排列、组合综合应用（答案版）

深圳外国语学校（集团）龙华高中部 高二同步学案编者：小二柴2024年3月26日第第页排列组合综合应用一、例题讲解题型一先选后排问题例1有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种.答案：432题型二配对问题例2设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），⑴则恰有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？⑵则恰有一个小球和盒子编号相同的放法有多少种？答案：20练习1：从5双不同的袜子中任取4只，则恰有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？答案：120题型三相同元素问题例3现准备将7台型号相同的电脑分配给5所小学，每个学校至少1台，则不同的分配方案共有（）A．13种B．15种C．20种D．30种答案：B练习2：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有________种分配方案.答案：84练习3：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________．答案165解析问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为Ceq\o\al(3,11)＝165.练习4：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程自然数解的组数为________．答案455例4马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案C解析根据题意，可分为两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)．练习5：某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有（）A．36种 B．24种 C．18种 D．9种【来源】云南省保山一中2017-2018学年高二下学期期末考试理数试卷【答案】C【分析】分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数．【详解】甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有C32种；（2）都抢到5元的红包，有C3【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类．题型四古典概型与排列组合例5（2021全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【来源】2021年全国高考甲卷数学（文）试题【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为610故选：C.二、课后巩固1．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.2.（2020新高考I卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【来源】2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷）【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C6然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C5最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C6故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.3.（2021全国甲卷理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．13 B．25 C．23【来源】2021年全国高考甲卷数学（理）试题【答案】C【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C51=5所以2个0不相邻的概率为105+10故选：C.4．（2019全国乙卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．516 B．1132 C．2132【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C63，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．5．（2022新高考II卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【来源】2022年新高考全国II卷数学真题【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B6．受疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．240种 B．120种 C．188种 D．156种【答案】B【分析】根据题意，按甲班位置分3种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算即可.【详解】解：根据题意，按甲班位置分3种情况讨论：（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；由加法计数原理可知共有种方案，故选：B【点睛】此题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题7．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A．种B．种C．种D．种答案：D8．为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（

）A．49 B．2027 C．1627【来源】广东省广州市番禺区2022-2023学年高二下学期期末数学试题【答案】D【分析】根据分组分配法求出分配方案数后，由古典概型概率公式计算出概率．【详解】由题意知，每个人都有去三个小区的可能性，即总共有34三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员，第一类，两个小区分别为3人、1人，总共有C3第二类，两个小区分别为2人、2人，总共有C3所以三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为18+2481故选：D9．将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（

）A．18 B．16 C．112【来源】【名校面对面】2022-2023学年高三大联考（1月）理数试题【答案】B【分析】求出任意放球共有A5【详解】由题得任意放球共有A5第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有C5第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有5,3,4,所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有10×2=20种方法．由古典概型的概率公式得恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为P=20故选:B10.（多选）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4、A5是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，现在甲需要从道路网M出发，随机选择一条沿街的最短路径走到NA．如果甲需要经过A5，那么从M到NB．如果甲需要经过A2，那么从M到NC．如果甲需要经过A3，那么从M到ND．甲从M到N的线路一共有70条；【答案】BCD【分析】结合分步计数原理以及分类计数原理逐项分析即可求出结果.【详解】如果甲需要经过A5，那么从M到N如果甲需要经过A2，从M到A2共有C41=4条，从A2到N共有C4如果甲需要经过A3，从M到A3共有C42=6条，从A2到N共有C4因此从从M到N的线路有C8故选：BCD.11．（2020新高考II卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.【来源】2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）【答案】36【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：C现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6×6=36种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.（2023新高考Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【来源】2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题【答案】64【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C4（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C4综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.故答案为：64.13．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有种分配方法.【来源】福建省莆田市第七中学、第十一中学、第十五中学等校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题【答案】40【分析】选一位老师坐第一辆车，再选3名学生坐第一辆车，列式计算即得.【详解】选一位老师坐第一辆车，共C21种选法，再选3名学生坐第一辆车，共余下的老师和3名学生坐第二辆车，所以不同的分配方法共有C2故答案为：4014.（教材28页）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有________种不同情况．【答案】54【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次情况，故5人的名次排列可能有54种不同情况．15．某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则有种不同的情况.【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题【答案】60【分析】可分2步进行分析：①在5人中任选2人，抢两个2元的红包；②经剩下的2个红包分给剩下的3人中的2个人，最后由分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分2步进行分析：①在5人中任选2人，抢两个2元的红包，有C5②经剩下的2个红包分给剩下的3人中的2个人，有A3由分步计数原理可得，共有10×6=60种不同的情况．故答案为60.【点睛】本题主要考查了排列、组合及计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16．（浙江卷）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．【答案】60【解析】试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有