大学微积分教学课件版

大学微积分幻灯片版大学微积分幻灯片版大学微积分幻灯片版大学微积分幻灯片版大学微积分幻灯片版大学微积分幻灯片版1abxyoA

?曲边梯形由连续曲线y

f(x)(f(x)

0)、x轴及两条直线x

a、x

b所围成.实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出y

f(x)2abxyoA?曲边梯形由连续曲线y f(x)abxyx oabyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）3abxyx oabyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干个分点，a

x0

x1

x2

xn

1

xn

b,o axi

1

ixi xn

1bxyx1把区间[a,b]分成n个小区间[xi

1,xi]，长度为

xi

xi

xi

1;在每个小区间[xi

1,xi]上任取一点

，i以[xi

1,xi]为底，f(

i)为高的小矩形面积为Ai

f(

i)

xi4曲边梯形如图所示，o axi1ixi xn1bxnA

f(

i)

xii

1当分割无限加细,记小区间的最大长度

或者(

x)

x

max{

x1,

x2,

xn}趋近于零(

x

0或者

0)时，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为A

lim

f(

i)

xin

0i

15n曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为Alimf实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v

v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数，且v(t)

0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．6实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度（1）分割T1

t0

t1

t2

tn

1

tn

T2

ti

ti

ti

1

si

v(

i)

ti部分路程值某时刻的速度（2）求和ns

v(

i)

tii

1

max{

t1,

t2,

,

tn}（3）取极限s

lim

v(

i)

tin

0i

1路程的精确值7（1）分割T1t0t1t2定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入记

x

max{

x1,

x2,

,

xn}，如果不论对[a,b]若干个分点a

x

x

x

x

x

b0 1 2 n

1 n把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为

xi

xi

xi

1，(i

1,2,

)，在各小区间上任取一点

i（

i

xi），作乘积f(

i)

xin并作和S

f(

i)

xi，i

1(i

1,2,

)二、定积分的定义8定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,怎样的分法，也不论在小区间[xi

1,xi]上

a积分下限f(x)dx

I

lim

f(

i)

xibn

0i

1被积函数被积表达式积分变量[a,b]积分区间点

i怎样的取法，只要当

x

0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为积分上限积分和9怎样的分法，也不论在小区间[xi1,xi]上a注意：（1）积分值仅及被积函数及积分区间有关，而及积分变量的字母无关.

ab bf(x)dx

a f(t)dt

a f(u)dub（2）定义中区间的分法和

i的取法是任意的.（3）当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a,b]上可积.10注意：ab bf(x)dxa f(t)dt当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类的间断点，则f(x)在 区间[a,b]上可积.三、存在定理11当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，定理1定理f(x)

0,

af(x)dx

Ab曲边梯形的面积f(x)

0,

af(x)dx

A 曲边梯形的面积的负值bA1A2A3A4A4A2

A3f(x)dx

A1b

a四、定积分的几何意义12f(x)0,af(x)dxAb曲边梯形几何意义：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x

a,x

b之间的各部分面积的代数和在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．

13几何意义：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条例1利用定义计算定积分x dx.102

解将[0,1]n等分，分点为x

i

，(i

1,2,

,n)ni小区间[xi

1,xi]的长度

xi取

i

xi，(i

1,2,

,n)

，(i

1,2,

,n)n1n

f(

i)

xii

1

i

xii

1n2x

x,i

12

i in

14例1利用定义计算定积分x dx.102解将[0,1]nni

1

n

2

i

1n

i2

n3i

1

n161 n(n

1)(2n

1)n3

1

,1

2

1

16

n

n

x

0

n

x dx

102

xiin

0i

1

lim

2

n

lim1

1

1

2

1

1

.n

n

6

315ni1n2n i2n五、定积分的性质16五、定积分的性质16证

a[f(x)

g(x)]dxnb

lim

[f(

i)

g(

i)]

xi

0i

1

lim

f(

i)

xi

lim

g(

i)

xin n

0i

1

0i

1

a f(x)dx

ag(x)dx.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）bbb b b性质1

a[f(x)

g(x)]dx

a f(x)dx

ag(x)dx.17证a[f(x)g(x)]dxblim

akf(x)dx

k

a f(x)dx k(b b为常数).证

akf(x)dx

lim

kf(

i)

xibn

0i

1

limk

f(

i)

xin ni

1

0

klim

f(

i)

xi

0i

1

k

a f(x)dx.b性质218akf(x)dxka f(x)dx k

abc bf(x)dx

a f(x)dx

cf(x)dx.补充：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例若

a则a

b

c,cf(x)dx

af(x)dx

bf(x)dxcb

abf(x)dx

af(x)dx

bf(x)dxc cc b

a f(x)dx

c f(x)dx.（定积分对于积分区间具有可加性）性质3 假设a

c

b19abc bf(x)dx.补充：不论a,b,c的相对性质4

1

dx

badx

b

a.b

a则

a f(x)dx

0.b(a

b)证

f(x)

0,

f(

i)

0,(i

1,2,

,n)

xi

0,n

f(

i)

xi

0,i

1

max{

x1,

x2,

,

xn}i in

0i

1f(

)

x

lim

f(x)dx

0.

ba性质5如果在区间[a,b]上f(x)

0，20性质41dxbadxba.ba例1 比较积分值

e dx和x

20xdx的大小.

20解令f(x)

ex

x,x

[

2,0]

f(x)

0,

(ex

x)dx

0,0

2

e dx

x

20xdx,0

2

于是

e dx

x

20xdx.

20

可以直接作出答案21例1 比较积分值e dx和x20xdx的大小.性质5的推论：（1）如果在区间[a,b]上f(x)

g(x)，证

f(x)

g(x),

g(x)

f(x)

0,

a[g(x)

f(x)]dx

0,

ag(x)dx

a f(x)dx

0,bb b于是f(x)dx

b b

ag(x)dx.

a则f(x)dx

g(x)dx. (a

b)b b

a

a22性质5的推论：证 f(x)g(x), gf(x)dx

f(x)dx. (a

b)b

a

ab证

f(x)

f(x)

f(x),f(x)dx,f(x)dx

f(x)dx

b

ab b

a

a

即f(x)dx

f(x)dx.b

a

ab说明：|f(x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.性质5的推论：（2）23f(x)dx f(x)dx. (ab)b设M及m分别是函数证a

m

f(x)

M,

amdx

a f(x)dx

aMdx,b b bm(b

a)

f(x)dx

M(b

a).ba（此性质可用于估计积分值的大致范围）曲边梯形的面积夹在两个矩形之间则 m(b

a)

f(x)dx

M(b

a).bf(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，性质624设M及m分别是函数证a amdxa f(解f(x)

,sinxxx2 x2f

(x)

xcosx

sinx

cosx(x

tanx)

0x

[ , ]4 2

f(x)在[ , ]上单调下降,4 2

故x

为极大点，x

为极小点,4 2例2 不计算定积分估计

的大小dxx

sinx

24

2

4

2

4M

f(

)

2 2

,m

f( )

2

,4

2

b

a

,2 4 4

2

sinxdx

2 2

,

4

4

1

2sinxdx

2

.x 2x

25解f(x) ,sinxxx2 x2f(x)证性质7（Th5.1定积分第一中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点

，

f(x)dx

Mb

a

m

ba1

m(b

a)

f(x)dx

M(b

a)ba由闭区间上连续函数的介值定理知使

af(x)dx

f(

)(b

a). (a

b)积分中值公式b26证性质7（Th5.1定积分第一中值定理） f(x)d在区间[a,b]上至少存在一个点

，使f(x)dx, 1 f(

)

b

abaf(x)dx

f(

)(b

a).b

a(a

b)积分中值公式的几何解释：在区间[a,b]上至少存在一xoab

个点

，使得以区间[a,b]为即yf(

)以曲线y

f(x)底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(

)的一个矩形的面积。27在区间[a,b]上至少存在一个点，使f(x)dx,Th5.2(推广的积分第一中值定理）如果函数f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在闭区间[a,b]上可积且不变号,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点

，使f(x)g(x)dx

f(

)

g(x)dx当g(x)

1时,即为Th5.1b ba a

28Th5.2(推广的积分第一中值定理）f(x)g(x)dx六、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，考察定积分

ax xf(x)dx

a f(t)dt记

(x)

af(t)dt.x积分上限函数如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，29六、积分上限函数及其导数ax xf(x)dxax

xbxyf(t)dto定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数

(x)

f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导x

a数是f(t)dt

f(x) (a

x

b)

(x)

dxd xa

证

(x

x)

x

x

a

(x

x)

(x)

a f(t)dt

a f(t)dtx

x x

(x)x

(x)

a f(t)dt.x30axxbxyo定理１如果f(x)在[a,x

x

xbf(t)dtf(t)dt

f(t)dt

x

ax

x

xx

a

x f(t)dt,x

x由积分中值定理得

f(

)

x

x

0,

x

f(

),

xlim

lim f(

)

x

0

x

0

x

(x)

f(x).o

[x,x

x],axy

(x)31xxxbf(t)dtf(t)dtf计算下列导数

t2e

t

t

tcosxxxdtdxdxde dtdxde dtd111222(3)(2)(1)32计算下列导数t2etttcosxxxdtdxd补充 如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导，则F(x)

f(t)dt的导数F

(x)为b(x)

a(x)证F(x)

f(t)dt

a(x)b(x)0

0

f(t)dt

0b(x)

0f(t)dt,a(x)F

(x)

f

b(x)

b

(x)

f

a(x)

a

(x)f(t)dt

f

b(x)

b

(x)

f

a(x)

a

(x)F

(x)

dxb(x)a(x)d33补充 如果f(t)连续，a(x)、b(x)可例1求limx

0.21cosx2xe dt

t

解

e

td

1cosx2dt

dxdt,cosx t21

e

dxd (cosx)

cos2x

e,

sinx

e

cos2xx21cosxlimx

02dte

t

2x2sinx

e

cos x

limx

0.12e

00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.34例1求lim.21cosx2xe dtt解et定理2（原函数存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数

(x)

原函数.f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个x

a定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分及原函数之间的联系.35定理2（原函数存在定理）如果f(x)在[a,b]上定理3（微积分基本公式）如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上b的一个原函数，则

f(x)dx

F(b)

F(a).a又

(x)

f(t)dt也是f(x)的一个原函数,x

a

已知F(x)是f(x)的一个原函数，

F(x)

(x)

Cx

[a,b]证七牛顿—莱布尼茨公式36定理3（微积分基本公式）如果F(x)是连续函数f(令x

a

F(a)

(a)

C,

(a)

a f(t)dt

0

aF(a)

C,

f(t)dt

F(x)

F(a),xa

F(x)

f(t)dt

C,xa令x

b

f(x)dx

F(b)

F(a).ba牛顿—莱布尼茨公式37令xa F(a)(a)C,(f(x)dx

F(b)

F(a)

F(x)

ba

微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.ba注意当a

b时，

f(x)dx

F(b)

F(a)仍成立.ba38f(x)dxF(b)F(a)F例4 求

2(2cosx

sinx

1)dx.0

原式

20

2sinx

cosx

x

3

.2f(x)dx.例5 设f(x)

,求

2x 0

x

1

5 1

x

220解解1 2f(x)dx

0 f(x)dx

1 f(x)dx

02在[1,2]上规定当x

1时，f(x)

5,原式

02xdx

151 2dx

6.xyo1239例4 求0原式 20 2sinxcosx例6 求

max{x,x2}dx.2

2解由图形可知f(x)

max{x,x2}

x2

2

x

0

x 0

x

1 ,1

x

2

2

xdx

0xdx

1 xdx

原式

0x2

21 22.2

112 xyoy

x2y

x1

240例6 求max{x,x2}dx.22解由图形可知设f(x)

C[a,b],且F

(x)

f(x), 则有1.微积分基本公式

af(x)dx

f(

)(b

a)

F

(

)(b

a)

F(b)

F(a)b积分中值定理 微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式41设f(x)C[a,b],且F(x) f(定理 假设（1）f(x)在[a,b]上连续；（2）函数x

(t)在[

,

]上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间[

,

]上变化时，x

(t)的值在[a,b]上变化，且

(

)

a、

(

)

b，则有f[

(t)]

(t)dt.f(x)dx

b

a

八、换元公式42定理 假设则有f[(t)](t)dt.f证 设F(x)是f(x)的一个原函数，

f(x)dx

F(b)

F(a),ba

(t)

F[

(t)],

(t)

dF

dx

f(x)

(t)

f[

(t)]

(t),dx dt

(t)是f[

(t)]

(t)的一个原函数.f[

(t)]

(t)dt

(

)

(

),

43证 设F(x)是f(x)的一个原函数， f(

(

)

a、

(

)

b,

(

)

(

)

F[

(

)]

F[

(

)]

F(b)

F(a),

f(x)dx

F(b)

F(a)

(

)

(

)ba

f[

(t)]

(t)dt.注意 当

时，换元公式仍成立.

44()a、()b, f(x应用换元公式时应注意:（1）用x

(t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.（2）求出f[

(t)]

(t)的一个原函数

(t)后，不必象计算不定积分那样再要把

(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入

(t)然后相减就行了.45应用换元公式时应注意:（1）用x(t)把变量2cos5xsinxdx.0

例1 计算.x lnxe43

edx例2 计算462cos5xsinxdx.0例1 计算.x ln例1 计算cos5xsinxdx.20

2

2

25cos5xd(

cosx)00cos6x0cos xsinxdx

(0

1)

1.6 66

解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。47例1 计算cos5xsinxdx.205c3

1

)4 2

2(

2 lnxlnxdlnxx lnxe4e4

ee dx 例2计算

解 原式

3e4e33.x lnxe43edx483 1)2(2 lnxlnxdlnx例3计算

3解

2xdx49例3计算3解2xdx49三角代换和根式代换50三角代换和根式代换50例4 计算解

12 x 1

x122dx.1令x

sint,x

1

t

,2x

12

t

6dx

costdt,原式

22

2

6sin2tcostsin2t6 6 cost dt

dt

cott

(cot

cot

)

(0

3)

32 6

明显换元51例4 计算解12 x 1x122dx.1令xs例5当f(x)在[

a,a]上连续，且有①f(x)为偶函数，则

af(x)dx

2

0 f(x)dx；a a②f(x)为奇函数，则

a f(x)dx

0.a证f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx,0a 0 a

a

a在

a0f(x)dx中令x

t,52例5当f(x)在[a,a]上连续，且有af

af(x)dx

a f(

t)dt

0 f(

t)dt,00a①f(x)为偶函数，则f(

t)

f(t),

af(x)dx

0 f(x)dxf(t)dt;f(x)dx

aa 0a

2

0a②f(x)为奇函数，则f(

t)

f(t),

af(x)dx

a f(x)dx

0 f(x)dx

0.a 0a在

a0f(x)dx中令x

t,53af(x)dxa f(t)dt奇函数例6 计算解2x

xcosx

dx.1

1

x21

12原式

11

1

x2122xdx

11

1

x21xcosx dx偶函数

4

0dx1

1

x2

4

0 (1

12 x

01

(1

x2)

41x(1

1

x)

dx2 21

x )dx

4

412

1

x dx102

4

.单位圆的面积54奇函数例6 计算解2x xcosxdx.1总结：1、定积分公式—2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限4、介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数55总结：55例7 若f(x)在[0,1]上连续，证明（1）

f(sinx)dx

f(cosx)dx;2 200（2）

0xf(sinx)dx

f(sinx)dx.2 0

由此计算

01

cos2x

xsinx dx.证 （1）设x

t2

dx

dt,x

0

t

,2x

t

0,256例7 若f(x)在[0,1]上连续，证明（1）

20f(sinx)dx

f sin

t

dt

022

2

0f(cost)dt

f(cosx)dx;

20

x

t2570f(sinx)dx f si（2）x

t

dx

dt,x

0

t

,x

t

0,

0

xf(sinx)dx

(

t)f[sin(

t)]dt

0(

t)f(sint)dt,

0

由此计算

01

cos2x2

0

0

xf(sinx)dx

f(sinx)dx

xsinx dx设58（2）xtdxdt,x0xf(sinx)dx

0

f(sint)dt

0tf(sint)dt

0 f(sinx)dx

0xf(sinx)dx,f(sinx)dx.2

0xf(sinx)dx

0

01

cos2x

xsinx dx

sinx 2

01

cos2xdx2

01

cos2x

1 d(cosx)

arctan(cosx)

02.4

2)

(

2 4 4

0

59xf(sinx)dx 0f(sint)dt

avdu.定积分的分部积分公式九、分部积分公式设函数u(x)、v(x)在区间

a,b

上具有连续导数，则有

udv

uvbabba推导

uv

u

v

uv

,

(uv)

dx

uv

,baba

u

vdx

uv

dx,ba abbauv

udv

uv

vdu.bababa60avdu.定积分的分部积分公式九、分部积分公式导数，则有例 计算解lnxdx.

1e61例 计算解lnxdx.1e61例2 计算arcsinxdx.120

解令u

arcsinx,dv

dx,du

dx ,1

x2v

x,

120arcsinxdx

xarcsinx

120

xdx 1

x2

120

2 61

1 d(1

x2)1

x120212

1

x

12

1202

1.12 2

3则62例2 计算arcsinxdx.10解令uarcsi例3 计算解xedxx

10例4计算

xcosxdx1063例3 计算解xedxx10例4计算xcosxd例5 计算解

1edxx2lnx64例5 计算解1edxx2lnx64一、无穷限的广义积分定义1 设函数f(x)在区间[a,

)上连续，取b

a，如果极限lim

b

baf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,

)上的广义积分，记作

a

f(x)dx.

a

f(x)dx

lim

b

baf(x)dx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.第四节广义积分65一、无穷限的广义积分ba，如果极限limbb类似地，设函数f(x)在区间(

,b]上连续，取a

b，如果极限lim

a

baf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(

,b]上的广义积分，记作

f(x)dx.b

bf(x)dx

lima

baf(x)dx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.66类似地，设函数f(x)在区间(,b]上连续，设函数f(x)在区间(

,

)上连续,如果0

广义积分

f(x)dx和

0f(x)dx都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(

,

)上的广义积分，记作

f(x)dx.

0

f(x)dx

f(x)dx

0f(x)dx

a

b

lim0af(x)dx

lim

b0f(x)dx极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.67设函数f(x)在区间(,)上连续,如果0 例1计算广义积分解

1sin1

dx.

22

x x

2

1sin1

dx

x x2

2

sin d

x

1

1x

x

2

cos1

cos0

0

12

lim cos1

cos

x

x

lim F(x)

F(a)x

F(

)

F(a)f(x)dx

F(x)

aa

简记为68例1计算广义积分解1sin1dx.22例1计算广义积分

.1

x2

dx解

1

x2

dx

1

x20dx

0

1

x2dx

1

x0 1

lim dx

lima

2a

01

x2b

b 1 dx

arctanx

0

limaa

b

arctanx

b0lim

limarctana

limarctanb

a

b

.2

2

69例1计算广义积分.dx解1x2例3证明广义积分

1

1dx当p

1时收敛，xp当p

1时发散.证(1) p

1,

1

1 dx

xp

1

1dx

lnx

x

1

,

, p

1(2) p

1,

1

1 dx

xp

1

p

1

x

1 1

p ,p

1

p

1

因此当p

1时广义积分收敛，其值为 1 ；p

1当p

1时广义积分发散.70例3证明广义积分11dx当p1时收敛，当>o,i×iJy$y(×)d×bbo+cb/(z)dz71>o,i×iJy$y(×)d×bbb/(z)dz71º,—•y(•d•«‘. ›•.:i›› a».aJ(z)dz-J-J(z)dz72º,—•y(•d•«‘. ›•.:i›› a».aJ(±A’crBUX‘if.±4STJ‘1.i*J1‹I;-,;;y,pJbº/(,)dp2 z ' 4—z'73±A’crBUX‘if.±4STJ‘1.i*J1‹1

1—1

—211741 1 —21174éf=¾‘éo£i½½l‹yr->sjk. °×r—y£ G&"½"GT£ **fJ÷©5.7pa—le—*dx(o > 0){75éf=¾‘éo£i½½l‹yr->sjk. °×ti@5.8e—2z176ti@5.8e—2z176回顾 曲边梯形求面积的问题A

a f(x)dxb第五节、定积分应用曲边梯形由连续曲线y

f(x)(f(x)

0)、x轴及两条直线x

a、x

b所围成。ab xyoy

f(x)77回顾 曲边梯形求面积的问题Aa f(x)dxb第1、几何上的应用781、几何上的应用78面积79面积79axx

dxb xyoy

f(x)A

lim

f(

i)

xi

n

0i

1

abf(x)dx

af(x)dx.bdA面积元素80axxdxb xyoyf(x)Al一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线及直线及x轴所围曲边梯形面积为A, 则dA

f(x)dxA

f(x)dxbaO a xb xyy

f(x)x

dxyby

f2(x)xay

f1(x)Oxx

dx[f(x)

f (x)]dxA

右图所示图形，面积元素为dA

[f1(x)

f2(x)]dxba1 2

81一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线及直线及x轴所xyoy

f(x)a xx

xbxyoy

f1(x)y

f (x)2ab曲边梯形的面积A

abf(x)dx曲边梯形的面积A

a[f2(x)

f1(x)]dxbx

x82xyoy f(x)a xxxbxyoy f1(x)

f2(x)dxA

bayb xaxx

dxy

f2(x)y

f1(x)Oc[f(x)

f (x)]dxca1 2

[f (x)

f(x)]dxbc2 1A

(y)

(y)dydcy

dyyOx

(y) xyd x

(y)cdA

|f1(x)

f2(x)|dx有时也会选y为积分变量dA

|

(y)

(y)|dy83f1(x)f2(x)dxAbayb xa例1计算由两条抛物线y2

x和y

x2所围成的图形的面积.解（1）作图（2）求出两曲线的交点(0,0) (1,1)（3）选x为积分变量x

[0,1]A

( x

x2)dx

101x3

3

0

3

223

x

.13

y

x2x

y2（4）代公式A

a[f2(x)

f1(x)]dxb84例1计算由两条抛物线y2x和yx2所例2计算由曲线y2

2x和直线y

x

4所围成的图形的面积.解 两曲线的交点

y2

2x

y

x

4

(2,

2),(8,4).选y为积分变量

y

[

2,4]dA

y

4

y

dy2

2

A

dA

18.4

2

y2

2xy

x

485例2计算由曲线y22x和直线yx4解题步骤：(1) 画出草图；(2) 求出交点；(3) 选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。86解题步骤：(1) 画出草图；86O xx

dxayb例3.求椭圆解:利用对称性, 有dA

y

dx所围图形的面积.A

4

0 ydx

4b

0a利用椭圆的参数方程x

acost(0

t

2π)y

bsint应用定积分换元法得

4abπ202sin tdt

4ab

2

2

πab1

π当a