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大学物理教程大学物理教程1第4章周期振动4.1简谐振动的运动学描述4.2简谐振动的动力学描述4.3旋转矢量法4.4简谐振动的合成4.5阻尼振动4.6受迫振动

共振第4章周期振动4.1简谐振动的运动学描述4.2简谐振动2

4.1简谐振动的运动学描述

简谐振动的运动方程4.1.1下面以弹簧振子为例讨论简谐振动的规律。弹簧振子是理想模型，实际并不存在。只有满足不考虑物体的形变和可忽略弹簧的质量的条件时，弹簧和物体组成的系统才可以称为弹簧振子，如图4.1所示。弹簧振子系统中轻弹簧的一端固定，另一端系一个质量为m的物体。4.1简谐振动的运动学描述简谐振动的运动方程4.1.13

4.1简谐振动的运动学描述图4.1弹簧振子4.1简谐振动的运动学描述图4.1弹簧振子4

4.1简谐振动的运动学描述

由此可见，当物体做简谐振动时，其速度和加速度也随时间作周期性变化，也可以说速度、加速度在做简谐振动。速度和加速度简谐振动的周期与物体位移的振动周期是一样的，只不过振幅、振动的步调不一致。图4.2给出了某简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系。4.1简谐振动的运动学描述由此可见，当物体做简谐振动时5

4.1简谐振动的运动学描述

图4.2位移、速度、加速度与时间的关系4.1简谐振动的运动学描述图4.2位移、速度、加速6

4.1简谐振动的运动学描述

简谐振动的特征量4.1.21.周期

频率

角频率式(4-1)中的ω称为角频率，也称圆频率。我们知道，简谐振动物体位置的变化具有时间周期性，以T表示周期，即振动往复一次所经历的时间，在国际单位制中，角频率ω的单位是弧度·秒-1（rad/s）。4.1简谐振动的运动学描述简谐振动的特征量4.1.217

4.1简谐振动的运动学描述

2.振幅式(4-1)中的A称为振幅，表示简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值。它给出了物体的振动范围是在+A和-A之间，反映了振动的强弱，描述了简谐振动的空间周期性。4.1简谐振动的运动学描述2.振幅式(4-1)中的A称8

4.1简谐振动的运动学描述

3.相位

初相在简谐振动的运动方程中，(ωt+φ)称为简谐振动的相位，初始时刻t=0的相位φ称为简谐振动的初相。在角频率ω和振幅A已知的简谐振动中，根据式(4-1)可知，振动物体在任意时刻t的位移和速度，即振子的运动状态都由(ωt+φ)决定。(ωt+φ)是决定简谐振动状态的物理量。4.1简谐振动的运动学描述3.相位初相在简谐振动的9

4.1简谐振动的运动学描述

通常把A、ω及φ三个量称为描述简谐振动的三个特征量，因为只要这三个量确定了，就可以写出简谐振动的运动方程，得到简谐振动的全面信息.在下一节中我们会看到，A和φ由初始条件确定，而ω取决于振动系统自身的动力学性质。4.1简谐振动的运动学描述通常把A、ω及φ三个量称为描10

4.2简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学方程4.2.1以弹簧振子为例，进行简谐振动的动力学分析，见图4.1.弹簧振子系统的平衡位置位于x轴的坐标原点O，物体沿x轴方向运动.根据胡克定律，在小幅度振动情况下，物体所受的弹性力F与物体离开平衡位置的位移x成正比，即F=-kx(4-7)4.2简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学方程4.2.11

4.2简谐振动的动力学描述4.2简谐振动的动力学描述12

4.2简谐振动的动力学描述4.2简谐振动的动力学描述13

4.2简谐振动的动力学描述例4.1垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，静平衡时弹簧伸长量为h.先用手将重物上托使弹簧保持自然长度然后放手。试证明放手后小球做简谐振动，并写出其振动的运动学方程。

证明：取静平衡位置为坐标原点，如图4.3所示。当小球挂在弹簧上静平衡时，有mg－kh=0

图4.3例4.1图4.2简谐振动的动力学描述例4.1垂直悬挂的弹簧下14

4.2简谐振动的动力学描述简谐振动的能量4.2.2在每一种运动形式中，采用能量的观点描述物理的运动，这是物理学中非常重要的基本思路。仍然以弹簧振子为例，来说明简谐振动系统的能量。在弹簧振子模型中，弹簧的弹性势能就是系统的弹性势能，振子振动的动能就是系统的动能。当物体的位移为x，速度为v时，弹簧振子的弹性势能和动能分别为4.2简谐振动的动力学描述简谐振动的能量4.2.2在每15

4.2简谐振动的动力学描述4.2简谐振动的动力学描述16

4.2简谐振动的动力学描述由上述分析可知，弹簧振子系统的动能和弹性势能都是随时间t做周期性变化的，如图4.5所示，但其总能量不随时间改变，即其机械能守恒。图4.5弹簧谐振子的能量4.2简谐振动的动力学描述由上述分析可知，弹簧振子系统17

4.2简谐振动的动力学描述例4.3

如图4.6所示，质量为m的任意形状的物体，可绕光滑水平轴O在铅直面内自由转动。将它拉开一个微小角度θ后释放，物体将绕O轴做微小的自由摆动。这样的装置叫作复摆.若复摆对O轴的转动惯量为J，复摆的质心C到O轴的距离为h，求复摆的振动周期。图4.6例4.3图4.2简谐振动的动力学描述例4.3如图4.6所示，18

4.3旋转矢量法为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅、相位、角频率等量的物理意义，更形象地描述简谐振动的周期性特征。我们常采用一种比较直观的几何方法——旋转矢量法描述简谐振动。如图4.7所示，自Ox轴的原点O作一矢量A，矢量的模等于振幅A，使矢量A在如图平面内绕O点做逆时针方向的匀速转动，其角速度的数值等于简谐振动的角频率ω，这个矢量A就称为旋转矢量.设在t=0时，矢量A与x轴之间的夹角为φ，等于简谐振动的初相。4.3旋转矢量法为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅19

4.3旋转矢量法这正是式(4-1)所表示的简谐振动的运动方程。由此可见，匀速旋转的矢量A，其端点M在x轴上的投影点P的运动是简谐运动。在矢量A的转动过程中，M点做匀速圆周运动，对应的圆周称为参考圆，故旋转矢量法又称参考圆法。图4.7旋转矢量法4.3旋转矢量法这正是式(4-1)所表示的简谐振动的运20

4.3旋转矢量法4.3旋转矢量法21

4.3旋转矢量法例4.4一简谐振动的振动曲线如图4.8(a)所示。求角频率ω、初相φ及简谐振动的运动方程。由振动曲线可以看出，t=0时，x0=0，v0>0，与此状态相对应的旋转矢量如图4.8

(b)所示。图4.8例4.4图4.3旋转矢量法例4.4一简谐振动的振动曲线如图422

4.3旋转矢量法依据初始条件由旋转矢量法来确定初相φ.如图4.9所示，满足x0=0.06m条件，有P和Q两个点，但是只有P点在x轴的投影沿x正向运动。图4.9例4.5图4.3旋转矢量法依据初始条件由旋转矢量法来确定初相φ.23

4.3旋转矢量法由x=-6cm，向x轴负方向运动这一已知条件可知，这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4.10所示，其旋转矢量与Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针转动到与Ox轴。物体第一次回到平衡位置。图4.104.3旋转矢量法由x=-6cm，向x轴负方向运动这一24

4.4简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成4.4.1设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为x1=A1cos

（ωt+φ1）

x2=A2cos

（ωt+φ2

）在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即x=x1+x2

4.4简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成425

4.4简谐振动的合成研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便。如图4.11所示，两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2.当t=0时，它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上的投影分别为x1及x2.

A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为x=x1+x2，图4.11振动合成矢量图4.4简谐振动的合成研究此问题有两种简便的方法，用旋转26

4.4简谐振动的合成例4.6图4.12所示为两个同方向、同频率简谐振动的振动曲线。若这两个同方向的简谐振动可叠加，求合振动的振幅和相位。图4.12例4.6图4.4简谐振动的合成例4.6图4.12所示为两个同27

4.4简谐振动的合成4.4简谐振动的合成28

4.4简谐振动的合成图4.13例4.7图4.4简谐振动的合成图4.13例4.7图29

4.4简谐振动的合成两个同方向不同频率简谐振动的合成拍4.4.2如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。

为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A，初相都为φ，它们的运动方程可分别写成x1=Acos

(2πν1t+φ)

x2=Acos

(2πν2t+φ)4.4简谐振动的合成两个同方向不同频率简谐振动的合成拍30

4.4简谐振动的合成上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。

图4.14两个同方向不同频率的简谐振动的合成4.4简谐振动的合成上式不符合简谐振动的定义，所以合振31

4.4简谐振动的合成拍是一种很重要的现象，它在声学、电磁振荡和无线电技术中都有广泛的应用.例如，若已知一个高频振动的频率，使之与另一频率相近但未知的振动叠加，通过测量拍频，我们就可以进行未知频率的测量.在无线电技术中，调幅、调频以提高传输信号的能力，也是利用了拍的规律。拍现象还广泛运用于速度测量、地面卫星跟踪等技术领域。

4.4简谐振动的合成拍是一种很重要的现象，它在声学、电32

4.5阻尼振动前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。4.5阻尼振动前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条33

4.5阻尼振动4.5阻尼振动34

4.5阻尼振动式(4-25)为小阻尼时阻尼振动的位移表达式，其中，A0和φ0是由初始条件决定的两个积分常数，其振动曲线如图4.15所示。图4.15阻尼振动曲线4.5阻尼振动式(4-25)为小阻尼时阻尼振动的位移表35

4.5阻尼振动4.5阻尼振动36

4.5阻尼振动此时物体也不做往复运动，对应的是小阻尼与过阻尼之间的临界情况，与过阻尼相比，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短，故称为临界阻尼。图4.16反映的是三种不同情况时的位移时间曲线。

图4.16三种不同情况时的位移时间曲线4.5阻尼振动此时物体也不做往复运动，对应的是小阻尼与37

4.6受迫振动

共振阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基