2024年浙江省温州市高考数学二模试卷（含解析）

2024年浙江省温州市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z∈C，则“z2∈R”是“z∈R”的(

)A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件2.已知集合M={x|y=x+1}，N={y|y=x+1A.⌀ B.R C.M D.N3.在正三棱台ABC−A1B1A.VABC−A1B1C1=3VA14.已知a=sin0.5，b=30.5，c=log0.30.5，则a，b，A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a5.在(3−x)(1−x)5展开式中，x的奇数次幂的项的系数和为(

)A.−64 B.64 C.−32 D.326.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且{Sn}单调递增.A.[0,53) B.[0,107)7.若关于x的方程|x2+mx+1|+|x2−mx+1|=2|mx|A.[2,52) B.(2,52)8.已知定义在(0,1)上的函数f(x)=1n,x是有理数A.f(x)的图象关于x=12对称 B.f(x)的图象关于(12,12)对称

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(−3,4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y=−x对称，则(

)A.cos(π+α)=35 B.β=2kπ+π2+2α(k∈Z)

C.10.已知圆C1：x2+y2=6与圆C2：x2+y2+2x−a=0相交于AA.10 B.2 C.223 D.11.已知半径为r球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部(包括边界)，记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为d，则(

)A.r有最大值，但无最小值 B.r最大时，球心在正四面体外

C.r最大时，d同时取到最大值 D.d有最小值，但无最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.平面向量a，b满足a=(2,1)，a/​/b，a⋅b=−13.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=12AD，点E是AD的中点.现将△ABE沿BE翻折到△A′BE，将△DCE沿CE翻折到△D′CE，使得二面角A′−BE−C等于60°，D′−CE−B等于90°，则直线A′B与平面D′CE14.已知P，F分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csinB=2b.

(1)求C；

(2)若tanA=tanB+tanC，a=2，求△ABC16.(本小题15分)

已知直线y=kx与椭圆C：x24+y2=1交于A，B两点，P是椭圆C上一动点(不同于A，B)，记kOP，kPA，kPB分别为直线OP，PA，PB的斜率，且满足k⋅kOP=kPA⋅kPB．17.(本小题15分)

红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x(万元)与年收益y(万元)的8组数据：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4(1)用y=blnx+a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；

(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.(精确到0.1万元)

附：①回归直线a=bv+ai=1i=1i=1i=1i=11612920400109603③ln2≈0.7，ln5≈1.618.(本小题17分)

数列{an}，{bn}满足：{bn}是等比数列，b1=2，a2=5，且a1b1+a2b2+…+anbn=2(an−3)bn+8(n∈N∗).

(1)求an19.(本小题17分)

如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：

①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；

②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；

③曲线Γ的导函数在点A处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C在点A处的二阶导数(已知圆(x−a)2+(y−b)2=r2在点A(x0,y0)处的二阶导数等于r2(b−y0)3)，则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径．

答案和解析1.【答案】B

解：已知z∈C，则z=i时，符合z2=−1∈R，但是不满足z∈R；

若z∈R，则一定有z2∈R；

则“z2∈R”是“z∈R”的必要条件但不是充分条件．

故选：2.【答案】D

解：M={x|y=x+1}={x|x≥−1}，

N={y|y=x+1}={y|y≥0}，

故M∩N=N．

故选：D．

先求出集合3.【答案】D

解：对于A，设正三棱台上底面边长为a，下底面边长为b，高为ℎ，

则V三棱台ABC−A1B1C1=13ℎ(34a2+34b2+34ab)，

V三棱锥A1−BB1C1=V三棱锥B−A1B1C1=13ℎ⋅34a2，

因为a<b，所以选项A错误；

对于B，由正三棱台的结构特征知，∠AA1B1为钝角，所以AA1与AB1不垂直，

所以棱AA1与平面AB1C1不垂直，选项B错误；

对于C，A1B⋅B1C=(A1B1+B1B)⋅4.【答案】B

解：设函数f(x)=x−sinx，x∈(0,π2)，

则f′(x)=1−cosx≥0，

∴f(x)在(0,π2)上单调递增，

∴f(x)>f(0)=0，即x>sinx，

∴0.5>sin0.5，即a<12，

∵12=log0.30.3<log0.30.25=log0.30.5<log0.30.3=1，∴125.【答案】A

解：在(3−x)(1−x)5的展开式中，

设f(x)=(3−x)(1−x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，

令x=1，则f(1)=a0+a1+a2+a3+6.【答案】A

解：根据题意，若{Sn}单调递增，

则当n≥1时，有an+1=Sn+1−Sn>0，即数列{an}中，当n≥2时，有an>0，

又由a5=5，必有d≥0，

则有a2=a5−3d=5−3d>0，解可得7.【答案】C

解：设A=mx，B=x2+1，

则|A+B|+|B−A|=2|A|，

即2|A|=|A+B|+|B−A|=|A+B|+|A−B|≥|A+B+A−B|=2|A|，

所以A+B和A−B同号，

所以(A+B)(B−A)≤0，

即(x2+1)2−m2x2≤0，

即x4+(2−m2)x2+1≤0，

设t=x2，

则t2+(2−m2)t+1≤0，其两根t1⋅t2=1>0，

结合t的定义知t1，t2均是正根，

设t1<t2，

则t1∈(0,1)，则t2>1，

设8.【答案】A

解：对于A项，当x是有理数时，设x=mn(m<n)，则f(x)=1n，1−x=n−mn，由于n−m和n互质，

所以f(1−x)=1n，故A正确；

对于B项，f(1−32)=1,f(32)=1，故B错误；

对于C项，f(12)=12，f(34)=14，故C错误；

对于D项，设f(x)有最小值19.【答案】ACD

解：由题意可知，cosα=−35，sinα=45，所以sin2α=2sinαcosα=−2425，

cos2α=2cos2α−1=−725，所以θ(−7,−24)是2α终边上一点，

所以θ′(24,7)是β终边上一点，即cosβ=2425，sinβ=725，

A项：cos(π+α)=−cosα=35，故正确；

C项：tanβ=sinβcosβ=3510.【答案】BD

解：两圆圆C1：x2+y2=6与圆C2：x2+y2+2x−a=0相交于A，B两点，

两圆的公共弦为2x−a+6=0；

所以x=12a−3，

两圆的圆心距为1，

设圆心C1：到直线x=12a−3的距离d1=|12a−3|，圆心C2到直线的距离d2=|12a−2|，

由于S△C1AB=2S△11.【答案】ABD

解：如图，不妨设球与顶点出发的三个平面相切，易知球心O在AH上(H是△BCD中心)，

与三个面的切点O1，O2，O3分别在AG，AE，AF上，

在△AED中，易知EH=36，HD=33，AH=63，则sin∠EAH=13，

则r=AO⋅sin∠EAH=13AO，又AO2=AO⋅cos∠EAH=223AO，且AO2≤AE=32，

则223AO≤32⇒AO≤368，故r=13AO≤68，

故r有最大值，且为68，故A正确；

当rmax=68时，AO=368>AH=63，此时O在四面体外，故B正确；

又OB=OC=OD=OH2+HD2=OH2+13，

故d=OA+3OD=OA+3OH2+13，

①当O在线段AH上时，OA+OH=AH=63，

设OH=x∈[0,63)，此时d=63−x+3x2+12.【答案】2解：平面向量a，b满足a=(2,1)，a/​/b，a⋅b=−10，

设b=(2t,t)，

又a=(2,1)，

所以a⋅b=4t+t=5t=−10，

13.【答案】37解：设BE中点为G，连接A′G，C′G，过A′作A′O⊥CG于O，

则∠A′GC为二面角A′−BE−C的平面角，且A′G⊥平面BCE，

设AD=4，则AB=AE=BC=CD=2，则△ABE，△BCE为等边三角形，

则A′G=3，A′O=A′G⋅sin60°=32，OG=A′G⋅cos60°=32，

以EC中点H为原点，HC为x轴，HB为y轴，HD′为z轴建立空间直角坐标，如图所示：

则B(0,3,0)，A′(14,34,32)，

易知平面D′CE法向量为n=(0,1,0)，BA′=(14,−334,32)，

n⋅BA′=−334，|n|=1，|BA′|=116+2716+94=2，

cos<n，BA′>=n⋅BA′|n|⋅BA′14.【答案】7+23解：已知P，F分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共点和公共焦点，直线PF倾斜角为60°，

设直线PF的方程为y=3(x−p2)，

联立y=3(x−p2)y2=2px，

消y可得12x2−20px+3p2=0，

即x=3p2或x=p6，

则P(32p,3p)或P(16p,−33p)，

15.【答案】解：(1)因为2csinB=2b，由正弦定理可得2sinCsinB=2sinB，

在△ABC中，sinB>0，

可得sinC=22，而C∈(0,π)，

可得C=π4或C=3π4；

(2)因为tanA=tanB+tanC，

由恒等式tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC，得2tanA=tanAtanBtanC，得tanBtanC=2，

所以只可能是tanC=1，tanB=2，此时【解析】(1)由正弦定理可得sinC的值，进而求出角C的大小；

(2)由三角形中恒等式tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC，可得tanC的值，tanB的值，tanA的值，再求出sinB，sinA的值，由正弦定理可得16.【答案】解：(1)设A(m,n)，B(−m,−n)，P(s,t)，则m24+n2=s24+t2，

所以kPA⋅kPB=t−ns−m⋅t+ns+m=t2−n2s2−m2=14(m2−s2)s2−m2=−1【解析】(1)设A，P的坐标，由题意可得B的坐标，将A，P的坐标代入椭圆的方程，求出直线PA，PB的斜率之积，求出直线OP的方程，与椭圆的方程联立，可得点P的坐标；

(2)由(1)可得|OP|2，联立直线y=kx方程与椭圆的方程，可得|AB|2的表达式，求出|OP|17.【答案】解：(1)b=i=18yilnxi−8⋅i=18yi8⋅i=18lnxi8i=18(lnxi)2−8⋅(i=18lnxi8)2=603−【解析】(1)由题意求得a​和b​，即可求解；

(2)设投入x万元生产食品淀粉，(200−x)万元生产药用淀粉，求得y总=5lnx−0.1x+22，设18.【答案】解：(1)因为a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1+anbn=2anbn−6bn+8，①

当n=1时，a1b1=2a1b1−6b1+8=2a1b1−4，所以a1=2，

当n≥2时，a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1=2an−1bn−1−6bn−1+8，②

①−②得：anbn=2anbn−2an−1bn−1−6bn+6bn−1，即anbn−2an−1bn−1−6bn+6bn−1=0，

设数列{bn}公比为q(q≠0)，

则q⋅an−2an−1−6q+6=0，

当n=2时，a1b1+a2b2=2a2b2−6b2+8，

又因为a2=5，【解析】(1)利用赋值法，通过求解数列的递推关系式，转化求解即可．

(2)求