2024年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷一、选择题(本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题3分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的)1．（3分）﹣2比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大42．（3分）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据如图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，其航行的路线为（）A．沿北偏东40°方向航行 B．沿南偏西50°方向航行 C．沿北偏东40°方向，航行30海里 D．沿南偏西40°方向，航行30海里3．（3分）为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗地球2.18亿千米的行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为2.18×10n，则n＝（）A．8 B．6 C．4 D．24．（3分）若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段（）A．a，b都可以 B．a，b都不可以 C．只有a可以 D．只有b可以5．（3分）整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，下列结论：结论一：A•x＝B．结论二：A，B的公因式为x．下列判断正确的是（）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确6．（3分）如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转90°后，主视图的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2分）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲乙、丙、丁四位同学的变形过程：甲：原式＝；乙：原式＝；丙：原式＝；丁：原式＝；其中正确的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（2分）如图，∠1＝70°，∠2＝150°（）A．20° B．30° C．40° D．50°9．（2分）如图，数轴上有①，②，③，④四部分，b，c，且a＜0，abc＞0（）A．段① B．段② C．段③ D．段④10．（2分）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点（）A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．11．（2分）班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在D座位，三位同学随机坐在A、B、C三个座位（）A． B． C． D．12．（2分）如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作：第一步：剪去长方形纸条AEFD；第二步：从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH．若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为（）A．30cm B．15cm C．16cm D．90cm13．（2分）刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了60min后回到家（中间不休息）．如图表示她出发后离家的距离s（km）（min）之间的函数关系图象．则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（）A． B． C． D．14．（2分）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲、乙的作法如图．甲的作法连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，作直线PM．直线PM即为所求．乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，O为圆心，PO，两弧交于点D，连接OD，作直线PM，直线PM即为所求．下列说法正确的是（）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误15．（2分）如图，直线y＝2x+2及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）（横、纵坐标都为整数），则k的取值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．516．（2分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，CD，AD上，GF，EC折叠，D恰好都落在点O处，点B落在点B′处．以下结论：Ⅰ；若点B′落在EF上，则GF∥EC．Ⅱ：若点B′与点O重合，则AB＝AD．下判判断正确的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确 C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确二、填空题(本大题有3个小题,共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分)17．（2分）计算：＝．18．（4分）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）计算：（3a）☆5＝；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为．19．（4分）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，正方形ABCD的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，D在正六边形内部（包括边界），点E已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．（1）连接EF，EF的长为；（2）a的取值范围是．三、解答题(本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．（9分）琪琪准备完成题目：计算：（﹣9）×（■）﹣33．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了．（1）琪琪猜测被污染的数字“■“是，请计算（﹣9）×（）﹣33；（2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于﹣9，请通过计算求出被污染的数字“■”．21．（9分）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25；第2个等式：252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25；第3个等式：352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25；…按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：752＝75×75＝＝；（2）已知1≤x≤9且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．22．（9分）鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘．统计结果如图所示．（1）求样本的中位数和平均数；（2）已知这种鱼的售价为25元/kg，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入．23．（10分）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度y1（m）与上升时间x（s）的函数图象如图所示；2号机从6m高度，两架无人机同时起飞，设2号机所在离度为y2（m）．（1）求1号机所在高度y1与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度y2（m）与上升时间x（s）的函数关系图象；（2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能24．（10分）如图1，某玩具风车的支撑杆OE垂直于桌面MN，点O为风车中心，风车在风吹动下绕着中心O旋转，叶片端点A，B，C，已知⊙O的半径为10cm．（1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，点A在OE左侧，求点A到桌面MN的距离（结果保留根号）；（2）在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21cm时，点A所经过的路径长（结果保留π）；（3）连接CE，当CE与⊙O相切时，求切线长CE的值，C两点到桌面MN的距离的差．25．（12分）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象（抽象为点）的运动．线段AB是一段直滑道，点A在y轴上的一部分，在点C（4，2），点B，D到x轴的距离相等，BG⊥x轴于点G，滑道B﹣C﹣D与滑道D﹣E﹣F可看作形状相同，点F（12，0）．（1）求抛物线B﹣C﹣D和D﹣E﹣F的函数表达式；（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；（3）点M为B﹣C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和（图中MH+MN）的最大值及此时点M的坐标．26．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点P是AB的中点，M在AC上（不与点C重合），在PM的左侧作矩形PMQN．（1）如图1，当点N在线段BC上时，①若AM＝2，求PN的长；②求tan∠PNM的值．（2）如图2，当PN＝PM时，①若矩形PMQN在△ABC内部（包括边界），设AM＝x，写出CQ的长与x的函数关系式；②若矩形PMQN的两个顶点落在△PCA的同一条边上，直接写出AC在矩形PMQN内部的线段长．

2024年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题3分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的)1．（3分）﹣2比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大4【解答】解：由题意得：2﹣（﹣2）＝2+2＝4，∴﹣8比2小4，故选：C．2．（3分）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据如图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，其航行的路线为（）A．沿北偏东40°方向航行 B．沿南偏西50°方向航行 C．沿北偏东40°方向，航行30海里 D．沿南偏西40°方向，航行30海里【解答】解：航行的路线为沿南偏西40°方向，航行30海里，故选：D．3．（3分）为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗地球2.18亿千米的行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为2.18×10n，则n＝（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵2.18亿＝218000000，2.18亿用科学记数法表示为7.18×108，∴n＝8．故选：A．4．（3分）若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段（）A．a，b都可以 B．a，b都不可以 C．只有a可以 D．只有b可以【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为5cm和4cm的细木条做一个三角形的框架．理由：5＞4，满足两边之和大于第三边．故选：C．5．（3分）整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，下列结论：结论一：A•x＝B．结论二：A，B的公因式为x．下列判断正确的是（）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确【解答】解：B＝x2﹣x＝x（x﹣1），则A•x＝B，A，B的公因式是（x﹣6），那么结论一正确，结论二不正确，故选：A．6．（3分）如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转90°后，主视图的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：主视图如图所示，∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，∴主视图的面积为2×12＝5，故选：A．7．（2分）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲乙、丙、丁四位同学的变形过程：甲：原式＝；乙：原式＝；丙：原式＝；丁：原式＝；其中正确的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：＝＝•，所以只有选项D符合题意，选项A、选项C都不符合题意．故选：D．8．（2分）如图，∠1＝70°，∠2＝150°（）A．20° B．30° C．40° D．50°【解答】解：延长AB，CD交于点E∵∠1＝70°，∠2＝150°，∴∠ECA＝180°﹣∠3＝110°，∠EAC＝180°﹣∠2＝30°，∴∠E＝180°﹣（∠ECA+∠EAC）＝180°﹣（110°+30°）＝40°．故选：C．9．（2分）如图，数轴上有①，②，③，④四部分，b，c，且a＜0，abc＞0（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【解答】解：∵a＜0，∴原点在a的右侧，故段①排除；假设：当原点在段②时，b＞0，a＜4，故原点不在段②；假设：当原点在段③时，b＜0，a＜0，故原点在段③；假设：当原点在段④时，b＜3，a＜0，故原点不在段④；综上，原点落在段③，故选：C．10．（2分）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点（）A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关 C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、AC，∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，故选：B．11．（2分）班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在D座位，三位同学随机坐在A、B、C三个座位（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲，即AB、BC，∴甲、乙两位同学座位相邻的概率为，故选：A．12．（2分）如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作：第一步：剪去长方形纸条AEFD；第二步：从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH．若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为（）A．30cm B．15cm C．16cm D．90cm【解答】解：设正方形ABCD的边长为acm，由题意，得5a＝6（a﹣5）．解得a＝30．故选：A．13．（2分）刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了60min后回到家（中间不休息）．如图表示她出发后离家的距离s（km）（min）之间的函数关系图象．则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、行走路线应该是闭合的，不符合题意；B、行走路线（中间曲线）与距家距离恒定不变；C、行走路线与图象信息一致；D、行走路线与距家离中间最短，不符合题意．故选：C．14．（2分）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲、乙的作法如图．甲的作法连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，作直线PM．直线PM即为所求．乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，O为圆心，PO，两弧交于点D，连接OD，作直线PM，直线PM即为所求．下列说法正确的是（）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误【解答】解：对于甲的作法：由作法得AB垂直平分OP，∴OG＝GP，∴点M为以OP为直径的圆与⊙O的交点，∴∠PMO＝90°，∴OM⊥PM，∴PM为⊙O的切线，所以甲的作法正确；对于乙的作法：由作法得PD＝PO，OD＝BC，∵OM＝BC，∴OM＝DM，∴PM⊥OD，∴PM为⊙O的切线，所以乙的作法正确；故选：A．15．（2分）如图，直线y＝2x+2及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）（横、纵坐标都为整数），则k的取值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，直线y＝2x+2一定过点（2，（1，把（1，7）代入得，此时阴影部分（不位括边界）有（1，（3，（1，（2，（6，5个整点∴k的取值可能是4，故选：C．16．（2分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，CD，AD上，GF，EC折叠，D恰好都落在点O处，点B落在点B′处．以下结论：Ⅰ；若点B′落在EF上，则GF∥EC．Ⅱ：若点B′与点O重合，则AB＝AD．下判判断正确的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确 C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确【解答】解：若点B′落在EF上，由折叠性质可得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故结论Ⅰ正确；若点B′与点O重合，如图所示，设AD＝2a，AB＝2b，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝2a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE7，（3a）2＝a5+b2+b2+（7a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD；故选：C．二、填空题(本大题有3个小题,共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分)17．（2分）计算：＝﹣1．【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣3．故答案为：﹣1．18．（4分）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）计算：（3a）☆5＝18a﹣5；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为1或．【解答】解：（1）由题意得：（3a）☆5＝2a•5+3a﹣6＝15a+3a﹣5＝18a﹣2，故答案为：18a﹣5；（2）∵2☆（2x﹣3）＝3x4﹣2，∴2（5x﹣3）+2﹣（7x﹣3）＝3x7﹣2，整理得：3x8﹣2x﹣1＝2，（x﹣1）（3x+7）＝0，x﹣1＝4或3x+1＝2，x＝1或x＝﹣，故答案为：1或﹣．19．（4分）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，正方形ABCD的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，D在正六边形内部（包括边界），点E已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．（1）连接EF，EF的长为2；（2）a的取值范围是≤a≤6﹣2．【解答】解：（1）如图，过点O作OM⊥EF，ON⊥CD，连接OE，则EM＝FM＝EFCD，∵EF是正六边形的一条对角线，∴∠EOM＝＝60°，在Rt△EOM中，OE＝2，∴EM＝OE＝，∴EF＝7EM＝2，故答案为：8；（2）如图①，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，∴AC＝A′D＝2，∴a＝，如图②，当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，AC是正方形的对角线AC，设A′（t，）时，∵OB′⊥OA′，∴B′（﹣，t），设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（﹣2，N（﹣1，﹣），∴，∴，∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣2，将B′（﹣，t）代入得t＝3﹣4，此时，A′B′取最大值，∴a＝＝6﹣2，∴正方形边长a的取值范围是：≤a≤6﹣2．故答案为：≤a≤6﹣8．三、解答题(本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．（9分）琪琪准备完成题目：计算：（﹣9）×（■）﹣33．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了．（1）琪琪猜测被污染的数字“■“是，请计算（﹣9）×（）﹣33；（2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于﹣9，请通过计算求出被污染的数字“■”．【解答】解：（1）原式＝﹣9×（﹣）﹣27＝﹣27＝﹣；（2）﹣[（﹣6+33）÷（﹣6）]＝﹣[（﹣8+27）÷（﹣9）]＝﹣[18÷（﹣9）]＝﹣（﹣2）＝．21．（9分）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25；第2个等式：252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25；第3个等式：352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25；…按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：752＝75×75＝5625＝（7×8）×100+25；（2）已知1≤x≤9且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【解答】解：（1）5625；（7×8）×100+25；（2）（10n+2）2＝n（n+1）×100+25，（3≤n≤9证明：（10n+5）4＝100n2+100n+25＝（n2+n）×100+25＝n（n+8）×100+25，∴猜测的算式正确．22．（9分）鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘．统计结果如图所示．（1）求样本的中位数和平均数；（2）已知这种鱼的售价为25元/kg，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入．【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数、11个数据分别为1.4，∴这20条鱼质量的中位数是＝1.7（kg），＝＝3.425（kg）．故这20条鱼质量的平均数为1.425kg；（2）25×1.425×2000×90%＝64125（元）．答：估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入64125元．23．（10分）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度y1（m）与上升时间x（s）的函数图象如图所示；2号机从6m高度，两架无人机同时起飞，设2号机所在离度为y2（m）．（1）求1号机所在高度y1与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度y2（m）与上升时间x（s）的函数关系图象；（2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能【解答】解：（1）由图象知，函数y1经过（0，5），12）两点．设y1＝kx+b，将（0，（3，解得，∴y1与上升时间x之间的函数表达式y5＝x+3；由题意得：y2＝2.5x+6，当x＝7，y＝9，∴在直角坐标系中描点（0，7），9），画得函数y2的图象如图：（2）在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下：当y8＝y2时，x+3＝4.5x+6，解得x＝6．∴x+3＝6+6＝9（m）．答：此时两架无人机高度为9m．24．（10分）如图1，某玩具风车的支撑杆OE垂直于桌面MN，点O为风车中心，风车在风吹动下绕着中心O旋转，叶片端点A，B，C，已知⊙O的半径为10cm．（1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，点A在OE左侧，求点A到桌面MN的距离（结果保留根号）；（2）在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21cm时，点A所经过的路径长（结果保留π）；（3）连接CE，当CE与⊙O相切时，求切线长CE的值，C两点到桌面MN的距离的差．【解答】解：（1）如图1，过点A作AF⊥MN于点F，则∠AFE＝∠FEG＝∠AGE＝∠AGO＝90°，∴四边形AFEG为矩形，∴AF＝GE．在Rt△AOG中，∠AOG＝45°，∴OG＝OA•cos∠AOG＝10•cos45°＝5（cm），∵OE＝26cm，∴AF＝GE＝OE﹣OG＝（26﹣5）cm，答：点A到桌面的距离是．（2）如图2，点A在旋转过程中运动到点A3，A2的位置时，点A1，A3到桌面的距离均为21cm．过点A2作A2H⊥MN于H，则A7H＝21cm．作A2D⊥OE于点D．则四边形DEHA2为矩形．∴DE＝A2H．∵OE＝26cm，∴OD＝OE﹣DE＝26﹣21＝5（cm）．在Rt△A2OD中，OA8＝10cm，∴cos∠A2OD＝＝＝，∴∠A4OD＝60°．由圆的轴对称性可知，∠A1OA2＝4∠A2OD＝120°．∴＝＝（cm）．∴符合条件的点A所经过的路径长为．（3）连接AC，如图5，∵是半圆，∴AC为⊙O的直径，∵直线l切⊙O于点C，且l经过点E，∴OC⊥CE．在Rt△OCE中，OC＝10cm，∴CE＝＝＝24（cm）．答：切线长CE的值为24cm．过点A作AH⊥MN于H，过点C作CK⊥MN于K，则四边形CLHK是矩形，∴LH＝CK，∵AC是⊙O的直径，∴∠ALC＝90°，∴∠ALC＝∠OCE，∵OE∥AH，∴∠CAL＝∠EOC，∴△ACL∽△OEC，∴＝，即＝，∴AL＝（cm），即AH﹣CK＝AH﹣LH＝AL＝cm，∴A、C两点到桌面的距离的差为．25．（12分）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象（抽象为点）的运动．线段AB是一段直滑道，点A在y轴上的一部分，在点C（4，2），点B，D到x轴的距离相等，BG⊥x轴于点G，滑道B﹣C﹣D与滑道D﹣E﹣F可看作形状相同，点F（12，0）．（1）求抛物线B﹣C﹣D和D﹣E﹣F的函数表达式；（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；（3）点M为B﹣C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和（图中MH+MN）的最大值及此时点M的坐标．【解答】解：（1）滑道B﹣C﹣D；的顶点为点C（4，∴即，∵点B到点A的水平距离为3，∴将x＝2代入，∴点B（2，4）．∵点D与点B关于直线x＝4对称，点D（6，4）．∵滑道B﹣C﹣D与滑道D﹣E﹣F是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，∴可设抛物线D﹣E﹣F的函数表达式为．将点F（12，0），3）分别代入得：，解得，∴抛物线D﹣E﹣F的函数表达式为．（2）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b．将B（2，3），5）代入y＝kx+b得：，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝x+7．∵点C（4，2）为抛物线B﹣C﹣D的顶点，∴抛物线B﹣C﹣D不存在y＝2.5的点．当y＝1.7时，1.5＝x+6．，解得，根据图像可知，综上所述，y＝1.5时x＝3.5或；（3）设，则MH＝x﹣2，，＝，∵点M为B﹣C上一点，∴2≤x≤4，且MH+MN的值随x的增大而增大，∴当x＝2时，，∴当x＝4时，MH和MN长度之和的最大值为5．此时M的坐标为（4，2）．26．（13分）在△AB