成都市东湖中学八上数学函数的概念

成都市东湖中学八上数学函数的概念”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；成都市东湖中学八上数学函数的概念”通过阅读科技书籍，我们能丰1人们在认识和描述某一事物时,经常会用“量”来表达某些具体事物的特征(属性),同时用“数”来表明量的大小。

回顾旧知数和度量单位合在一起，就是“数量”。例如，我们居住的地球，可以用下列数量来描述它的一些特征：

平均半径6371.22千米

表面积510×106平方千米体积1083×10９立方千米质量598×1019吨地心最高温度5000℃自转一周所需的时间23时56分4.1秒绕太阳运行的平均速度29.77千米/秒

这里所涉及的量,有长度，面积，体积，质量，温度，时间，速度等。人们在认识和描述某一事物时,经常会用“量”来表达某些具体21.什么是变量?什么是常量?2.变量之间的关系有几种表示方法？在一个变化过程中,固定不变的量称为常量.在一个变化过程中,可以取不同数值的量称为变量.用图像表示，用表格表示，用关系式表示回顾旧知1.什么是变量?什么是常量?2.变量之间的关系有几种表示方法3回顾旧知

指出下列事件过程中的常量与变量⒈某水果店橘子的单价为２.５元／千克，买Ｋ千克橘子的总价为Ｓ元，其中常量是——————，变量是——————。⒉圆周长Ｃ与圆的半径r之间的关系式是Ｃ＝２πr，其中常量是——————，变量是——————

。⒊声音在空气中传播的速度v（m/s）与温度t（。Ｃ）之间的关系式是v＝３３１＋０.６t，其中常量是————————————，变量是—————。２.５Ｋ，Ｓ２，πＣ，r３３１，０.６V，t回顾旧知指出下列事件过程中的常量与变量２.５Ｋ，Ｓ２，π4假设小刚骑自行车到校上课匀速行驶，以每分钟5米匀速行驶。1分钟2分钟t分钟学校1、在小刚骑车到校这个过程中有哪些量？2、在上属量中，哪些是变量？哪些是常量？3、说出小刚骑车1分钟、2分钟、t分钟的路程分别是多少？4、在上属变量中，变量路程s和时间t的关系式假设小刚骑自行车到校1分钟2分钟t分钟学校1、在小刚骑车到校5问题一、你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？请你谈一谈自己的感受。探索新知问题一、你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你6O123456789101112h（米）t（分）探索新知O1234567897O1234567891011123h（米）t（分）探索新知O1234567898O123456789101112311h（米）t（分）探索新知O1234567899O12345678910111231137h（米）t（分）探索新知O12345678910O1234567891011123113745h（米）t（分）探索新知O12345678911O1234567891011123113745h（米）t（分）探索新知O12345678912O1234567891011123113745h（米）t（分）探索新知O12345678913O1234567891011123113745h（米）t（分）探索新知O12345678914根据图象填表：t/分012345……h/米……113745373右图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h(米)之间的关系。11探索新知根据图象填表：t/分012345……h/米……113745315探索新知对于给定的时间t

，相应的高度h确定吗？想一想本题中反应了哪两个变量之间的关系？旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h探索新知对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？想一想16瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放。1、随着层数的增加，物体的总数将如何变化？2、请填写下表：层数n12345……物体总数y……3610151问题2：瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放。1、随着层数的增加17探索新知对于给定的层数n

，相应的物体总数y确定吗？想一想本题中反应了哪两个变量之间的关系？层数n与物体总数y

探索新知对于给定的层数n，相应的物体总数y确定吗？想18在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）（1）计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？汽车速度v滑行距离s问题3：在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式19探索新知想一想本题中反应了哪两个变量之间的关系？汽车的速度v与滑行距离s对于给定的一个v值，你能求出相应的s值吗？这个S值确定吗？唯一吗？探索新知想一想本题中反应了哪两个变量之间的关系？汽车的速度v20议一议：

上面的三个问题中，有什么共同特点？①时间t

、相应的高度h；②层数n、物体总数y；③汽车速度v、滑行距离s。都有两个变量。注意：给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。议一议：上面的三个问题中，有什么共同特点？①时间t、相21

在某一变化过程中，有两个变量x、和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。一个x值一个y值y就是x的函数对应函数的概念：即：探索新知在某一变化过程中，有两个变量x、和y22

函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作。他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数23探索新知函数概念理解的三个要点a、函数的概念由三句话组成“一个变化过程”、“两个变量”、“x的每一个值都有唯一确定的y值与之对应”b、判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否存在关系，而是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；c、函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。探索新知函数概念理解的三个要点a、函数的概念由三句话组成“一24那么，以上三个问题，都用到了什么方法来表示函数呢？探索新知那么，以上三个问题，都用到了什么方法来表示函数呢？探索新知25根据图象填表：t/分012345……h/米……11113745373问题一：下图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h(米)之间的关系。图象法、列表法函数的表示法：根据图象填表：t/分012345……h/米……111137426问题二、瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放。想一想：请填写下表：层数n012345……n物体总数y……03610151列表法函数的表示法：问题二：瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放。想一想：请填写下表：层数n12345……n物体总数y……列表法函数的表示法：6101153问题二、瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放。想一想：请27问题三：在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）函数的表示法：关系式法（解析式法）问题三：在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有函28表示函数的方法一般有：探索新知可以用三种方法①图象法（用图像来表示函数）②列表法（把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数）③关系式法（又称解析法：用代数式来表示函数，用来表示函数关系的式子叫做函数关系式，函数关系式是等式，在书写时有顺序，一般写成：“函数=含自变量的代数式”的形式）表示函数的方法一般有：探索新知可以用三种方法29讨论：1、y与x的图象如图所示，问y是x的函数吗？xyo12-2判断甲变量是否是乙变量的函数，就看乙变量取一个值时，甲变量是否只有唯一值和它对应。巩固拓展讨论：1、y与x的图象如图所示，问y是x的函数吗？xyo130随堂练习：1、在y=3x+1中，如果x是自变量，y是x的_______2、下列说法中，不正确的是（）A、函数不是数，而是一种关系B、多边形的内角和是边数的函数C、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数函数C巩固拓展随堂练习：1、在y=3x+1中，如果x是自变量，311．张同学准备从现在开始学好数学，每天积累数学知识点，他现已掌握50个，从现在起每周积累3个．设x周后他学会了y个知识点,试写出他学会的知识点数与从现在开始的周数之间的函数关系式

，其中常量是

，变量是

，自变量是

，

是

的函数。y=50+3x50，3x，yxyx试一试：你学会了吗？

1．张同学准备从现在开始学好数学，每天积累数学知识点，他现已322．请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：

(1)y=3000-300x(2)S=570-95t(3)y=x

(4)

解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；

y是x的函数。你真的学会了吗？

(2)常量是570，－95；变量是t，s；自变量是t；s是t的函数。(3)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(4)常量是；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。2．请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：解：(1333．如图是体检时的心电图，其中图上的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，这个问题的变量是

，

是

的函数。x和yyx

Areyousure?你确定？

3．如图是体检时的心34试一试：看谁的眼光准！1.判断下列变量关系是不是函数？注意：函数与自变量之间是一种对应关系，并且要求对于x的每一个值、y都有唯一的值与之相对应。是不是试一试：看谁的眼光准！1.判断下列变量关系是不是函数？注意：35(1)xy=2;(3)x+y=5;(5)y=x2-4x+5(2)x2+y2=10;(4)|y|=x;(6)y=|x|

2.指出下列变化关系中，哪些y是x的函数，哪些不是？说出你的理由。是否是是否是该你显身手了！(1)xy=2;(2)x2+y2=10;2.指出363、变量y与x的关系如图，y是x的函数吗？是是不是不是xy②③xyxy④xy①3、变量y与x的关系如图，y是x的函数吗？是是不是不是xy②374.思考题：填表并回答问题：（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答：

。

（2）y是x的函数吗？为什么？x14916y=+2x2和－28和－818和－1832和－32不是答：不是，因为当x取一个值时，y的值不是唯一的。4.思考题：x14938函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数的解析式.S＝πr²

R³V＝34C=2

r如何书写呢？

通常等式的右边是含有自变量的代数式,左边的一个字母表示函数.39函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式112345671281011923456712810119562＋列函数解析式1.填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?问题1：

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式．40112345671281011923456712810119分析：

我们发现,横向的加数与纵向的加数之和为10,即x+y=10,通过这个关于x,y的二元一次方程,可以求出y与x之间的函数关系式：y=10－x112345671281011923456712810119562＋41分析：我们发现,横向的加数与纵向的加数之试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

yx问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式42

根据等腰三角形两个底角相等的性质，以及三角形内角和为180度，可以得到关于x,y的二元一次方程：2x+y=180分析：

利用变量之间的关系列出方程,再把方程变形,从而求出两个变量之间的函数关系.方程变形为：

y=180－2x43根据等腰三角形两个底角相等的性质，以及三如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式．问题3xxY如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为144探索1xy在用解析式表示函数时，自变量的取值往往有一定的范围思考1.在上面所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。(x取1到9的自然数)xxY探索1xy在用解析式表示函数时，自变量的取值往往有一定的范45自变量的取值范围y=10－x(0<x<10x为整数)y=180－2x(0<x<90)(0≤

x≤10)y=x²12

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做函数自变量的取值范围.46自变量的取值范围y=10－x(0<x<10x为整数)y=1例1

求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1 （2）y＝2x2＋7

（3）y=（4）y＝（1）（4）解：任意实数（2）任意实数（5）x≠-2x≥2（3）任意实数例1求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1472、函数的自变量的取值范围是（）尝试应用：1、下列问题中的变量y不是x的函数的是（）（A）x＞－2（B）x＜－2（C）x＝－2（D）x≠－2的全体实数CD2、函数的自变量的取值范围是（482.分式：3.二次根式：1.整式：怎样求自变量的取值范围5.对于混合式：取使每一个式子有意义的值取全体实数取使分母不为0的值取使“被开方数≥0”的值4.三次根式：取全体实数2.分式：3.二次根式：1.整式：怎样求自变量的取值范围5.491.求出下列函数中自变量的取值范围（1）y=2x（2）（3）解:x为任何实数解:由n-1≥0得n≥1解:由x+2≠0得x≠－2中自变量x的取值范围是

。函数y=函数y=中自变量x的取值范围是

。x≤101.求出下列函数中自变量的取值范围（1）y=2x（2）（3）502、求下列函数的自变量x的取值范围。解（1）∴x可以取全体实数（2）x+2≥05-x≥0∴-2≤x≤5∴x≤1且x≠－1（3）1-x≥0x+1≠02、求下列函数的自变量x的取值范围。解（1）∴x可以取全体51例2、小明用30元钱去购买每件价格为5元的某种商品，求他剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围解:依题意得y=30-5x0≤x≤6对于反映实际问题的函数关系，自变量的取值应使实际问题有意义知识拓展且x是自然数∴x的取值范围是例2、小明用30元钱去购买每件价格为5元的某种商品，求他剩余52某中学校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年再增加2万元，年产值y（万元)与年数x的函数关系式是其中自变量取值范围是y=2x+15X≥1且为正整数一支铅笔0.5元，买x支铅笔要y元，则y与x的函数关系式是，其中x的取值范围是y=0.5xX≥0且为正整数

某中学校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年再增加2万元53例3、已知函数y=，求（1）当x=1时，函数y的值。（2）当y=3时，自变量x的值。解：（1）把x=1代入函数式，得（2）把y=3代入函数式，得=例3、已知函数y=，求（1）当x=1时，函54函数

如果在一个变化过程中,有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,y是x的函数.1.函数的定义2.函数关系式

用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数的解析式.3.求函数解析式的方法小结：55函数如果在一个变化过程中,有两个变量x与y,小结：4函数自变量的取值范围:5求自变量取值范围的方法：

根据使实际问题有意义,以及使数学式子有意义,列出不等式或不等式组,求出解集,即为自变量的取值范围.

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做函数自变量的取值范围.56小结：4函数自变量的取值范围:5求自变量取值范围的方法活动一

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息?T/℃O活动一下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春5741424t/时8T/℃0横坐标表示

，纵坐标表示

随

的变化而变化?-3时间温度T时间t温度T时间t41424t/时8T/℃0横坐标表示，纵58T/℃北京的春季某天气温T随时间t变化而变化的规律如图所示：Ot/h1.哪个时间温度最高？是多少度？2.哪个时间温度最低？是多少度？3.什么时间段温度在下降？什么时间段温度在上升？4.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上的时间长？245.曲线与x轴的交点表示什么？T/℃北京的春季某天气温T随时间t变化而变化的规律如59

可以认为气温T是时间t的函数，由它的函数图象可知：（1）这一天凌晨时气温最低(℃），时气温最高（℃）；

（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时到24时气温又呈下降状态；

（3）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少；

（4）如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多的信息，掌握更多的气温变化规律．可以认为气温T是时间t的函数，由它的函数图象可60

活动结论：1．一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应．可以认为，气温T是时间t的函数．2．这天中凌晨4时气温最低为一3℃，14时气温最高为8℃．3．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．4．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．5．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律．活动结论：1．一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应．可61思考：1.在___点和___点的时候,两地气温相同;2.在___点到___点和___点到___点之间,

上海的气温比北京的气温要高.3.在__点到__点之间,上海的气温比北京的气温要低.712712071224思考：1.在___点和___点的时候,两地气温相同;712762活动二下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．小明家，菜地，玉米地在同一条直线上。从家到菜地从菜地到玉米地从玉米地回家活动二下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地63小明从家到菜地在菜地浇水从菜地到玉米地给玉米地锄草从玉米地回家小从家到菜地在菜地浇水从菜地到玉米地给玉米地锄草从玉米地回家64你能回答下列问题了吗?小明1.从家到菜地用了多少时间?

菜地离小明家有多远?2.小明给菜地浇水用了多少时间?3.从菜地到玉米地用了多少时间?

菜地离玉米地有多远?4.小明给玉米地锄草用了多少时间?5.玉米地离家有多远?小明从玉米地回家的平均速度是多少?你能回答下列问题了吗?小1.从家到菜地用了多少时间?2.小65y/千米x/分o1.121525375580解：由图象的横纵坐标来看：（1）菜地离小明家1.1千米，小明从家到菜地用了15分；（2）小明给菜地浇水用了25－15=10

分；（3）菜地离玉米地2－1.1=0.9

千米，小明从菜地到玉米地用了37－15=12分；

（4）小明给玉米地锄草用了55－37=18

分；（5）玉米地离小明家2千米；小明从玉米地走回家用了80—55=25

分，平均速度是0.08千米／分．y/千米x/分o1.121525375580解：由图象的横纵66活动结论1．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟．2．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟3．由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9千米．由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟．4．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．5．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0.08(千米／分钟)．活动结论1．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标67

我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息．现在我们进行巩固练习，看你能否快速、全面而准确地读出函数图象中的信息。我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息．现68１．小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（

）．D

巩固与检测A．x/分y/米O150010005001020304050B．x/分y/米O15001000500102030405015001000500C．x/分y/米O1020304050D．x/分y/米O102030405015001000500１．小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到692．近一个月来漳州市遭受暴雨袭击，九龙江水位上涨．小明以警戒水位为原点，用折线统计图表示某一天江水水位情况．请你结合折线统计图判断下列叙述不正确的是（）．Ａ．8时水位最高 Ｂ．这一天水位均高于警戒水位Ｃ．8时到16时水位都在下降Ｄ．P点表示12时水位高于警戒水位0.6米C时间／时048121620240.20.40.60.81.0水位／米P2．近一个月来漳州市遭受暴雨袭击，九龙江水位70

3．一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一定的．已知水池的容积为800升，又知单开进水管20分可把空水池注满；若同时打开进、出水管，20分可把满水池的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管3分，再打开出水管，两管同时开放，直至把水池中的水放完，则能确定反映这一过程中水池的水量t（升）随时间（分）变化的函数图象是（）．320200Ｏ38y/升x/分Ａ．320200Ｏ311y/升x/分Ｂ．200Ｏ311y/升x/分Ｃ．320200Ｏ311y/升x/分Ｄ．B3．一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一714．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（）．Ａ．李华先到达终点 Ｂ．