新教材人教A版8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积课件（45张）

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

必备知识·自主学习1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式导思1.怎样求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积?2.怎样求圆柱、圆锥、圆台、球的体积?图形面积公式旋转体圆柱

底面积:S底=πr2;侧面积:S侧=_____;表面积:S=2πrl+2πr2圆锥

底面积:S底=πr2;侧面积:S侧=____;表面积:S=πrl+πr22πrlπrl图形面积公式旋转体圆台

上底面面积:S上底=πr′2;下底面面积:S下底=πr2;侧面积:S侧=__________;表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)π(r′+r)l【思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系?提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r′+r)lS圆锥侧=πrl.2.柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V=___(S为底面面积,h为高);锥体的体积公式V=______(S为底面面积,h为高);台体的体积公式V=_______________.Sh【思考】柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?提示:柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系:V=ShV=(S′++S)hV=Sh.3.球的表面积和体积(1)表面积:S=_____.(2)体积:V=_______.4πR2【思考】怎样解释V=S表面积R?提示:把球O的表面分成n个小网格,连接O与每个小网格的顶点,整个球体就分割成了n个“小锥体”.当n越大,每个小网格越小,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高就越近似于球的半径R,设O-ABCD是其中一个“小锥体”,则SO-ABCD=SABCDR,由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和,这n个“小锥体”底面积的和就是球的表面积,故球的体积V=S表面积R=×4πR2R=πR3.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两球的半径比为3∶1,则体积比为9∶1. (

)(2)长方体既有内切球又有外接球. (

)(3)球面展开是平面的圆面. (

)提示:(1)×.体积比为27∶1.(2)×.长方体一定有外接球,但是不一定有内切球.(3)×.球面不能展开成平面图形.2.若将棱长为4的一块正方体木料经过切割、打磨加工出一个体积最大的球,则这个球的体积是 (

)

【解析】选A.欲将正方体打磨成体积最大的球,即求出与该正方体每个面均相切的内切球即可,设球的半径为R,则2R=4,R=2,故V=πR3=π·8=.3.(教材二次开发:例题改编)一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径,则圆柱的表面积与球的表面积之比为 (

)A.2∶1 B.3∶2 C.4∶3 D.1∶1【解析】选B.设球的半径为R,则圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,球的表面积S2=4πR2,S1∶S2=3∶2.关键能力·合作学习类型一圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(数学运算)【题组训练】1.若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则这个圆柱的侧面积为(

)

A.9π B.12π C.π D.π2.(2020·南充高一检测)用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为 (

)A. B. C.8π D.3.圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180,则圆台的侧面积为

.

【解析】1.选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则h=2r=3,所以圆柱的侧面积为2πr·h=9π.2.选C.设球的半径为R,则截面圆的半径为所以截面圆的面积为S=(R2-1)π=π,所以R2=2,所以球的表面积S=4πR2=8π.3.圆台的两个底面面积之比为4∶9,所以设圆台的上底面圆的直径为4k,下底面圆的直径为6k,由于母线与底面的夹角是60°,所以母线长为2k,高为k.由于轴截面的面积为180,所以解得k=6(负值舍去).所以圆台的上底半径为12,下底半径为18,母线长为12.所以圆台的侧面积为π(12+18)×12=360π.答案:360π【解题策略】1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:(1)得到空间几何体的平面展开图.(2)依次求出各个平面图形的面积.(3)将各平面图形的面积相加.2.球的表面积的求法要求球的表面积,关键是知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入球的表面积公式求解.【补偿训练】在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图的面积为(

)

【解析】选A.根据题意知,圆锥的高为2,圆锥的底面半径为1,所以圆锥的底面周长为2π,圆锥的母线长为所以圆锥的侧面展开图的面积为S=×2π×=π.类型二圆柱、圆锥、圆台、球的体积(数学运算)【典例】1.若圆锥侧面展开图是圆心角为120°,半径为9的扇形,则这个圆锥的体积为 (

)

A.18π B.54π C.10π D.30π2.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径是

.

3.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为的等腰梯形,则该几何体的体积是

.

【思路导引】1.求出展开扇形的弧长即底面圆的周长,进而求出底面圆的半径后求体积;2.利用熔化后的大球体积求半径;3.根据三视图确定几何体类型,求出相关的量后用公式求体积.【解析】1.选A.依题意,扇形的弧长为l=×9=6π,因为扇形的弧长为圆锥底面的周长,所以圆锥底面半径为=3,圆锥的高为故圆锥的体积为×(π×32)×6=18π.2.设大球的半径为R,则有πR3=2×π×13,R3=2,所以R=.答案:

3.由三视图可知此几何体为一圆台,上底半径为2,下底半径为1,如图,h=

故体积V=π(22+2×1+12)×1=答案:

【解题策略】解决与球有关的组合体问题的解题技巧(1)与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形,明确切点位置,明确有关元素间的数量关系,并且作出合适的截面图.(2)球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题.(3)球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.【跟踪训练】1.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图),若底面圆的弦AB所对的圆心角为则圆柱被分成的两部分中较大部分的体积为

.

【解析】由题意可知,圆柱中较大部分的底面面积为×22·π+×2×2×sin所以较大部分的体积为答案:10π+32.已知某圆锥的母线长为底面圆半径的倍,且其侧面积为4π,则该圆锥的体积为

.

【解析】设圆锥的底面半径为r,则母线为r,其侧面积为4π,所以×2πr×r=4π,解得r=2,圆锥的高为4,则该圆锥的体积为答案:

类型三表面积、体积公式的应用(直观想象、数学运算)

角度1与球有关的切、接问题

【典例】已知一长方体的底面是边长为1的正方形,长方体的所有顶点都在同一球面上.若球的体积为π,则该长方体的体积为 (

)

【思路导引】球的内接长方体的体对角线的长度等于球的直径.【解析】选B.长方体的所有顶点都在同一球面上,所以长方体的体对角线的长度就是外接球的直径,球的体积为π,所以解得R=2,长方体的体对角线的长度为4,所以长方体的高为所以长方体的体积为1×1×【变式探究】本例中,若一个圆柱的底面半径为,它的两个底面圆周均在球O的球面上,试求圆柱的体积.【解析】如图,由例题可知OA=R=2,O′A=r=,OO′=1,

则圆柱的高为2,故圆柱的体积V=π×()2×2=6π.角度2组合体的体积

【典例】如图,某几何体由两个同底面的圆锥组合而成,若底面积为9π,小圆锥与大圆锥的高分别为4和6,则该几何体的表面积为

.

【思路导引】该几何体的表面积等于两个圆锥的侧面积相加.【解析】因为底面积为9π,所以底面圆的半径为r=3,所以该几何体的表面积为S=π·3·()=(15+9)π.答案:(15+9)π【解题策略】球的切接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)几个常用结论①球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;②球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;③球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;④球与棱锥相切,则可利用V棱锥=S底h=S表R,求球的半径R.【题组训练】1.(2020·杭州高一检测)已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则这个球的半径为

,球的表面积为

.

【解析】各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则该球为长方体的外接球,设球的半径为r,则(2r)2=32+42+52,解得r=故球的表面积为S=4π·r2=50π.答案:

50π2.如图所示的几何体是一棱长为4的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2,深为1的圆柱形的洞,则挖洞后几何体的表面积是

.

【解析】正方体的表面积为4×4×6=96,圆柱的侧面积为2π×1×1=2π,则挖洞后几何体的表面积为96+2π.答案:96+2π【补偿训练】三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长分别为2a,a,a,求其外接球的表面积和体积.【解析】以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱,将三棱锥补成长方体,则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,其球的直径等于长方体的体对角线长,故2R=R=a,所以S球=4πR2=6a2π,V球=圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积核心知识方法总结易错提醒核心素养求圆锥的表面积应注意侧面展开图，底面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.1.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积。(1)公式法(2)等积法(3)补体法(4)分割法求几何体体积的常用方法课堂检测·素养达标1.已知圆