线性系统分析

§1.6线性系统(LinearSystem)分析系统：系统的数学描述：系统的作用可以用一个算符来表示从广义讲——运算过程系统输出g输入f(表示系统的作用、某种变换处理)S{

}ExcitationResponse严格讲，光学系统是非线性的，但大多数光学系统,可近似为线性系统来处理，可得到与实际相符的结果。

线性系统可用FT、卷积运算来描述。输入,如图像输出（响应）,如图像、频谱等（如成像、FT等）光学系统1.6.1线性系统1叠加性：

若则称该系统具有叠加性。叠加性：系统中的一个输入不影响系统对其它输入的响应。2均匀性：对任意常数a有下式成立：则称该系统具有均匀性。若均匀性：系统能够保持对输入信号的缩放因子不变。3线性系统：则称该系统是线性系统。若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：4线性系统的数学描述（线性系统的脉冲响应或点扩散函数-

ImpulseResponseFunctionorPointSpreadFunction)线性系统分析的基本思想：一个复杂的输入信号（函数）f(x,y)，它可以分解成某些简单函数（也称为基元函数）的线性叠加。若系统对每个简单函数（基元函数）的输出已知（易求得），那么，系统对输入信号f(x,y)的输出响应就等于系统对这些简单函数（基元函数）的输出响应的线性叠加。可为积分把输入函数进行分解时,选择的简单函数(基元函数),应满足：

(1)对所有线性系统都适用,(2)对所有输入函数都适应,(3)尽量简单。在信息光学中,常用的基元函数一般有两种：

(1)一种是点基元函数,也叫脉冲函数,即δ函数，(在空域中);(2)另一种是复指数基元函数,即平面波波函数,(在频域中)。二者构成FT对。输入函数f(x,y)可以看成是无穷多个不同位置(

,

)的δ函数—δ(x-

,y-

)以f(

,

)为权重的线性叠加。输入函数f(x,y)可以看成是许多个不同空间频率(u,v)的简谐波成分—exp[j2(ux+vy)

以F(u,v)为权重的线性叠加。5线性系统的脉冲响应点扩散函数(PointSpreadFunction）设输入函数为f(x1,y1),应用δ函数的卷积性质，它可以分解成δ函数的线性叠加:即：输入函数f(x1,y1)可以看成是无穷多个不同位置(

,

)的δ函数以f(

,

)为权重的线性叠加。由线性系统的叠加性和均匀性，可知，线性系统对输入函数f(x1,y1)的输出响应为：δ(x1-

,y1-

)是输入面上位于(

,

)的一个单位脉冲,系统对它的输出响应是S{δ(x1-

,y1-

)}

。

此式说明：系统对f(x1,y1)的输出响应等于系统对点基元函数输出响应的线性叠加。

系统对点基元函数的输出响应叫做系统的脉冲响应或点扩散函数，用表示h(x2,y2;

,

)

，即：(1)

它仅由线性系统自身的性质决定.(2)

一般情况下，它与点脉冲的输入位置(

,

)有关.因此，输出g(x2,y2)可表示为：

此式表示：线性系统的输出响应是系统脉冲响应的线性叠加。线性系统的性质或作用完全可由它的脉冲响应来表征、来决定。换句话说，就是:只要知道了系统的脉冲响应,对任何输入函数，其输出都可由上式确定。例如：对于光学成像系统。若输入面上是一个脉冲（点基元函数，也就是一个物点或一个点光源）；其输出响应就是一个像点或一个像斑（几何光学观点,物理光学观点）。只要知道了物面上各个物点的成像情况，整个成像情况就确定了。信息处理系统线性系统非线性系统

可以用FT分析方法来描述（FourierSeries,FourierIntegral,FourierTransform）除一些特例外，没有统一的理论来描述物理上,实际应用中,大多数系统不是严格的线性系统，但在某些条件或一定近似下可以作为线性系统来处理。许多光学系统就是如此。1.6.2线性平移不变系统

平移不变性:

若则称该系统具有平移不变性。

所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生平移，形式不变。对于空间函数来讲，也称之为空间平移不变性。线性平移不变系统:既具有线性又具有平移不变性的系统称为线性平移不变系统。1定义

对于光学成像系统而言，理想成像情况下，平移不变性是指：当物在物面发生平移时，它的像在像面上也仅发生相应平移，其中的M是垂轴放大率。

实际的光学系统，总有一定的孔径大小，总存在一定的像差，不是严格的线性平移不变系统，但在一定条件下，可近似为线性平移不变系统。2线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数

线性系统的脉冲响应（点扩散函数）为:对于线性平移不变系统的原点处有：如果对输入、输出的坐标取适当的标度，可使M=1，则有有平移时h(x2-

,y2-

)称为线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数。其中h(x2,y2)是系统对位于输入面坐标原点的点脉冲

(x1,y1

)的输出响应。系统的输出:上式表明：对于线性平移不变系统，其性质完全可以由位于坐标原点的脉冲响应h(x2,y2)决定。即对于任意输入函数，其输出就等于该函数与h(x2,y2)的卷积。3物理意义

对于理想光学系统,上式表明:系统对物点的成像性质与物点的位置无关.空间平移不变性就是指,像点分布形式不随物点空间位置的变化而变化.

实际光学系统中,由于像差大小与物点位置有关,所以一般不是严格的线性空间平移不变系统.然而大多数光学系统的像差大小随物点位置的变化是缓慢的,因此即使空间平移不变性不能在整个视场内成立,我们也可以把视场分成若干个区域,在每个区域内使空间平移不变性近似成立.

实际光学系统中,物面上的一个物点(点光源,

函数)通过成像系统后得到一个弥散像点分布(h函数),这种弥散作用像日晕,日晕现象;称为日晕性.1.6.3线性平移不变系统的传递函数1线性平移不变系统的空域描述2线性平移不变系统的频域描述

其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y)

和h(x,y)的频谱。（卷积定理）该式在频域中描述了线性平移不变系统的性质和作用。3讨论由上式可知：

该式表明：对于线性平移不变系统，系统输出的频谱与系统输入的频谱的比值恰好等于系统原点脉冲响应的频谱。也就是说：H(u,v)表征了线性平移不变系统的频率响应特征，即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。H(u,v)称为线性平移不变系统的传递函数。一般是复函数：传递函数模A(u,v)的作用是改变输入信号中各频率基元成分的模；辐角

(u,v)的作用是改变这些频率基元成分的初相位；输入函数中任意频率的基元成分就是通过模与相位的变化，形成系统输出信号中同一频率的基元成分；这些基元成分的线性叠加即合成输出信号。4FT关系

线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数H(u,v)构成一对对：

其根源在于：脉冲信号是在空域中描述系统的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基元函数是

(x,y);而传递函数是在频域中描述系统的性质，在频域中对输入函数进行分解时，选用的基元函数是复指函数基元函数exp[j2

(ux+vy)](x,y)的频谱为1，具有均匀谱密度，对输入信号中的所有频率基元成分exp[j2

(ux+vy)]都相同。1.6.4线性平移不变系统的本征函数1.本征函数

对于一个系统，若存在一个函数f(x,y)，满足条件：则称该函数为该系统的本征函数。也就是说，当把系统的本征函数作为输入时，系统的输出响应的函数形式不变，只是幅值产生均匀变化，或相位产生均匀延迟，即此时输出函数与输入函数之比是一个复常数。2．线性平移不变系统的本征函数是复指数基元函数，即：

证明：输入函数令

对于给定的(u,v)，H(u,v)是一个复常数。可见exp[j2

(ux+vy)]是线性平移不变系统的本征函数,这也是把它作为基元函数的一个原因。3．脉冲响应是实函数的线性平移不变系统,其本征函数是正、余

弦函数即：对于这类系统：输入是实函数，输出也是实函数。证明：若系统的脉冲响应是实函数，即h(x,y)是实函数，则其传递函数H(u,v)是厄米对称的，即：令A(u,v)：模，振幅传递函数。

(u,v)：幅角，相位传递函数。则：

振幅传递函数是偶函数相位传递函数是奇函数设输入函数为：则输入函数的频谱为：输出函数的频谱输出的信号从而证明了：因输入余弦函数的频率可以是任意的，所以该式可写成:（只是幅值的变化，相位移动，形式不变）4级联系统卷积结合律总响应总传递函数输出函数频谱N个子系统的情况5线性平移不变系统的两种描述方法：

Linearshift-invariantSystem(LSISystem)h(x,y)H(u,v)表面上看，频域中进行描述比在空域中进行描述复杂；然而在实际应用中，并非如此。原因是FT，IFT(FT-1)和乘积运算，无论在数字图像处理还是光学图像处理中都比直接卷积运算好实现。对于线性平移不变系统：对于光学系统：相干光学系统，非相干光学系统，部分相干光学系统。相干光学系统：理想情况下（或一定近似条件下），对光场复振幅分布是线性平移不变系统。上面的f(x,y)，g(x,y)是复振幅分布，h(x,y)是复函数。复指函数是它的本征函数。6总结：通过本节可知，对于线性系统LinearSystemS{·}h(x2,y2;

,

)（1）什么样的系统是线性系统？或者说线性系统有何特点？（2）线性系统的基元函数如何选取？信息光学中一般采用哪两种函数形式？

非相干光学系统：理想情况下（或一定近似条件下），对强度分布是LSIS，正、余弦函数是它的本征函数，f(x,y)，g(x,y)是光强分布，h(x,y)是实函数。对线性平移不变系统，其描述可采用两种方法进行：Linearshift-invariantSystem(LSISystem)h(x,y)H(u,v)（3）线性系统的脉冲响应（点扩散函数），其物理意义。（4）线性分析的基本思想是什么？数学描述。（1）什么样的系统是线性平移不变系统？或者说线性平移不变系统有何特点？（2）线性平移不变系统的脉冲响应（点扩散函数）、传递函数。（3）线性平移不变系统的数学描述。空域，频域。（4）线性平移不变系统的本征函数。从表面上看，在频域中进行描述比在空域中进行描述复杂；然而在实际应用中，并非如此。原因是FT，IFT(FT-1)和乘积运算，无论在数字图像处理还是光学图像处理中都比直接卷积运算好实现。对于线性平移不变系统：对于光学系统：相干光学系统，非相