17.1 第1课时 勾股定理 课件 2023-2024学年人教版八年级数学下

17.1勾股定理第十七章勾股定理第1课时勾股定理

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：一、勾股定理的认识及验证问题1

图中有哪些几何图形？三角形，正方形

等课本23页A的面积(单位长度)B的面积(单位长度)C的面积(单位长度)图1图2A、B、C面积关系直角三角形三边关系491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.由上面的几个例子，我们猜想：abc下面的动图形象的说明了命题1的正确性，据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？abbcabca23--24页

证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.边长为，a，b的正方形分割4个全等的三角形和1个正方形abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-

a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.等面积法证明勾股定理aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，30页证法2

毕达哥拉斯证法等面积法证明勾股定理aabbcc∴a2+b2=c2.30页证法3

美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.等面积法证明勾股定理在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2

+b2=c2.公式变形：勾股定理bac归纳总结24页

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股2=弦2小贴士

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若

a=b=5，求

c；(2)若

a=1，c=2，求

b.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得(2)

在Rt△ABC中，由勾股定理得

利用勾股定理进行计算CAB课本24页(1)若

a∶b=1∶2，c=5，求

a;(2)若

b=15，∠A=30°，求

a，c.【变式题1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设

a=x，b=2x，由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设

a=x，c=2x，由勾股定理得(2x)2-

x2=152，解得例2已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.

求

CD的长.解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．归纳练一练求下列图中未知数

x、y的值：解：由勾股定理得81+144=x2，解得

x=15.解：由勾股定理得

y2+144=169，

解得

y=5.新知导入cab勾股定理及其数学语言表达式:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。CAB新知导入1.在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=_______；②若a=15，c=25，则b=______；③若c=61，b=60，则a=__________；2.一直角三角形的斜边长比其中的一条直角边长大2，另一条直角边长为6，求斜边长为。新知导入3、在直角三角形中,如果有两边为3，4，那么另一边为________。5或要考虑哪个长度为斜边新知讲解例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=1²+2²=5分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.新知讲解ABDCO解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得OB²=AB²-OA²=2.6²-2.4²=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理得OD²=CD²-OC²=2.62-(2.4-0.5)²=3.15,∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.例2如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?新知讲解思考在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′′′新知讲解证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理得ABCABC′′′新知讲解A21-4-3-2-1-123145例3如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.yOx3BC解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B两点间的距离为5.方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点新知讲解利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用解决课堂练习1、已知如图所示，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A，B两点间的距离吗（结果保留整数）？解：在RtΔABC中，根据勾股定理：AB²＝BC²-AC²＝60²-20²＝3200所以，AC＝≈57A，B两点间的距离约为57课堂练习1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A.24mB.12mC.mD.cmD拓展提高1、一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位：