高考数学人教B版一轮复习训练4-5正弦型函数y=Asin（ωxφ）及三角函数模型的简单应用

核心考点·精准研析考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换

1.若函数f(x)=cosQUOTE,为了得到函数g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象 ()A.向右平移QUOTE个单位长度B.向右平移QUOTE个单位长度C.向左平移QUOTE个单位长度D.向左平移QUOTE个单位长度2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)1的图象向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是 导学号()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移QUOTE个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移QUOTE个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________.

4.已知函数f(x)=4cosx·sinQUOTE+a的最大值为2. 导学号(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)画出f(x)在[0,π]上的图象.【解析】1.选A.f(x)=cosQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=sin2QUOTE,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象向右平移QUOTE个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)1=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=QUOTEsinQUOTE,向左平移φ个单位可得y=QUOTEsinQUOTE,因为y=QUOTEsinQUOTE是偶函数,所以2φ+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,φ=QUOTE+QUOTE,k∈Z,由k=0可得φ的最小正值是QUOTE.3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移QUOTE个单位所得的图象为y=sinQUOTE=sinQUOTE,把f(x)的图象向右平移QUOTE个单位所得的图象为y=sinQUOTE=sinQUOTE,根据题意可得y=sinQUOTE和y=sinQUOTE的图象重合,故QUOTE+φ=2kπQUOTE+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cosxsinQUOTE+a=4cosx·QUOTE+a=QUOTEsin2x+2cos2x+a=QUOTEsin2x+cos2x+1+a=2sinQUOTE+1+a的最大值为2,所以a=1,最小正周期T=QUOTE=π.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE,列表:x0π2x+QUOTEπ2πf(x)=2sinQUOTE120201画图如图所示:1.由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sinQUOTE,观察发现ω=2,所以不能平移QUOTE,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图象.考点二由图象求解析式

【典例】1.函数f(x)=sin(ωx+φ)QUOTE的部分图象如图所示,已知AQUOTE,BQUOTE,则f(x)图象的对称中心为 ()A.QUOTE(k∈Z) B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z) D.QUOTE(k∈Z)2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为______. 导学号

【解题导思】序号联想解题1看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.2由图象的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.【解析】1.选C.T=2QUOTE=π=QUOTE,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).由五点作图法知AQUOTE是第二个点,得2×QUOTE+φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),所以φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),又|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE,f(x)=sinQUOTE.由2xQUOTE=kπ(k∈Z),得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).所以f(x)图象的对称中心为QUOTE(k∈Z).【一题多解】选C.由题图知,A,B中点为QUOTE是一个对称中心,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以全部对称中心为QUOTE(k∈Z),等价于QUOTE(k∈Z).2.由题图知A=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,ω=2,所以f(x)=QUOTEsin(2x+φ),又QUOTE对应五点法作图中的第三个点,所以2×QUOTE+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=QUOTE,所以f(x)=QUOTEsinQUOTE.答案:f(x)=QUOTEsinQUOTE【一题多解】由题图知A=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,以QUOTE为第二个零点,QUOTE为最小值点,列方程组QUOTE解得QUOTE所以f(x)=QUOTEsinQUOTE.答案:f(x)=QUOTEsinQUOTE确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=QUOTE,B=QUOTE.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=QUOTE.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=QUOTE;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=QUOTE;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是 ()A.f(x)=sinQUOTE B.f(x)=sinQUOTEC.f(x)=sinQUOTE D.f(x)=sinQUOTE【解析】选D.由图象可知QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,所以ω=QUOTE=2,所以排除A、C;把x=QUOTE代入检验知,选项D符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________.

【解析】由图象知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=QUOTE,又|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE.又QUOTE×ω+QUOTE=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sinQUOTE,令2x+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).所以f(x)=2sinQUOTE的对称轴方程为x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).答案:x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)考点三函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用

命题精解读考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图象与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与三角函数图象与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等.新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.学霸好方法三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.三角函数模型的应用【典例】如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米. 导学号

【解析】以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,因为大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒旋转一周,设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t),又周期T=12,所以θ=QUOTE·2π=QUOTEt,f(t)=3+2sinQUOTE=32cosQUOTEt(t≥0),当t=40时,f(t)=32cosQUOTE=4(米).答案:4方程根(函数零点)问题【典例】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2QUOTEsin2ωxQUOTE(ω>0)的最小正周期为π. 导学号(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移QUOTE个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sinωxcosωx+QUOTE(2sin2ωx1)=sin2ωxQUOTEcos2ωx=2sinQUOTE.由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sinQUOTE,由2kπQUOTE≤2xQUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),整理得kπQUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是QUOTE(k∈Z).(2)将函数f(x)的图象向左平移QUOTE个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图象;所以g(x)=2sin2x+1.令g(x)=0,得x=kπ+QUOTE或x=kπ+QUOTE(k∈Z),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+QUOTE=QUOTE.方程的根与函数图象的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.综合应用问题【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sinQUOTE(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:导学号①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在QUOTE上单调递增④ω的取值范围是QUOTE.其中所有正确结论的编号是 ()A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】选D.①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.③函数f(x)=sinQUOTE的增区间为QUOTE+2kπ<ωx+QUOTE<QUOTE+2kπ(k∈Z),QUOTE<x<QUOTE.取k=0,当ω=QUOTE时,单调递增区间为QUOTEπ<x<QUOTEπ;当ω=QUOTE时,单调递增区间为QUOTEπ<x<QUOTEπ,综上可得f(x)在QUOTE上单调递增.故③正确.④当f(x)=sinQUOTE=0时,ωx+QUOTE=kπ(k∈Z),所以x=QUOTE,因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.所以当k=5时,x=QUOTE≤2π,当k=6时,x=QUOTE>2π,解得QUOTE≤ω<QUOTE,故④正确.所以结论正确的编号有①③④.本题考查哪些知识?提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+AcosQUOTE(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为________℃.【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=aA=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cosQUOTE,所以当x=10时,f(10)=23+5cosQUOTE=235×QUOTE=20.5.答案:20.52.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sinQUOTE的图象上相邻的两个最高点之间的距离为________.

【解析】由题意知,函数f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为QUOTE=π.答案:π3.已知关于x的方程2sin2xQUOTEsin2x+m1=0在QUOTE上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.

【解析】方程2sin2xQUOTEsin2x+m1=0可转化为m=12sin2x+QUOTEsin2x=cos2x+QUOTEsin2x=2sinQUOTE,x∈QUOTE.设2x+QUOTE=t,则t∈QUOTE,所以题目条件可转化为QUOTE=sint,t∈QUOTE有两个不同的实数根.所以y1=QUOTE和y2=sint,t∈QUOTE的图象有两个不同交点,如图:由图象知,QUOTE的取值范围是QUOTE,所以m的取值范围是(2,1).答案:(2,1)1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)的值等于()A.QUOTE B.2+2QUOTEC.QUOTE+2 D.QUOTE2【解析】选A.由图象知A=2,φ=0,T=8,所以QUOTE=8,即