太理水利工程计算及设计第二章-线性代数方程组分解课件

六、三对角阵的三角分解——追赶法追赶法是适用于三对角线方程组的有效解法。三对角方程组形式：AX=D三对角阵的三角分解六、三对角阵的三角分解——追赶法追赶法是适用于三对角线方程组其系数阵是三对角阵将A阵分解为L阵和U阵三对角阵的三角分解其系数阵是三对角阵将A阵分解为L阵和U阵三对角阵的三角分解三对角阵的三角分解算式为解三对角线方程组的追赶法的步骤（1）将A阵按式（2-89）分解，得到L、U阵。（2）向前回代求解LY=D，得（3）向后回代求解UX=Y，得到（2-89）追赶三对角阵的三角分解算式为解三对角线方程组的追赶法的步骤（3）题7用追赶法解三对角方程组解题7用追赶法解三对角方程组解由LY=D，得由LY=D，得由UX=Y，得由UX=Y，得七、方程组的逆矩阵解法与矩阵求逆（一）方程组的逆矩阵解法对方程的两端左乘以逆矩阵A-1得解为方程组的逆矩阵解法七、方程组的逆矩阵解法与矩阵求逆（一）方程组的逆矩阵解法对方方程组的逆矩阵解法（二）矩阵求逆

用计算机求n×n阶非奇异方阵A的逆矩阵A-1。式中，B1，B2，…，Bn分别为方程组的逆矩阵解法（二）矩阵求逆用计算机求

求n×n阶非奇异方阵A的逆矩阵A-1，等价于求解具有相同系数阵（被求逆的矩阵）且右端项分别为的n个方程组，即求解下述方程组最后求得的A-1为（2-94）方程组的逆矩阵解法求n×n阶非奇异方阵A的逆矩阵A-1，等价第二节线性代数方程组的迭代解法第二节线性代数方程组的

迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较小，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性和收敛速度问题。迭代法在解决问题（特别是大型稀疏系数阵问题）时，是一种有效的方法。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组雅可比迭代法高斯——赛德尔迭代法逐次超松弛法迭代解法雅可比迭代法迭代解法一、雅可比迭代法（一）迭代算法设有n阶方程组 可改写为即AX=B雅可比迭代法一、雅可比迭代法（一）迭代算法设有n阶方程组 可改写为即任一方程可写为进而写成如下的迭代格式（2-97）式（2-97）就是雅可比迭代算法。雅可比迭代法任一方程可写为进而写成如下的迭代格式（2-97）式（2-97雅可比迭代法式（2-97）展开为雅可比迭代法式（2-97）展开为（二）迭代的矩阵形式

方程组AX=B中的系数矩阵可表示为三个矩阵的代数和矩阵，即

A=D–L-U其中

雅可比迭代法（二）迭代的矩阵形式方程组AX=B中的系故式（2-97）即为（2-99）式（2-99）就是雅可比迭代的矩阵形式。其中雅可比迭代法故式（2-97）即为（2-99）式（2-99）就是雅可比迭代题8用雅可比迭代法求解下列方程组解按式（2-97）形式的雅可比算法，有题8用雅可比迭代法求解下列方程组解按式（2-97）形式的雅计算结果见下表：

k01234567

X100.720.9711.0571.08531.09511.0983…

X200.831.0701.15711.18531.19511.1983…

X300.841.1501.24821.28281.29411.2980…原线性代数方程组的精确解为计算结果见下表：k01234567X100.720.97

二、高斯—赛德尔迭代法

高斯—赛德尔迭代是对雅可比迭代的一个简单改进，从而提高了迭代收敛的速度（一）迭代算法N阶方程组可改写为如下形式高斯—赛德尔迭代法二、高斯—赛德尔迭代法高斯—赛德尔迭代是（2-100）可写成如下的迭代形式可简写成式（2-100）就是高斯—赛德尔迭代算法高斯—赛德尔迭代法（2-100）可写成如下的迭代形式可简写成式（2-100）就

，（二）迭代的矩阵形式其中式（2-101）是高斯—赛德尔迭代的矩阵形式。（2-101）高斯—赛德尔迭代法 ，（二）迭代的矩阵形式其中式（

，（二）迭代的矩阵形式（书上）式（2-100）可写成亦即故其中（2-101）式（2-101）是高斯—赛德尔迭代的矩阵形式。高斯—赛德尔迭代法 ，（二）迭代的矩阵形式（书上）题9用高斯-赛德尔迭代法求解下列方程组解按式（2-100）得到的高斯—赛德尔迭代算法，有题9用高斯-赛德尔迭代法求解下列方程组解按式（2-100）计算结果见下表：

k01234567

X100.721.043081.093131.099131.099891.099991.1

X200.9021.167191.195721.199471.199931.199991.2

X300.16441.282051.297771.299721.299961.31.3计算结果见下表：k01234567X100.721.04（一）迭代算法

三、逐次超松弛法（或SOR法）逐次超松弛法又是对高斯—赛德尔法的一个改进。高斯—赛德尔迭代算法逐次超松弛法（一）迭代算法三、逐次超松弛法（或SOR法）逐次超松弛法

这里r是用来加速收敛的权因子，称为松弛因子，r=1时，即为赛德尔迭代公式。式（2-102）在r＞1时为超松弛迭代（简称SOR），在r＜1时为松弛迭代。通常取1＜r＜2。

修改为（2-102）逐次超松弛法这里r是用来加速收敛的权因子，称为松弛因子，式（2-102）还可等价地表示为（2-103）

式（2—102）和（2-103）就是逐次超松弛迭代算法（r＞1）。逐次超松弛法式（2-102）还可等价地表示为（2-103）

，（二）迭代的矩阵形式（2-104）式（2-104）是逐次超松弛法的矩阵形式。直接根据式（2-103）写整理得逐次超松弛法（2-103） ，（二）迭代的矩阵形式（2-1

超松弛因子通常在1.4到1.9之间。松驰因子的选取对迭代格式的收敛速度影响极大。实际计算时，可以根据系数矩阵的性质，结合经验通过反复计算来确定松驰因子。使收敛最快的松弛因子称为最佳松弛因子（）。逐次超松弛法超松弛因子通常在1.4到1.9之间。松驰因举例用SOR方法解线性方程组方程精确解为X=（-1，-1，-1，-1）T

解

:取x(0)=(0,0,0,0)T,取不同的松弛因子，得到的满足误差ε<10-5的迭代次数如下表所示。逐次超松弛法举例用SOR方法解线性方程组方程精确解为X=（-1，-1，-松弛因子迭代次数松弛因子迭代次数1.01.11.21.31.422171211141.51.61.71.81.917233353109

本例说明，松弛因子选择的好，会使SOR迭代法的收敛大大加速。本例中1.3是最佳松弛因子。逐次超松弛法松弛因子迭代次数松弛因子迭代次数1.0221.517四、向量和矩阵的范数的概念向量X的范数是满足下列条件的实数。迭代法的收敛条件与收敛准则四、向量和矩阵的范数的概念向量X的范数是满足下列条三个常用的向量范数：

设X=(x1,x2,…,xn)T，则有

列范数谱范数行范数迭代法的收敛条件与收敛准则三个常用的向量范数： 设X=(x1,x2,…,x

矩阵的范数是定义在Rn×n上的非负的实值函数，它满足下列条件的实数。迭代法的收敛条件与收敛准则矩阵的范数是定义在Rn×n上三个常用的矩阵范数：迭代法的收敛条件与收敛准则矩阵每一列元素绝对值之和取最大值矩阵每一行元素绝对值之和取最大值三个常用的矩阵范数：迭代法的收敛条件与收敛准则矩阵每一列元素（一）一般迭代法的收敛准则与收敛条件

对方程组AX=B，一般（线性）迭代法是按公式以任意初始向量X（0）开始，反复进行计算。当m→∞时，迭代向量序列有时收敛于方程组的精确解，有时则不然。如向量序列收敛于方程组的精确解，就称该迭代法收敛；反之，则谓不收敛或发散。（2-112）定义迭代法的收敛条件与收敛准则

五、迭代法的收敛条件与收敛准则（一）一般迭代法的收敛准则与收敛条件对方程组收敛准则

收敛准则是指使迭代终止的条件。通常使用的收敛准则有绝对准则和相对准则两种。绝对准则相对准则或或这里是方程的余差向量，ε是给定的控制误差。迭代法的收敛条件与收敛准则收敛准则收敛准则是指使迭代终止的条件。通常使

定理2迭代格式（2-112）收敛的充分必要条件是迭代矩阵K的谱半径

(K)<1。

定理1若迭代格式（2-112）的迭代矩阵K的范数小于1（即），则该格式求出的向量序列将收敛于方程组的唯一解a，且有误差估计式迭代法收敛定理

以上两定理有较大的理论意义，但实际用起来不甚方便，为此后面引入更为实用的判别迭代格式收敛的充分条件。迭代法的收敛条件与收敛准则定理2迭代格式（2-112）收敛的充分

定理1

若线性代数方程组AX=B的系数阵A按行（或列）严格对角占优，即则雅可比迭代和赛德尔迭代收敛。

定理2

若线性代数方程组AX=B的系数阵A是实对称正定阵，则赛德尔迭代收敛。

定理3

对任何系数阵A，要使逐次超松弛法收敛，必须选取松弛因子r为（0，2）内的正数，则