空间点、直线、平面的位置关系 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的关系8.4.2空间点、直线、平面的位置关系复习与引入

前面我们认识了空间中点、直线、平面的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等.你还能想起这些关系吗？图形语言文字语言符号语言①

②③④⑤图形语言文字语言符号语言⑥⑦⑧

那么空间中的点、直线、平面到底有怎样的位置关系吗?我们接下来就来探讨这个问题知识探究(一)

问题1：长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系.

我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察下图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗?BDCA'B'C'D'A

思考(1)：如何有序地思考这个问题？需要研究哪一些关系?

点与直线，

点与平面，直线与直线，直线与平面，平面与平面.

思考(2)：点与直线，点与平面的位置关系是怎样的，请结合图形解释?点与直线的位置关系有两种：点在直线上；点在直线外.点与平面的位置关系有两种：点在平面内；点在平面外.线线BDCA'B'C'D'A

问题2：点与直线，点与平面的位置关系我们已经比较熟悉了，接下来我们来研究空间中直线和直线的位置关系.知识探究(二)

观察右图中的长方体，你能归纳出空间中直线和直线的位置关系有哪些种类吗？

①平行直线.

如直线A′B′与D′C′，它们在同一个平面A′B′C′D′内，它们没有公共点.

②相交直线.

如直线AB与BC，它们在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B.

③两条直线不同在任何一个平面内.

如直线

AA'与CD，它们不仅不在图中给出的平面内，而且还不可能在任何一个我们未给出的平面内.

象这种位置关系的两条直线，我们称为异面直线.思考(1)：你能说说什么是异面直线吗？BDCA'B'C'D'A异面直线1.异面直线定义:

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。没有在同一个平面的可能性，即同时过这两条直线的平面不存在。思考(3)：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？不一定.它们可能异面，可能相交，也可能平行.

思考(2)：你能用笔或尺子摆出一些异面直线的位置，验证一下它们确实不同在任何一个平面内吗？试试看.BDCA'B'C'D'A

思考(4)：下图中与AA'

异面的直线，除CD外还有哪一些？

思考(5)：我们在作图时，如何才能体现出异面直线不共面的特点？2.异面直线的画法:αabαabαβba

为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常要借助一个或两个辅助平面衬托.

思考(6)：拿出两支笔，看作两条直线，再看一看它们之间的位置关系有几种？相交直线:平行直线:共面直线异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点

同一平面内,有且只有一个公共点.

同一平面内，没有公共点.1.根据两条直线是否共面分:空间直线间的位置关系2.根据两条直线公共点的个数分:平行直线异面直线没有公共点有且只有一个公共点:相交直线

思考(7)：我们根据前面的学习，你能给空间直线的位置关系作一个分类吗？你分类的标准是什么，结果又是怎样的？线面BDCA'B'C'D'A

问题3：观察图中的长方体，类比问题2，你能完成空间中直线与平面位置关系的研究吗？知识探究(三)

思考(1)：回顾问题2的研究，你认为本题的研究路径是怎样的？①直线在平面内.

如直线AB与平面ABCD内，

有无数个公共点，即

②直线与平面相交.

如直线AA′与平面ABCD相交于A，有1数公共点，即观察长方体，举例说明直线与平面的关系→举出更多实例→用三种语言来表示→按一定的标准来分类思考(2)：具体的过程和结果是怎样的？③直线与平面平行.

如直线C′D′与平面ABCD平行，

没有公共点，即→实验确认

拿出一本书和一支笔，看作一个平面和一条直线，看看它们之间的位置关系有几到底有几种？

由基本事实2可知，第二、三两种情况的直线都不在平面内，因此，直线与平面的位置关系可这样分：空间直线与平面的位置关系1.根据直线是否在平面内来分:直线在平面内:直线在平面外直线与平面相交:有1个公共点

直线与平面平行:没有公共点

Aαaαaαa有无数个公共点

注意：

直线在平面内时，直线应全部画在平行四边形内；

直线在平面外时，直线应部分或全部画在平行四边形外直线与平面有无数个公共点：

Aαaαaαa2.根据直线与平面公共点的个数来分:直线在平面内直线与平面有1个公共点：

直线与平面相交直线与平面没有公共点：

直线与平面平行面面BDCA'B'C'D'A

问题4：观察图中的长方体，类比前面的方法，你能完成空间中平面与平面位置关系的研究吗？知识探究(四)空间中平面与平面之间的位置关系

两个平面平行:没有公共点

两个平面相交:有一条公共直线

再拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，看看它们之间的位置关系到底有几种？平行，相交

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思考(1)：直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行有什么相同之处？都是没有公共点

思考(2)：如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，连结A′B，CD′，请你再举一些空间中直线，平面之间位置关系的例子，并用符号语言表示出来？BDCA'B'C'D'A例1.用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．例析

思考：为了防止写漏，可以按照怎样的顺序来写？

例2.如图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∈a，直线AB与

α具有怎样的位置关系？为什么

思考(1)：你能用穷举法说明这两直线不同在任一个平面吗？由此，你能想到什么方法来说明这个问题？正难则反可以先考虑它的反面（即两直线共面），会出现什么情况.

思考(2)：由例2得到了一种判定两直线异面的方法，请说说这种方法？

与平面相交的直线和平面内不经过交点的直线异面.结论1.如果直线a，b没有公共点，那么a与b（

）.(A)共面(B)平行(C)异面(D)可能平行，也可能异面练习2.设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，

则a与b（

）.(A)共面(B)相交(C)异面(D)可能相交，也可能异面3.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，

请指出下列元素间的位置关系：BDCA'B'C'D'A4.(1)经过同一直线上3个点的平面（

）.(A)有且仅有1个(B)有且仅有3个

(C)有无数个

(D)不存在(2)若直线a不平行平面α，且a⊄α,则下列结论成立的是().(A)α内的所有直线与a异面(B)α内不存与a平行的直线

(C)α内存与惟一的直线与a平行

(D)α内的所有直线与a相交1.本节课我们研究了什