2024年高三数学极光杯线上测试(一) 参考答案

2024年“极光杯”线上测试（一）数学参考答案一、选择题1．A5．C

2．C6．A

3．D7．A

4．B8．D二、选择题9．AD

10．ACD

11．BD

12．ABD三、填空题13．10

14．215．

12

16．1；(

102

,

105

4554四、解答题17．解：（1）由题设条件知f(x)的最小正周期T

2

2(

23

663

6

6令2k

2

2x

6

2k

2

36令2k

2

2x

6

2k

32

，得f(x)的单调递减区间为[k

6

,k

23

](kZ)．6

6

6666点，因此32

2a

6

52

，27362024年测试（一）参考答案第1页（共4页）)(,))，所以2．又因为f()sin()1，0，所以，f(x)sin(2x)．)(,))，所以2．又因为f()sin()1，0，所以，f(x)sin(2x)．，得f(x)的单调递增区间为[k,k](kZ)，（2）由题可知g(x)sin(2ax)，所以当x(0,)时，2ax(,2a)．若g(x)在区间(0,)恰有两个极值点，则ysinx在区间(,2a)恰有两个极值解得a的取值范围是(,]．18．解：（1）由题设知Y服从二项分布B(50,0.6)，所以E(Y)500.630，D(Y)500.60.412．（2）（i）统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若患者i受益于新治疗方案，则其指标I的值x满足f(x)0，否则|f(x)|1，会iii被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1．统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：若患者i接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值x满足if(x)[f(x)1]0，ii若指标I偏高，则f(x)[f(x)1]2，ii

f(x)[f(x)1]ii2

1，会被统计量B计入，且每位未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数值加1．（ii）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中X的观测值大于Y的观测值．由（i）知Y的观测值y50A，因此，当50A30，即A20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；当50A30，即A20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当50A30，即A20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案．19．解：（1）取CF中点M，DE中点N，连结AM，BN，MN．因为底面CDEF是矩形，AB//底面CDEF，平面ABCD底面CDEFCD，所以AB//CD//EF，而MN//CD，所以A，B，M，N共面．由题设知△ACF，△BDE都是正三角形，所以CFAM，DEBN．因为底面CDEF是矩形，所以CF//DE，则CFBN，CF平面ABMN．记A在MN，CD，EF上的射影分别为A，A，A，则CFAA，且MNAA，12333所以AA1．而AAAAMCMF1，所以△AAA是以A为顶点的等腰直角三1121323角形，AAAA．23又因为AAEF，所以AACD，从而AA平面ABCD．222而AA平面ABEF，所以平面ABCD平面ABEF．22024年测试（一）参考答案第2页（共4页）（2）（i）因为CF//DE，所以CF//平面BDE．由线面平行的性质可知，CF//l，其中l平面ACF平面BDE．而l底面CDEF，所以l//底面CDEF．（ii）由（1）知A，B，M，N共面，所以AM和BN有交点，记为G．所以Gl，l到底面CDEF的距离等于G到底面CDEF的距离．因为AMBN3，所以四边形ABNM是等腰梯形，AMNBNM，因此

2dMN

AAMA1由几何关系可知MAMA2AA22，MNAB2MA222，111代入计算得d120．解：

22

．（1）由题设知aa12a，即a(q1)21；daaa(q1)1321211

1q1

．因此当q1时，qdq1

1q1

13，当q1

1q1

，即q2时等号成立．所以qd的最小值为3．（2）aaq10111

q10(q1)2

，令f(q)

q5q1

，q1．f(q)

q4(4q5)(q1)2

，令f(q)0得q0

54

55445

11

54

．此时a16，a20，a25．a不是偶数，所以aA，aA(n5)．12334n所以当a取最小值时，A中所有元素之和为16202561．1121．解：（1）设A(4t2,4t)，t0，则|AB|2(4t21)2(4t4)216t424t232t17．设f(t)16t424t232t17，f(t)16(4t33t2)16(2t1)(2t2t2)．14

158

0，所以令f(t)0得t0

12

1211222024年测试（一）参考答案第3页（共4页）1，其中d为G到底面CDEF的距离．1，其中d为G到底面CDEF的距离．，f(q)在(1,)单调递减，在(,)单调递增，因此f(q)的最小值点是，af2(q)取最小值时，q4因为2t2t22(t)2，f(t)在(,)单调递减，在(,)单调递增，故f(t)的最小值为f()8，|AB|的最小值为22．（2）由题可知tanOCB

43

，tanACO

|t|t21

12当t0时，ACBOCBACO，所以tanACB

43tanACO34tanACO

．该式是关于tanACO的减函数，所以

12

tanACB

43

；当t0时，ACBOCBACO，所以tanACB

43tanACO34tanACO

．该式是关于tanACO的增函数，所以

43

tanACB

112

；144112332

]．（3）由（2）知，tanACO所以ACOACB．22．解：

12

tanACB，且0ACO90，（1）f(x)

1xex

，则曲线yf(x)在点(t,f(t))处切线l的斜率为

1tet

．若l平行于直线yx2，则

1tt

1，即ett1．设(t)ett，(t)et10，所以(t)在(,)单调递增．而(0)1，所以方程(t)1有唯一解t0．故曲线yf(x)平行于直线yx2的切线只有一条，即在(0,0)处的切线yx．（2）因为g(x)g(x2)，所以g(x)的一个周期是2．g(x)esinxcosxecosxsinx(

cosxcosx

sinxsinx

)esinxcosxesinxcosx[f(cosx)f(sinx)]，而esinxcosx0，因此g(x)的正负与f(cosx)f(sinx)的正负一致．由（1）知当x1时，f(x)0，则f(x)单调递增，所以f(cosx)f(sinx)等价于cosxsinx，f(cosx)f(sinx)等价于cosxsinx．由ysinx和ycosx的图像知，当x(2k

34

4当x(2k

4

,2k

54

)(kZ)时，cosxsin