课时2 数列中的递推公式与性质

.1课时2数列中的递推公式与性质【学习目标】1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算)2.理解数列的单调性,会判断数列的单调性,会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象)3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模)【自主预习】预学忆思1.什么是数列的递推公式?【答案】如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式.2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项?【答案】用递推公式给出一个数列,必须给出:(1)递推“基础”——数列{an}的第1项(或前几项).(2)递推关系——数列{an}的第n项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个式子来表示.3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系?【答案】递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法;(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式4.数列是特殊的函数,我们知道函数有单调递增函数,单调递减函数,那么数列有单调性吗?若有,如何判断数列的单调性?【答案】有些数列具有单调性,在数列{an}中,若an+1>an,n∈N+,则{an}是递增数列;若an+1<an,n∈N+,则{an}为递减数列.这也是判断数列单调性的依据.自学检测1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有些数列可能不存在最大项.()(2)所有的数列都有递推公式.()(3)所有数列都具有单调性.()(4)在数列{an}中,若an=n-3n+2,则{an}是递减数列.(【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2.数列1,12,14,18,…的递推公式可以是(A.an=12n(n∈N+) B.an=12n(C.an+1=12an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+【答案】C【解析】由题意可知选项C符合题意,故选C.3.已知数列{an}的通项公式为an=log12(n+1),则数列{an}是数列.(填“递增”或“【答案】递减【解析】因为an-an-1=log12(n+1)-log12n=log121所以an<an-1,所以{an}是递减数列.4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项.【解析】由题意得a3=a2+2a1=4,a4=a3+2a2=8,a5=a4+2a3=16,故该数列的前5项依次为1,2,4,8,16.【合作探究】探究1：数列的递推关系情境设置已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.问题1:写出前五排的座位数.【答案】20,22,24,26,28.问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系?【答案】第n+1排比第n排多2个座位.问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗?【答案】能.an+1=an+2.问题4:仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗?【答案】不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.新知生成数列的递推公式如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件.微点评:由递推公式和初始条件可确定数列{an},这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型.新知运用一、利用数列的递推公式求数列的项例1若数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1-an,n∈N+,求【解析】a2=1+a11-aa3=1+a21-a2a4=1+a31-a3a5=1+a41-a4=1+…∴{an}是周期为4的数列,∴a2023=a4×505+3=a3=-12【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而对于递推公式,则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.二、利用递推公式求通项公式例2(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1n-1n+1(n∈N+),则an=(A.1n B.2n-1n C.(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=nn+1an(n∈N+),则an=(A.n+1 B.n C.1n+1 D【答案】(1)B(2)D【解析】(1)(法一:归纳法)数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1-12=2-12=a3=32+12-13=2-1a4=53+13-14=2-1a5=74+14-15=2-1由此可得数列的一个通项公式为an=2n-1n(n∈N+)(法二:迭代法)a2=a1+1-12a3=a2+12-1an=an-1+1n-1-1n(则an=a1+1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n=2-又a1=1也适合上式,所以an=2n-1n(n∈N+)(法三:累加法)an+1-an=1n-1a1=1,a2-a1=1-12a3-a2=12-1a4-a3=13-1…an-an-1=1n-1-1n(以上各式相加得an=1+1-12+12-13+…+1所以an=2n-1n(n≥2)因为a1=1也适合上式,所以an=2n-1n(n∈N+)(2)因为数列{an}满足an+1=nn+1an(n∈N+),所以an+1a所以an=anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1=n-1n×n-2n-1×…【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.巩固训练1.(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-1an+1,能使an=3的n可以为(A.22 B.24 C.26 D.28【答案】AD【解析】由a1=3,an+1=-1an+1,得a2=-14,a3=-43所以数列{an}是周期为3的数列,故a22=a3×7+1=a1=3,a28=a3×9+1=a1=3.2.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),则a5=,由此归纳出{an}的一个通项公式为,a8=.

【答案】63an=2n+1-1511【解析】∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15,a4=2a3+1=31,a5=2a4+1=63.可以归纳出an=2n+1-1,∴a8=29-1=511.3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求数列{an}的通项公式.【解析】(1)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2(n≥2),将这些式子的两边分别相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1)(n≥2),即an-a1=2(n-1)(n≥2).又a1=1,∴an=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也满足上式,故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由an+1=3an得an+1a因此a2a1=3,a3a2=3,a4a将上面的(n-1)个式子相乘可得a2a1·a3a2·a4a3即ana1=3n-1∴an=a1·3n-1(n≥2).又a1=2,∴an=2·3n-1(n≥2).当n=1时,a1=2也符合上式,∴an=2·3n-1.探究2：数列的单调性情境设置观察下面的数列,回答问题.(1)2,32,43,(2)-13,16,-19(3)0.8,0.88,0.888,….问题1:写出(1)(2)(3)的通项公式.【答案】(1)所给数列可写成1+11,2+12,3+13∴原数列的一个通项公式为an=n+1n(n∈N+)(2)所给数列可写成(-1)1×13×1,(-1)2×13×2,(-1)3×13×3,(-1)4∴原数列的一个通项公式为an=(-1)n×13n=(-1)n3n(n(3)所给数列可写成891-110,891-1102,891-1∴原数列的一个通项公式为an=891-110n(n∈N+问题2:观察(1)(2)(3)中数列,从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系?【答案】(1)中从第二项起每一项都比它前一项小;(2)中从第二项起有些项比它前一项大,有些项比它前一项小;(3)中从第二项起每一项都比它前一项大.新知生成数列的单调性一般地,对于一个数列{an},如果从第二项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,n∈N+,那么这个数列叫作递增数列;如果从第二项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,n∈N+,那么这个数列叫作递减数列;如果从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫作摆动数列;各项都相等的数列叫作常数列.新知运用一、判断数列的单调性例3判断数列an=n2n2【解析】因为an=n2n2+1,所以an=n2+1-1n2+1=1-1n2+1,当n增大时,1n【方法总结】判断数列单调性的方法(1)作差比较法:①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.(2)作商比较法:①若an>0,则当an+1an>1时,数列{a当an+1an<1时,数列{a当an+1an=1时,数列{a②若an<0,则当an+1an<1时,数列{a当an+1an>1时,数列{a当an+1an=1时,数列{a二、求数列的最大(小)项例4已知an=9n(n+1)10n(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;【解析】(法一:函数单调性法)令f(n)=an,则f(n+1)-f(n)=an+1-an=9n+1(n+2)10n+1-9n当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,所以{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,所以a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+1<an,所以{an}在n>8时单调递减.所以数列{an}的最大项是第8项和第9项,为a8=a9=99(法二:不等式组法)设an最大,则an≥a即9解得8≤n≤9.又因为n∈N+,所以n=8或n=9.故{an}的最大项为a8=a9=99【方法总结】求数列最值的方法(1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项.(2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足an≥an-1,an≥an+1(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值巩固训练已知数列{an}的通项公式为an=n-(1)讨论数列{an}的单调性;(2)求数列{an}的最大项和最小项.【解析】(1)已知数列{an}的通项公式为an=n-254n-255=1据此可得1>a1>a2>a3>…>a15,a16>a17>a18>a19>…>1,即当n<16(n∈N+)时(2)由(1)知,数列{an}的最大项为a16,最小项为a15.【随堂检测】1.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),则该数列的第5项为().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.2.已知数列{an}的通项公式为an=n·23n(n∈N+),则数列{an}中的最大项为().A.89 B.23 C.6481【答案】A【解析】因为数列{an}的通项公式为an=n·23n,显然an>0,令anan-1≥1,anan+1≥1,即n·23n(n-1)·23n-1≥1,n·23n(n+1)·23n+1≥1,得2≤n≤3,