大学文科数学之线性代数与概率统计

大学文科数学

之

线性代数与概率统计北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘2005.5.11

大学文科数学

之

线性代数与概率统计1正态分布

或高斯分布NormalDistributionGaussDistribution正态分布

或高斯分布NormalDistribu2大学文科数学之线性代数与概率统计3

一、正态分布的定义及图形特点若r.vX的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.一、正态分布的定义及图形特点若r.vX的概率密度4设X~,X的分布函数是设X~,X的5大学文科数学之线性代数与概率统计6正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.正态分布的图形7大学文科数学之线性代数与概率统计8随机变量取值于处的概率较大

随机变量取值于处的概率较大9大学文科数学之线性代数与概率统计10先证：作变量代换即证可以证明证明思路：转化为极坐标：先证：作变量代换即证可以证明证明思路：转化为极坐标：11大学文科数学之线性代数与概率统计12对称性的应用一对称性的应用一13对称性的应用二对称性的应用二14小大小大小大小大15大学文科数学之线性代数与概率统计16大学文科数学之线性代数与概率统计17决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.18大学文科数学之线性代数与概率统计19二、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：二、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布20它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则Y

~N(0,1)

设定理1它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何21书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.三、正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正22若~N(0,1)

若X～N(0,1),若~N(0,1)若X～N(0,1),23SupposethatXisanormallydistributedrandomvariablewithparametersµ=10and

=3.FindtheprobabilitythatXisbetween4and16.Example＝.9772－.0228＝.9544SupposethatXisanormallyd24由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974四、3准则由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集25将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎26大学文科数学之线性代数与概率统计27例

质量控制的3

准则

设在正常生产条件下某轴承的直径X~

N(µ,^2

).为在生产过程中能及时了解生产是否正常,每隔一定时间抽取产品进行检测,并将测得的直径数据作于一张质量控制图例质量控制的3准则设在正常生产条件下某轴承的28如果作出的点超出了控制线,则很有可能是生产出现了异常,应该暂停生产进行检查.当然,在实际应用时,还考虑其它细节,如常一次检测几个产品,用它们的平均值来作控制图等.

如果作出的点超出了控制线,则很有可能是生产出现了异常,应29例12已知某区5000名初二学生，数学统考成绩

服从正态分布N(65,15*15)，求50分至80之间的学生人数。P(5080)=F

(80)-F

(50)标准化=(-65)/15~N(0,1)P(50

80)=P((50-65)/15

(-65)/15

(80-65)/15)=P(－1

1)=(1)-(－1)=2(1)-1=2×0.8413－1＝0.682650分至80分之间的人数为5000×0.6826=3413例12已知某区5000名初二学生，数学统考成绩服30使用Excel进行计算

服从N(65,15*15)P(5080)=F

(80)-F

(50)F

(80)=normdist(80,65,15,true)P(50

80)=P((50-65)/15

(-65)/15

(80-65)/15)=P(－1

1)=(1)-(－1)=2(1)-1(1)=normdist(1,0,1,true)normdist(1)使用Excel进行计算服从N(65,15*15)31某区参加高考预选的考生8000人的成绩

服从正态分布，已知µ＝410分，

＝11分，要求预选5200名考生参加正式高考，问应如何确定分数线？任取一名学生，他应选的可能性（概率）为5200/8000=0.65一名学生被选上是因为其成绩超过分数线，因此，任取一名学生，其成绩超过分数线x_0的概率为0.65即分数线x_0满足P(>x_0)=0.65P(<x_0)=0.35某区参加高考预选的考生8000人的成绩服从正态分布，已32大学文科数学之线性代数与概率统计33

服从正态分布，µ＝410，

＝11P(<x_0)=0.35Excel应用：x_0=

norminv(0.35,410,11)=405.7615标准化=(-410)/11~N(0,1)P(<x_0)=0.35P((-410)/11<(x_0-410)/11)=0.35z_0=(x_0-410)/11P(<z_0)=0.35z_0=norminv(0.35,0,1)=-0.38532（思考：为什么是负数?）或z_0=normsinv(0.35)服从正态分布，µ＝410，＝1134大学文科数学之线性代数与概率统计35教材中的方法:查表表能告诉我们什么P(<z_0)=p例如：P(<1.96)=?P(<1.96)=0.975也可以近似地反查,即P(<？)=0.975局限点:z_0>0p>0<z_0教材中的方法:查表表能告诉我们什么36大学文科数学之线性代数与概率统计37正态分布为什么?正态分布为什么?38拉普拉斯证明了(早期特殊的)中心极限定理.一般的中心极限定理可以理解为:当每一个小的误差与总的误差相比可以忽略不计时,不管小的误差的分布是什么,总的误差将近似服从正态分布.这一著名的结果说明了为什么现实中如此众多的随机现象可以用正态分布来描述其规律.拉普拉斯证明了(早期特殊的)中心极限定理.39例如,自动火炮命中目标的误差一般认为是服从正态分布的,这个误差是风速、射击的方向和角度、重量、弹药的质量等许许多多的小因素共同影响的结果.其中每一种小因素,人们都努力去控制以至于都不能起主要作用;但这些微小的误差数量之多,使得其总和仍起作用,最终造成了命中目标的误差.例如,自动火炮命中目标的误差一般认为是服从正态分布的,40正态分布的一个最早的应用是用来分析天文观测中的误差.在17、18世纪,由于不完善的仪器以及观测人员的缺乏经验等原因,天文观察误差是一个重要的问题,有许多重要的科学家都进行过研究.1809年,高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855,德国)指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布.基于误差分布服从正态分布的假设,高斯奠定了他此前使用过的最小二乘法的数学基础.最小二乘法是统计学中一个很重要的方法.为纪念他的贡献,正态分布也称为高斯分布.正态分布的一个最早的应用是用来分析天文观测中的误差.在1741正态分布正态分布42魁特奈特在19世纪前期测得的5738名苏格兰士兵的胸围数据.魁特奈特在19世纪前期测得的5738名苏格兰士兵的胸围数43随机地从这5738名士兵中找到