双曲线的方程=入，

2.共甄双曲线

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共扼双曲线.其性质如下：

(1)有相同的渐近线；

(2)有相同的焦距；

(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.

知识点5直线与双曲线的位置关系

1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax^+bx+c^的形式，在“W0的情况下考察

方程的判别式.

(1)/>0时，直线与双曲线有两仝不同的公共点.

(2)/=0时，直线与双曲线只有二个公共点.

(3)/<0时，直线与双曲线没直公共点.

当。=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.

注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.

2、弦长公式

直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于4>i，%),5(%，%)两点，则

(左为直线斜率)

3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点,则弦长|A5|=空.

考Qx【考点剖析】程

22

1.(2023春・河北邯郸・高二校考阶段练习)已知双曲线二-匕=1的一个焦点是(0,2),则实数，"的值是()

m3m

A.1B.-1C.—叵D.叵

55

【答案】B

【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由片+〃=C2计算即可.

【详解】由焦点坐标，知焦点在y轴上，所以

22

可得双曲线的标准方程为W——-=1,

-3m-m

由。2+》2=/可得—僧—3机=4,可得机=—1.

故选:B.

22

2.（2023春・北京丰台•高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线过点（④，指），且离心率为立,

则该双曲线的标准方程为（）

A.x2-y2=1B.x2-^=l

3

C.y2-x2=lD.=1

'24

【答案】C

【分析】将点（血，6）代入得出。，6关系，由离心率得出关系，结合双曲线关系式即可求解.

【详解】将（3闷代入双曲线标准方程得，=1,又/=，=2,c2=a2+b2,联立解得片=1万=1,

故双曲线的标准方程为V-/=1.

故选：C

22

3.（2023春•重庆沙坪坝•高二重庆一中校考期中）和椭圆上+匕=1有相同焦点的等轴双曲线方程为（）

95

V,2

A.B.=1

22V2后

C.D-标啧=1

44

【答案】A

【分析】求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可.

22

【详解】椭圆土+乙=1,《=9为；=5,则02=〃2一牙=4,可得。=2,

95

22

设等轴双曲线方程为二-与=1,其中a=6,

ab

可得〃+/=4,解得〃="=2

22

所求的双曲线方程为土-匕=1.

22

故选：A

4.（2023春•江苏连云港•高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2,焦点在y轴

上，且焦点到渐近线的距离为直，则双曲线的标准方程是（）

2222

A./一匕=]B.y--—=\C.---y2=1D.--X2=1

222-2

【答案】B

【分析】根据双曲线定点的定义，求得。，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建

立方程，可得答案.

【详解】由题意得2a=2,即。=1,设双曲线的方程为丫2一1=13＞0）,

焦点F（0,c）到其渐近线的距离为4=-j===b=42,

22

双曲线方程为V=1,综上，双曲线的方程为/一q_=L

故选：B.

5.（2023春•江苏南通・高二统考期中）已知双曲线C的焦点为片卜若,0）,乙（6,0）,点尸在双曲线C上,

满足尸耳，耳耳，尸耳=4,则双曲线C的标准方程为（）

丫222

A.——丁=1B.尤2上=1c=iD.三一匕=1

44-f423

【答案】B

c=^/5

【分析】由题意可知%44,求解即可

c23=a2+b2

c=y/5

22

|^|=-=4

【详解】由题意可知双曲线方程为会-方=1（。＞0,6＞0）且＜2

a

C2=〃2+62

解得=1，

b=2

2

所以双曲线。的标准方程为炉—匕=1,

4

故选：B

22

6.（2023•全国•高二专题练习）已知双曲线C：］一方=1（。＞0）的左、右焦点分别为白，总，过点死且

斜率为由的直线/交双曲线的右支于A,B两点，若△4耳3的周长为72,则双曲线C的方程为（）

A.片-$=1B.£-片=1C.亡=1D.x2-^=l

36510482

【答案】C

【分析】设直线/的方程为丁=百［-岛），联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到|AB|=16a,然后

利用双曲线的定义得至“筋|+|砥|=20a,根据的周长为72列方程，解得。=2即可得到双曲线方程.

【详解】由题知月（一&，。），耳（&,0）,

所以直线/为y=6（X-氐），设A。,％）,巩工2，%），

（22

三-上7=1

222

由，。2”,x-6-j3ax+1la=0,则石+%=6百a,xtx2=1lo,

y=石卜-6。）

所以欠8|=斤'（玉+々）2-4平2=2川08°2-44片=16a，因为|前|=|然"2。，忸耳|=忸局+2a,

所以|翅|+|即|=|陷|+|%|+上=|AB|+4a=20a,

因为△然2的周长为72,所以|州|+怛耳|+|AB|=72,

所以20a+l6a=72,得a=2,所以双曲线方程为——=1.

48

故选：C.

考点二双曲线的焦点三角形

7.（2023春•江西上饶•高二校联考阶段练习）设尸为双曲线4=1上一点，月,B分别为双曲线的左，

169

右焦点,若I尸耳1=10,则|尸闾等于（）

A.2B.2或18C.4D.18

【答案】B

【分析】利用双曲线的定义即可求解.

【详解】根据双曲线的定义，归制-卢鹏=2。=8,即|10-|尸引=8,解得|%|=2或18,均满足

\PF2\>c-a=5-4=l.

故选：B

8.（2023春•安徽安庆・高二安庆一中校考阶段练习）己知双曲线［-丁=1的左、右焦点分别为耳、F2,点

尸在双曲线的右支上，|P4|+|尸闻=6及，。为坐标原点，”是时中点，则|。"|=（）

A.6B.20C.3&D.4a

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义和已知条件可得出关于归娟、归周的方程组，解出I尸闾的值，利用中位线的性

质可求得|。河|.

【详解】在双曲线］一产=1中，a=0,b=l,c=G，

由双曲线的定义可得|尸周-1尸工|=2日,又因为|「耳|+|尸引=6五,则|尸鸟|=2点,

因为。、"分别为片鸟、尸耳的中点，故|。闾=；忸闾=也.

故选：A.

9.（2023春•河南•高二校联考阶段练习）已知久,后分别是双曲线C:三-2=1的左、右焦点，P是C上位

44

于第一象限的一点，且尸耳尸邑=0,则的面积为（）

A.2B.4C.272D.2追

【答案】B

【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出1sliPgl，再利用三角形的面积公式计算可得答案.

【详解】因为尸耳•尸鸟=0,所以|尸£「+|尸弱「=|4月「=32,

由双曲线的定义可得归天-|尸周=%

所以21P用归用=「用2+|产入「一（「周一「阊）2,解得归耳卜卢用=8,

故△尸;隹的面积为:|尸/讣|尸词=4.

故选：B.

22

10.（2023春.吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C：一2r=1（。>0,6>0）的

ab

左、右焦点分别为耳，F2,过点F?的直线与双曲线的右支相交于A,8两点，忸周=2怛周=4|A月ABF.

的周长为10,则双曲线C的焦距为（）

A.3B.77C.D.

35

【答案】C

【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得加的值，再由余弦定理列式可得结果.

【详解】设|例|=%,\BF^=2m,忸周=4加，

由双曲线的定义知：IMHM卜忸周一忸闾=2a=2数,

|AF^=3m,a=m,

:・有力+2根+3%+4相=10,解得根=1,

•.,在・A4耳和“8耳心中，cosZFlF2A+cosZFlF2B=0,

由余弦定理得4c?+1-9+4L+4—16=0,解得c=YH,可得双曲线的焦距为名包.

4c8c33

故选：C.

考点三双曲线定义的应用

22

11.(2023春•吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习)若方程」丁-上=1表示焦点在y轴上

4-m1+m

的双曲线，则实数根的取值范围为()

A.(―co,—2)B.(―2,—1)

C.(-2,2)D.(—1,1)

【答案】A

«尤2f—1—ZTt>0

【分析】原方程可变形为」-----A=l,根据已知有“2C，解出即可.

-m-1m2-4[-4+m1>0

22

【详解】因为方程上方--=1表示焦点在y轴上的双曲线，

4-m1+m

—-上=1可变形为上-----J=L

4-m1+m-m-1m-4

—1—m>0m+1<0

所以有即解得mv-2.

-4+m2>0m2—4>0

故选：A.

12.(2023春•广东佛山•高二统考阶段练习)对于常数a,b,“必<0”是“方程加+外？=1对应的曲线是双

曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可

尤2+/

=1

【详解】解："2+分2=1可整理成

=1

当“b<0,则a>0且6<0或a<0且6>0,止匕时方程即依2+勿2=1表示的曲线为双曲线，则充

分性成立;

—=1]J

若方程m表示的曲线为双曲线，贝即a匕<0,则必要性成立，

故选：C

22

13.（2023・四川南充•统考三模）设。€（0,2兀），贝『，方程二+3—=1表示双曲线，，的必要不充分条件为（）

34sin6

A.6^G（0,7i）B.。w

C.匹卜普）D.96

【答案】B

22

【分析】求出方程工+-^=1表示双曲线的必要不充分条件e的范围可得答案.

34sin8

22

【详解】由。武0,2兀），方程二+二^=1表示双曲线，

34sin8

则sin<9<0,所以。£（兀,2兀）,

22

根据选项，“方程上+^^=1表示双曲线”的必要不充分条件为B.

34sin6（

故选：B.

22

14.（2023春・江苏扬州•高二扬州中学校考阶段练习）已知4（0,4）,双曲线?一三=1的左、右焦点分别为

久，与，点尸是双曲线右支上一点，则|%|+|尸耳|的最小值为（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理|上4|+|尸居利用三角形三边关系，可

得答案.

22

【详解】由双曲线土一2=1,贝|4=44=5,即/=/+/=9,且耳（-3,0）,乙（3,0）,

45

由题意，作图如下：

\P^+\PF\=\P^+2a+\PF^>\AF^\+2ra=A/32+42+4=9,当且仅当AR区共线时，等号成立.

故选：C.

22

15.（2023•全国•高二专题练习）已知双曲线C：A-,=1的下焦点为尸，43,7）,尸是双曲线C上支上的

动点,则|尸尸|-|到的最小值是（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】D

【分析】根据双曲线定义得「司-|啊=4+忸£|-|上4|,则利用三角形任意两边之差小于第三边求出

|尸耳|-1丛I的最小值即为平周.

【详解】由题意得双曲线焦点在y轴上，a2=4,b2=5,C2=a2+b2=9,

所以下焦点“。,-3）,设上焦点为耳，则耳（0,3）,

根据双曲线定义：||尸尸1-1尸甲=2a=4,尸在上支，娟=2a=4

\PF\=4+\PF1\,|PF|-|B4j=4+|P^|,

在△心人中两边之差小于第三边，.•.|「制-|斜2-|A^|,

|A^|=7（3-0）2+（7-3）2=5,

.-.|PF|-|R4|>4-5=-l.

故选：D.

考点四双曲线的轨迹方程

16.（2023•四川•高二统考）已知y轴上两点耳（0,-5）,耳（0,5）,则平面内到这两点距离之差的绝对值为8

的动点的轨迹方程为（）

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.

【详解】点片（0,-5）,耳（0,5）,令尸为轨迹上任意点，则有||产用一|「工||=8<10=|4二

因此动点尸的轨迹是以耳（0,-5）,耳（0,5）为焦点，实轴长为8的双曲线，

即双曲线的实半轴长。=4,而半焦距c=5,则虚半轴长b=后京=3,

22

所以所求轨迹方程为匕-'=1.

169

故选：B

17.（2023春•辽宁鞍山•高二校联考阶段练习）已知尸是圆耳：（x+3y+y2=i6上的一动点，点区（3,0）,线

段PK的垂直平分线交直线P片于点Q,则。点的轨迹方程为（）

'/A

B/9

D.-----------------1

49

2222

C.上一匕=1D.--^=l(x>0)

4545V7

【答案】C

【分析】由题意有|。?=|。闾，从而有耳HOKRP娟=4,根据双曲线的定义得点。的轨迹为是以尸人

仍为焦点的双曲线.再写出其方程即可.

【详解】如图所示:

•••尸是圆月上一动点，点B的坐标为（3,0）,线段尸耳的垂直平分线交直线尸片于点Q,

.•.依斗=依阊，|依耳|一|。闻=|。耳曰。尸|=归周，

•••尸是圆月上一动点，.」所|=4,.」|。胤一|。司=4,

.•.丹（3,0）,£（—3,0）,国闾=6>4,

•••点。的轨迹为以入、八为焦点的双曲线，且。=2,c=3,得b=#,

点。的轨迹方程为片-£=1.

45

故选：C.

18.（2023春•陕西渭南•高二期末）一动圆P过定点M（T,0）,且与已知圆N：+V=16相切，则动

圆圆心P的轨迹方程是（）

Af丁

A.——+—=1B.1

412412

/一

c.匚JiD.----------------1

412412

【答案】C

【分析】由两圆相切分析可知|PM-PN|=4,符合双曲线的定义，可得2a=4,2c=8,根据双曲线中a,

b,c的关系，即可求出动圆圆心尸的轨迹方程.

【详解】解：已知圆N：（》一4）2+产=16圆心双（4,0）,半径为4,

动圆圆心为尸，半径为厂，

当两圆外切时：PM=r,PN=r+4,所以PAf-PN=-4；

当两圆内切时：PM=r,PN=r-4,所以PM-PN=4；

即|R0-PN|=4,表示动点尸到两定点的距离之差为常数4,符合双曲线的定义，

所以。在以M、N为焦点的双曲线上，且为=4,2c=8,

b=yjc2—a2=J16-4=2c，

22

所以动圆圆心P的轨迹方程为：—-2-=1,

412

故选：C.

19.（2023・全国•高二专题练习）已知两圆C］：（x+4y+y2=9,C2：（x-4）2+y2=9,动圆C与圆G外切，且和

圆cZ内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为（）

【答案】D

【分析】通过动圆C与圆C1外切，且和圆C,内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程.

【详解】如图，

设动圆C的半径为R,贝»CG|=3+R,|CCz|=R-3,

则|CG|-|CC2卜6<8=|CC|,

所以动圆圆心c的轨迹是以£,G为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支.

因为2。=6,2。=8,

所以〃=3,C=4,/?2=02_〃2=7

22

故动圆圆心。的轨迹方程为土-匕=1（x23）.

97v7

故选：D.

考点五双曲线的离心率

(-)求双曲线的离心率

22

20.(2023春•河北唐山•高二校联考阶段练习)双曲线C:2-二=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为

ab

x-s/3y=0,则C的离心率为()

A.空B.逑C.2D.73

33

【答案】C

【分析】根据渐近线得到处=无，得到离心率.

b3

【详解】因为C的一条渐近线方程为=所以q=立，

b3

所以。的禺心率e==2.

故选：C

21.(2023春•云南昆明•高二昆明市第三中学校考阶段练习)已知双曲线C：J-/=l(a>0,%>0),过点尸(3,6)

的直线/与C相交于A2两点，且AB的中点为N(12/5),则双曲线C的离心率为()

A.2B.-C.辿D.男

252

【答案】B

【分析】由点差法得出勺=2,进而由离心率公式求解即可.

a24

【详解】设A(再,3),B(x2,y2),由AB的中点为N(12,15),则芯+%=24,%+%=30,

(22

&-与=1

由“，两式相减得：+…2),

x；£"b-

L2b2

mil%-%_♦&+%)_4b2

刻一—2~/\~~~T，

无「马矿(%+%)5a2

22

由直线AB的斜率左=1三5~-61=1,•..4竺br=l,则h勺=5:

12-35a2a24

双曲线的离心率e=£=Jl+《=3,

a\cr2

3

，双曲线c的离心率为5，

故选：B.

22

22.(2023春.黑龙江哈尔滨.高二哈九中校考阶段练习)已知双曲线C:亍-%=1(°>0,"0)的右焦点为F,

关于原点对称的两点43分别在双曲线的左、右两支上，AFFB=0,FC=2BF,且点C在双曲线上，则双

曲线的离心率为()

2A/3

AVnRVio«N

3223

【答案】A

【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用矩形的性质及勾股定理，结合双曲线的离心率公式即可求

解.

【详解】如图所示

设怛同=/,则但C|=2乙\BF'\=2a+t,\F'C\=2a+2t,

因为AF-EB=0，所以AF_LFB，

则四边形ATOP'是矩形,

在Rt」印匕中，忸/「+忸c「=|尸C『，即(2a+ry+(3f)2=(2a+2f)2,解得/=?,

在RtABF户中，忸尸丫+所/中即,+引+(引=船2,于是有17/=—

解得e=姮，

3

所以双曲线的离心率为姮.

3

故选：A.

22

23.(2023•全国•高二专题练习)已知双曲线C:/躲=1(6>0)的左、右焦点分别为耳B，点M在C的左

支上，过点加作C的一条渐近线的垂线，垂足为N,若的最小值为9,则该双曲线的离心率为

25

A.四B.布C.D.

23

【答案】A

【分析】由题意可知〃=3,根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知|MEI+|MN|...WN|+6,当

且仅当点冗，M,N三点共线时，等号成立，从而得到+的最小值为b+6,求出b的值，得到

双曲线的离心率.

【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线,

22

因为双曲线c：］-%=ig>。），

..a=3f

由双曲线的定义可知，IMBIT町l=2a=6,

:.\MF2\+\MN\=\MFt\+\MN\+6^FiN\-^>,

当且仅当点片，M,N三点共线时，等号成立,

b

渐近线方程为＞即乐-©=0,且耳（-c,0）,

a

be,

...此时相土若昙=一="

c

：\MF2\+\MN\的最小值为b+6,

..〃+6=9,:.b=3,

所以c=yja2+62=3A/2

厂•离心率e=£=V2,

a

故选:A.

r2v2

24.（2023春・海南•高二校考阶段练习）设耳，「2分别为双曲线C：a-方=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点，A

为双曲线的左顶点，以「鸟为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点，且NM4N=135。，（如图）,

则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.6C.2D.75

【答案】D

【分析】联立-+y2=/与y=±x求出M（a,b）,进而NM4O的正切可求，得出。与b的关系，从而进一步

解出答案.

【详解】依题意得，以线段耳耳为直径的圆的方程为/+丁2=/,

b

双曲线C的一条渐近线的方程为〉='工

a

_b

由aX，以及4+b2=c2,

x2+y2=c2,

x=a,Ix=-a,

解得y=匕或jy=一4

不妨取M（a,b）,则N（—a,—6）.

因为A（—q,0）,/M4N=135,

所以ZM4O=45.

b

又tan/MAO=—,

la

所以1=Fb，

2a

所以Z?=2。，

所以该双曲线的离心率6=,[5=出.

Va

故选：D.

22

25.（2023春•河南•高二校联考阶段练习）已知双曲线C:「-3=l（a>0,b>0）,尸为C的下焦点.。为坐

ab

标原点，4是C的斜率大于0的渐近线，过尸作斜率为3的直线/交4于点A,交无轴的正半轴于点2,若

3

\OA\=\OB\f则。的离心率为（）

A.2B.6C.友D.B

32

【答案】C

【分析】分别表示出42坐标，利用10Al=1。0求得a=技，即可求出离心率.

22

【详解】因为尸为双曲线C:与-J=l（a>0,b>0）的下焦点，不妨设尸（0«）,

ab

所以过厂作斜率为坐的直线y=^x-c,所以网&,。）.

因为4是C的斜率大于。的渐近线，所以可设小y=

b

[6

y=-x-c

3bc3ac

由3联立解得:A

ay/3b-3a'y/3b-3aJ

y=­x

[b

3bc

因为|。4|二|。为，所以解得:

yf3b-3a

12A/3

所以离心率e=£yjcr+b2b

a一版一3

故选：c

（-）求双曲线离心率的取值范围

26.（2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C：y2=1g＞（））的右焦点为F,点A（0,-a）,

a

若双曲线的左支上存在一点P,使得|必+|尸盟=7,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.1,4B.（1,石]C.—,+＜»D.[6,+（»）

I2」L2）

【答案】C

【分析】根据双曲线定义可得，仍曰=|西|+2。，即|，训+|西|=7-2a,进而推得|尸川+|尸周21A娟=7717,

得到不等式/一14〃+2420,求解即可得到。的取值范围，进而求得离心率的范围.

设双曲线左焦点为小因为点尸在双曲线左支上，所以有|尸尸耳|=2即

即|尸典=|尸耳|+2a.

7

由已知得，存在点尸，使得|必+卢臼=7,即|R4|+|/¥；|=7—2a,显然7-2“＞0,所以a＜j

又|网+|两以做|=，即当点尸位于图中匕位置时，等号成立，

所以Va2+c2<7-2a>又c2=/+1，

所以—整理可得，/一14。+2420,解得aW2或（舍去）,

所以。＜心，则。/4,吟1，所以/桨=1+5今

故选：C.

/V2

27.（2023春•江苏南京碣二校联考阶段练习）已知尸为双曲线,方=1（。＞0,方＞0）的左焦点，直线/过点厂

与双曲线交于A,2两点，且|A8|最小值为竺，则双曲线离心率取值范围为。

a

A.(1,2)B.(1,V2)C.(1,2]D.(1,72]

【答案】D

【分析】分别讨论经过焦点r的直线与双曲线的交点在同一支上和

直线与双曲线的交点在两支上这两种情况，列出不等式，计算即可得到范围.

【详解】①当经过焦点厂的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小,

22

设双曲线=-2=1的左焦点为p(-c,o),过尸的直线与双曲线左支相交于4(占,%),3(七,%),

ab

当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=-G可得y=土/=土/，即有

Vaa

\AB\=—,

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=Mx+c),

y=%(x+c)

联立<工2y2,消去y,得仅2一〃2左2)X2一左2兀一左2一片人2=0,

V-F=1

2a2ck2a2c2k2+a2b2

X+%=~---=-----------------z—z-,

12b2-a2k212b2-a2k2

A=(2a2ck2)2-4伊_〃2左2乂_。2c2%2一〃2力2)>。

2〃2cz2八

bb

由＜X1+%2=^37F<0，解得上＞—或左,