重难点专题35 圆锥曲线离心率压轴题（含二级结论）十九大题型汇总（解析版）

重难点专题35圆锥曲线离心率压轴题（含二级结论）十九大题型汇总题型1直接型 ②由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，(x1-x2≠0，x1+x2≠0)【例题11】（22·23·吉安·一模）椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的内接四边形ABCDA．14 B．32 C．12【答案】B【分析】设出点Ax1,y1,Bx2,y【详解】设点Ax1,y1可得1-x1,1-y1由A,C两点在椭圆有x11-2×4即2b同理可得2b因此，直线AB的方程为2b从而直线AB的斜率为-b由e2=1-故选：B【变式11-1】1．（2023·湖北·模拟预测）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e≠22，C的左右焦点分别为F1,【答案】3【分析】根据题意，作图，计算得AF2=a-ex0，AF1=a+ex0【详解】由点A在椭圆C上，且∠F1AF2=π则A=c同理AF设角平分线交x轴于T(S△S△∴AF2AF可得直线AB:y=由AB=2BD，可得设AB中点为M，则xM=2点差法的结论，证明如下：设A(x1,y1)，B故x12a又由x1+x2=2最后化简得，y0进而得到，kOM得2-3e因为∠F1A联立x02+所以y02x02故答案为：32【变式11-1】2.（2022下·云南昭通·高二校联考期末）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)斜率为-18的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，P点的坐标为(-1,2)，直线AP交E于另一点C，直线BPA．2 B．72 C．62 D【答案】D【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),，线段AB的中点M(xM,yM)，代入双曲线的方程中可得x12a【详解】设A(x1,y则x12a所以yM=-设C(x3,y3),D因为kAB=kCD，所以所以yM-2xM+1=所以a2=4b所以e=故选：D.【变式11-1】3.（22·23·河北·模拟预测）已知斜率为-2的直线l1与双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右两支分别交于点A，B，l2//l1，直线【答案】7【分析】设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得yM=-b22a2xM【详解】设Ax1,y1，Bx2AB的中点MxM,yM则x12a2-所以b2a2⋅xMy因为AB//CD，所以P，M，N三点共线，所以将①②代入得-b22因为xM≠xN，所以b2又点P恒在直线l:y=-3x上，所以所以双曲线E的离心率为e=故答案为：7

【点睛】思路点睛：一般涉及中点弦问题时，采用设而不求点差法求解，本题通过点坐标之间的关系建立a，b关系，从而求出双曲线的离心率.【变式11-1】4.（2023·云南·统考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(【答案】55/【分析】先由FB+FP+FQ=0得到【详解】设F(c,0),B(0,由FB+FP+FQ=0，知即(c,-b又M为线段PQ的中点，则x1又P、Q为椭圆C上两点，则x1两式相减得x1所以kPQ化简得2a2解得b=2c或c=2则a2=b故答案为：5【变式11-1】5.（2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，过原点O的直线AB交椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交【答案】3【解析】设A(x1,y1)，Q(x2,y2)，根据已知条件得B、P、M的坐标，AB⊥AQ、B，M【详解】设A(x1,y1)，Q由AB⊥AQ，则y由B，M，Q三点共线，则kBQ=kBM，即y又因为x12a2+y12将①②代入③得b2【点睛】关键点点睛：根据已知点的坐标表示两线垂直以及三点共线，再结合点在椭圆上得到相关参数的方程，联立方程求椭圆离心率.题型12二级结论之中点弦问题椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x轴，K2.P为椭圆上一点，e为离心率，①A1，A②A1，A以上结论也适用于双曲线.【例题12】（22·23上·徐州·期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线A【答案】5【分析】设点的坐标，求斜率，由题知x02a∠BDO=∠BOD，知kAP【详解】设Px0,y0则直线AP的斜率为y0-nx0由题知x02a即x0+my0又∠BDO=∠BOD，则k即b2a2=4即c2a2=5故答案为：5【变式12-1】1.（22·23下·安徽·一模）已知直线l与椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,【答案】3【分析】利用点差法证明二级结论kMN⋅kOP=-b2a2，再结合【详解】设Mx1,y1记坐标原点为O，直线l,OP,又x12a即kMN⋅kOP=-即y0x0y0所以离心率e=故答案为：32【变式12-1】2.（2023·贵州·模拟预测）设О为坐标原点，A为椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：x2-2mx+y2【答案】3【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2【详解】设Ax1,y1，Bx2将A，B代入C，得x12a所以y1-y由E：x2-2mx+y2=0由题意可知DE⊥AB，不妨设OD的斜率为k>0∵OE=DE,△∴tan∠DEx由OD的斜率与DE的斜率之积为2，可得2k21-k所以kDE=22，所以k所以-24×所以C的离心率为e=故答案为：32【变式12-1】3.（2021·全国·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4，上顶点为B，O为坐标原点，点D为OB的中点，双曲线E：x2m2-y2n2=1(m>0，n>0)的左､右焦点分别与椭圆C的左､右顶点AA．355 B．32 C．8【答案】D【分析】由椭圆C的短轴长为4得B的坐标，D的坐标∴设A1P的中点为M连接得kPA直线A1P的方程得M的坐标，P的坐标，求出双曲线解得双曲线E的离心率e=【详解】因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(设A1P的中点为M，连接OM，则kPA1所以1a×-43=-4与直线OM的方程y=-43x所以M的坐标为-35,45又双曲线E：x2m2-y2n所以根据双曲线的定义，得双曲线的实轴长2m所以双曲线E的离心率e=故选：D【点睛】充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合.结论拓展已知直线l：y=kx+mk≠0,m≠0与椭圆x2a2+y【变式12-1】4.（22·23下·南通·阶段练习）已知两点A，M在双曲C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，点A与点BA．5 B．6 C．7 D．2【答案】D【分析】设O为AB的中点，设Bx1,y1x1<0,y1<0，Mx2,y2，Q【详解】如图，不妨设A在第一象限，取BM的中点Q，连接OQ，因为O为AB的中点，故OQ//Bx1,y1x1B，M在双曲线上，则x12a即y1+y2x故kBM⋅k又因为AB⊥AM，则OB⊥所以y1x1⋅y又ON2+8OA即|ON|=-8|OA所以kBN=8y1故b2a2=7，则双曲线根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得e=2当A在双曲线的顶点时，由于AB⊥AM，此时故双曲线C的离心率为e=2故选：D.题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S△ABC2.角平分线定理性质：ABBD=【例题13】（22·23下·山西·模拟预测）已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，PA．2 B．2 C．52 D．【答案】B【分析】根据题意分析可得F1QF2【详解】∵PF2⊥F1分别在△PQF∵PQ平分∠F1PF2且sin∠故sin∠PQF所以PF又∵PF2=所以b2a+2故c2-a2=3所以e=故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e=2.焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．【变式13-1】1.（22·23下·湖北·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A．7 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】根据CB=3F2A可知CB//F【详解】因为CB=3F2A，所以设F1F2=2c，则F2C因为BF2平分∠F所以BC=2BF由双曲线定义知AF2-AF1又由BF1-所以BF2=所以∠F在△F1B即12=4把①代入上式得e=ca故选：A．【变式13-1】2.（22·23高三·云南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，P为椭圆上一点，直线AP与直线x=a交于点M，【答案】1【分析】利用垂直关系而得出MB=2b2【详解】由题意知，A-a,0，Ba,0，F由PFAF=MBAB，得又∠PFB的角平分线与直线x=a交于点N，可知NBS△MABS△NFB=1故答案为：13【变式13-1】3.（2023·山东烟台·校考模拟预测）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1-c,0A．33 B．2-1 C．2【答案】D【分析】作图，根据几何关系以及椭圆的定义求解.【详解】依题意作上图，因为F1Q是∠PF1F2又P点在圆x2+y2=c2的圆周上，根据椭圆的定义有PF1由勾股定理得：F1F22=即e2+2e-2=0解得e故选：D.【变式13-1】4.（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2．椭圆C在第一象限存在点MA．6-12 B．5-12【答案】B【分析】根据题意和椭圆定义可得到MF2，AM和a，c的关系式，再根据△MF1F2∽△【详解】由题意得F1又由椭圆定义得MF记∠M则∠AF2则AF所以AM=4故△M则MF则a-cc故选：B．题型14圆锥曲线与圆相关【例题14】（2023·福建漳州·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段A．3-12 B．12 C．【答案】D【分析】先求出以F2为圆心的圆的方程，求出A0,3c，B3c【详解】

设椭圆的半焦距为c，因为以F2为圆心的圆过F1，故该圆的半径为故其方程为：x-令x=0，则y=±3c，结合A在令y=0，则x=-c或x故kF1A设Mm因为A在y轴的正半轴上，F1在x轴的负半轴上，故m而BM=故3c-m故m=-23所以49c2整理得到：4e4-故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.【变式14-1】1.（23·24高三上·福建福州·开学考试）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点AA．3+12 BC．5+12 D【答案】D【分析】先求出以F2为圆心的圆的方程，求出A0,3c，B3c【详解】设双曲线的半焦距为c，因为以F2为圆心的圆过F1，故该圆的半径为故其方程为：x-令x=0，则y=±3c，结合A在令y=0，则x=-c或x故kF1A设Mm因为A在y轴的正半轴上，F1在x轴的负半轴上，故m而BM=故3c-m故m=-23所以49c2解得e2=4+72或4-则e2=4+故选：D.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.【变式14-1】2.（2023·全国·二模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右顶点分别是A1，A2，圆x2+yA．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】利用M在渐近线和圆x2+y2=a2上，可得M坐标，利用M坐标结合A1【详解】设Mx1,y1，因M在渐近线上，则y1=bax又由题可得A1-a,0，则直线将其与双曲线方程联立，消去y得：b2由题，其判别式大于0，设Px2,则x2=a又A2I⊥x，则则kMA2即ba故选：B【变式14-1】3.（22·23·马鞍山·三模）已知F1 ， F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0 ， b>0)的左，右焦点，点A．62 B．324 C．3【答案】A【分析】根据题意结合双曲线的定义可得MF1⋅MF2【详解】由题意可得：MF可得4a2+2过点O分别作AB,PQ的垂线，垂足分别为则C为AB,MF1的中点，D为所以OC⋅由题意可得：OC2因为圆O:x2可得AB=2所以四边形APBQ的面积1=29可得3c4+b4所以C的离心率e=故选：A.【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．【变式14-1】4.（22·23上·全国·阶段练习）已知圆C1:x2+y-2332=163过双曲线C2:xA．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可求得双曲线的焦点坐标，结合圆的几何性质推出∠F1MF2=π3【详解】由C1:x2+y-23故F1(-2,0)，F2(2,0)圆心为C1(0,23由于|C1F1因为M为双曲线右支上一点，MF设MF1=m故m2+在△F1M即42=m故4a故双曲线离心率为e=故选：C【点睛】关键点点睛：根据题设条件可求得双故曲线的焦半距，因此要求离心率，就要求出a的值，因此关键点就在于要利用圆的几何性质推得∠F1MF2=π3，设MF题型15内切圆相关【例题15】（22·23高三下·江西·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P在C上且位于第一象限，圆O1与线段F1P的延长线，线段PA．12 B．35 C．22【答案】A【分析】设圆O1、O2与x轴的切点分别为A，B，圆心O1、O2在∠PF1F2的角平分线上，从而切点D也在∠PF1【详解】由已知及平面几何知识可得圆心O1、O2在∠P设圆O1、O2与x轴的切点分别为A，B，由平面几何知识可得，直线切点D也在∠PF1由椭圆的定义知PF1+所以F2所以F2所以F1F1又圆O1与圆O2的面积之比为所以圆O1与圆O2的半径之比为因为O2B 即3c-aa+c=故选：A.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【变式15-1】1.（2023·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1，F2，点F2与抛物线C2:y2=2pxpA．94 B．54 C．95【答案】B【分析】令F1(-c,0),F2(c,0)，由题设知c=【详解】由题设F1(-c,0),F由-c2a2-y2如下图示，内切圆与△PF1F所以PD=PE,则(PD所以K为双曲线右顶点，又△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为故b2=9，则c=5故选：B【变式15-1】2.（22·23下·宁波·阶段练习）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为FA．13 B．12 C．33【答案】B【分析】设Px0,y0,Ix1,y1，设圆与P【详解】设Px0,y0则PM=又PM+PN+所以PM+所以F1即F1过点P作直线x=a2则PHP所以PHP所以PF2=∴F1∴x1由三角形面积相等，得12∴y∵k∴y所以ca∴a=2c故选：B..【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【变式15-1】3.（23·24高三上·云南昆明·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】2【分析】先根据倾斜角求出AB弦长，再根据内切圆半径公式求出a,c【详解】因为直线AB过左焦点F1且∠AF联立x2a2+y所以x1+x又因为∠AF1F2所以S△根据内切圆半径公式可得r=2Sl，其中l为所以r=2×22【变式15-1】4.（2023·山西·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点【答案】2【分析】设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，由切线性质知NF1=【详解】设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，由切线性质知MN＝MQ=由对称性知AF所以PF1=所以2a所以e=故答案为：2【变式15-1】5.（22·23·红河·一模）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，若E【答案】1+3/【分析】由OP=12F1F2可得PF1⊥PF2，PF12【详解】因为OP=12F1又因为P在双曲线上，所以PF1|-|PF1+因为△PF1所以S△即PF1⋅所以b2-ac即c2-2ac-2a因为e>1，所以e故答案为：1+3【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|P题型16与立体几何相关【例题16】（2023·安徽安庆·一模）.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距O1O2=6，截面分别与球O1，球O2切于点E，A．339 B．63 C．22【答案】A【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球O1，球O点A,B分别为圆O1椭圆长轴长2a过O2作O2D⊥O1A又|O则2a过O2作O2C⊥O1E椭圆焦距2c所以椭圆的离心率e=故选：A.【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.【变式16-1】1.（22·23高三下·河北衡水·阶段练习）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F2作直线AB⊥F1F2

A．3 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根据题意分析可知锐角二面角α=∠A【详解】设双曲线的半焦距为c>0由题意可得：AF则A'且A'F1在△A'F在△A'F因为1-cosα1-可得a2+c故选：C.【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值【变式16-1】2.（2023·云南大理·模拟预测）某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF卷后为圆柱O1O2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O为坐标原点的平面直角坐标系，设Px,y为裁剪曲线上的点，作PH⊥x轴，垂足为H．图乙中线段OH卷后形成的圆弧OH（图甲），通过同学们的计算发现y与

A．255 BC．12 D．【答案】B【分析】结合题意，利用函数y=1-cos【详解】函数y=1-cosx所以相应圆柱的底面圆的周长为4π，故其直径为4故根据题意可知该椭圆的短轴长为2b=4，即又y=1-cosx故椭圆的长轴长为2a=4故椭圆的离心率为e=故选：B【点睛】关键点睛：解答本题关键的关键在于根据题中所述，明确椭圆的长轴长和短轴长与已知函数之间的关系，进而求得长轴长和短轴长，从而求得答案.【变式16-1】3.（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.

【答案】3【分析】由题意如图所示，由球的半径可求得BF,BO的值，进而可得∠BOF=∠ODM的正弦值，所以可求出OD的值，即可以求出【详解】如图所示：

由题意可得BF=1,BO=2又因为sin∠ODM=sin∠所以OD=a=2，而2所以c=a2故答案为：32【变式16-1】4.（22·23下·辽宁·阶段练习）如图所示圆锥，C为母线SB的中点，点O为底面圆心，AB为底面圆的直径，且SC，OB，SB的长度成等比数列，一个平面过A，C，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．【答案】55/【分析】令r=OB,l=SB，由等比数列性质可得l【详解】令r=OB,l=SB，则l2所以r2=l由题意，显然SO⊥OB，在直角△SOB中|SO所以△SOB为等腰直角三角形，故圆锥轴截面SAB为等腰直角三角形且∠ASB所以AC=l2+l轴截面SAB如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过O作OE//SB交AC于D，交SA于E，则O为AB中点，所以D为AC中点，即D为椭圆中心，过D作FG//AB交SA,综上，有△EFD∼△EAO均为等腰直角三角形，故EDEO=同理△CDG∼△CAB，故CDCA=所以2b=2FG综上，椭圆离心率为e=故答案为：5【点睛】关键点点睛：注意短轴长为过长轴长2a=【变式16-1】5.（多选）（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知圆锥PO的轴PO与母线所成的角为α，过A1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1B2,长半轴长为a，短半轴长为b，椭圆的中心为N,再以B1B2A．当β<B．|C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率eD．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e【答案】BC【分析】由截口曲线的含义可判断A；过N作NG⊥PC1于点G，求出而|C1N|=asin(【详解】由截口曲线知，当β<α时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A对于B，过N作NG⊥PC1于点所以|NG|=asin同理过N向PC2作垂线，可得∴|NC1对于C，D，设圆锥上部球O1与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆O1，半径为球O1与A1A设∠O1φ=|A解得e=tanφ故e=sin(π2故选：BC【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得a,c之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设∠O1A2题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】（1）经过圆x2+y2=（2）当Mx0,y0【结论2】（1）若圆心不在原点，圆的方程：x-a2+y-（2）若Mx0,y方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】（1）过圆x2a2+y（2）当Mx0,y0在椭圆x（3）设过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0外一点Mx0 , y0引两条切线，切点分别为Ax1,y1，Bx2,y同理可得焦点在y轴上的情形．【结论4】（1）过圆y2a2+x（2）当Mx0,y0在椭圆y【结论5】（1）过双曲线x2a2-y（2）当Mx0,y0在双曲线x（3）设过双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0外一点Mx0,y0引两条切线，切点分别为Ax1,y1、Bx2同理可得焦点在y轴上的情形．【结论6】（1）过双曲线y2a2-x（2）当Mx0,y0在双曲线y【例题17】（2023·重庆·模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点Ax1,yA．22 B．5 C．2 D．【答案】D【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点Ba2x1【详解】因为点A在第一象限，由x2a2则y'点Ax1,y1可得y'可得在点Ax1,令y=0，解得x又因为x12a所以x=即点Ba设双曲线C的半焦距为c>0，则F1-因为F1B=2BF则y1可得AF且点A为双曲线C在第一象限的右支上一点，则AF可得AF在△AF1即4c2=16所以双曲线C的离心率e=故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来【变式17-1】1.（22·23高三上·全国·阶段练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0上的一点M（异于顶点），过点M作双曲线C的一条切线l.A．13 B．23 C．32【答案】A【分析】表示出点M的坐标，分别用坐标和a、b、c表示出直线OM与l的斜率，最后计算出斜率的积即可.【详解】由双曲线C的离心率e=23所以12a2=9c2=9a2+b2，得b2直线l的斜率kl=b2故选：A【点睛】结论点睛：若二次曲线方程为：A设过二次曲线的切线切点为Mx0证明（仅供参考，结论考生可直接使用）：对方程Ax2+2AxBx+2Cy+Ey'=-因此，所求切线方程y-y化简并整理，得2用因为Ax2即Ax0【变式17-1】2.（2022·全国·统考二模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0与椭圆x24+y23=1．过椭圆上一点P-1,3A．132 B．13 C．32 D【答案】A【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出k=12，求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出【详解】由题意得：渐近线方程为y=±设切线方程为y-323+4k由Δ=64k2解得：k=所以切线方程为y=令y=0得：x=-4，所以联立y=bax与联立y=-bax与因为N为MQ的中点，所以-4解得：ba所以离心率为1+故选：A【变式17-1】3.（2017·江苏南通·校联考一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y【答案】x【分析】根据离心率化简椭圆方程，由两点间距离公式与勾股定理计算△P【详解】椭圆的离心率为12,则a=2设Px1|连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2|PF2由题意得△PF2Q的周长为4∴椭圆C的方程为x2故答案为：x【变式17-1】4.（2019下·浙江·高三校联考阶段练习）已知F1，F2是焦距为2的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，过点P【答案】5【分析】设P(x0,y0)，求得过点P的椭切线方程b2x0x+【详解】由题意，椭圆C:x2设P(x0则经过点P的椭圆的切线方程为x0xa因为F1(-c,0),F所以-c所以a4b4-c又因为2c=2，即c=1所以椭圆的离心率为e=故答案为：55【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a题型18正切公式的运用【例题18】（2022·山东潍坊·统考三模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右顶点分别是A1，A2，圆x2+y2=A．2 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】由题设可得M(a2c,abc)，A1(-a,0)，A【详解】联立{y=baxx2+y所以|MA1由题设，∠A1MA所以∠MA2P=45°所以∠MA1A2则tan2∠M所以e=故选：B【变式18-1】1.（2022·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C；x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于AA．2 B．213 C．263【答案】D【分析】根据tan∠AFO=ab，tanα=ba，得到AB⊥【详解】因为FB=3FA，画出示意图如图，设∠AOF=所以sin2所以cos2所以tan∠又tanα所以∠AFO所以AB⊥所以OA=又因为FB=3所以AB=2在Rt△AOB中，tan∠所以tan2化简得：b2所以c故选：D【点睛】圆锥曲线离心率问题，要能结合题目信息列出关于a,b【变式18-1】2.（2022·江西景德镇·统考模拟预测）点F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，斜率为34的直线l过点F且与双曲线C的右支交于点A．207 B．165 C．259【答案】A【分析】根据已知条件列出关于a,【详解】如上图所示，过P作PE⊥x轴，设∠PFM=θ，则∠PME=2θ，根据题意得：tanθP点处的切线方程为：y-y0=k(x-x0)，联立{y-所以{y0x0=724⋅b2a2①y0x0+c=34②故选：A【变式18-1】3.（22·23下·辽宁·一模）过双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0焦点F【答案】3【分析】依题意，FN垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造a,c齐次式求C【详解】解法1：双曲线的焦点F（c,0）到渐近线bx-因为FN=b，所以则OF=c，ON=a，sin∠因为MF+3FN=0过作另一条渐近线的垂线，垂足为P，则FP=b，在直角△MFP因为∠MFP=2∠OFN，因为cos因此C的离心率为3.解法2：因为FN=b，所以FN垂直于渐近线，则OF=因为MF+3FN=0在Rt△OMN中，tan∠MON==tan∠2ba=-2ba1-所以C的离心率e=故答案为：3.【点睛】思路点睛：由焦点到渐近线的距离为b，可得FN垂直于渐近线，这是本题的着手点，数形结合在直角三角形中利用三角函数构造a,c齐次式可求C【变式18-1】4.（2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知点F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(A．13 B．12 C．32【答案】C【分析】设直线MF1，MF2的倾斜角分别为α，β，M(-a,t【详解】由题意知，F1(-c,0)，F2(c,0)，直线l为x=-由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即M(-a,t)，(∵∠F∴tan当且仅当t=b2t，即t=∴c=3b，即c2=a故选：C.【点睛】关键点点睛：设点M坐标及MF1，MF2的倾斜角，由∠F1MF题型19圆锥曲与内心结合【例题19】（23·24上·南宁·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1，FA．1312 B．135 C．137【答案】C【分析】先判断出PH是∠F1【详解】因为PH=λ(PF又因为点H在直线x=a上，且在双曲线中，点P是双曲线设△F1PF2根据三角形内切圆的知识可知PF1-所以△PF1F2的内切圆圆心在直线x=如图，作出△PF1F2，并分别延长HP、HFHF1'=5H设S△HPF即m：又H为△PF1F2则2a=|PF1故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，解题有两个方向，一个是求得a,c，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得a,c【变式19-1】1.（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为【答案】2【分析】由F2PF2P+【详解】依题意，由F2得F2PF2P如图，设∠PF2Q的平分线F2则∠PF2D=∠所以△PDF2≌△QD由题得F1-c,0，F2c,0在Rt△DF1F2中，∠F由双曲线的性质可得QF1-则PD=QD=2a，所以在又t=DF1-即c2+2a2故答案为：2【变式19-1】2.（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F【答案】4【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.【详解】如图所示，在焦点三角形中，处长PQ交F1F2因为Q为△F1F2PPQ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒F因为2Q所以有F1因此M的离心率为ca故答案为：4【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.【变式19-1】3.（21·22·全国·专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，点P【答案】2【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出PF1PF【详解】设直线PH交x轴于点Q，如图，设△PF1F2有OH=故PH=λ⋅2R设△PF1F2的内切圆圆心为I，内切圆圆I分别切PF1、PF2由切线长定理可得F1M=F1所以，PF结合图形可得xT+c故△PF1因为点H在直线x=a上，所以点H为△由2HP+3H所以，9PH=3P设PG=37PF所以，点G在直线F1F2上，又因为PH∩F且有97由角平分线的性质可知点Q到直线PF1、故S△PF令PF2=3m，则故F1则双曲线C的离心率e=故答案为：2.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点H为△PF1F2的内心，再结合角平分线定理推导出【变式19-1】4.（2022上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1a,b>0的左、右焦点分别是F1，F2，点CA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据CD=λCF1CF1+CF2【详解】由于点D在直线x=a上，且满足CD=λC设△F1CF2的内切圆分别与边F1C，结合双曲线的定义可得CF1-CF2=NF1由7OD-5DC+OF1=0得5因此5DC分别延长DC,DF2,DF1故DC'+DF设S△CDF1=m,又S△CDF1=12DC⋅DF由于D为△F1CF2的内心，故D因此△F1C因此离心率e=故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对于离心率问题，要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出a,b【变式19-1】5.（2021·四川成都·校联考三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由PH=λPF1PF1+PF2【详解】因为PH=λPF1又因为点H在直线x=a上，且在双曲线中，点P是双曲线则△PF1F2的内切圆圆心在直线x如图，作出△PF1F2，并分别延长HP、HF1、HF2HF'1=3HF1设S△HPF1=m，即m:又H为△PF1因为F1F2=2c，所以P所以双曲线C的离心率e=故选：C.【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c（1）△ABC的重心G满足GA（2）△ABC的内心P满足a（3）△ABC的外心M满足MA1.（2023·辽宁·三模）双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1-c,0A．5 B．5+12 C．5-【答案】A【分析】设∠AF1O=θ，求出sinθ=ac及cos【详解】设切点为A，∠AF1O=θ，连接过点P作PE⊥x轴于点E，则S△F1因为sinθ=PE由双曲线定义得PF1-在△PF1化简得3a2+所以4a2+b2解得ba=2，所以离心率故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a,c2.（22·23·南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1 ( a>0 ，  b>0 )的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，圆OA．54 B．85 C．52【答案】D【分析】设PF1=n，PF2=m，有n-m=2a，n2+【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：x2+y2=设PF1=n，PF2=m，点P在双曲线上，过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，则OD同理，AB=23c四边形AMBN的面积为12481c416-m2+n故选：D3.（2023·辽宁丹东·一模）经过坐标原点O的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A，B两点，过A垂直于AB的直线与C交于点D【答案】22/【分析】设直线BD的方程为y=kx+m(k≠0)，与椭圆方程联立，由OB⋅OE=2【详解】解：设直线BD的方程为y=kx+则A-由y=kx+显然存在k,m，使得故由韦达定理得x1因为OB⋅OE=2OE2则x1因为AB⊥所以kAD=y即-2k2所以e=故答案为：224.（2023·四川凉山·一模）如图，已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1，C2:x2a2+y【答案】2【分析】设切线PR:y=k1x【详解】由题可知P-a,0设切线PR:y=由y=k1所以Δ=整理可得k1由y=k2所以Δ=整理可得k2又两切线斜率之积等于-1所以k12⋅所以e2=t所以e=2故答案为：225.（2022·新疆·统考模拟预测）如图，已知F1，F2为双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作直线l1，l2交双曲线E于AA．2 B．3 C．52 D．【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.【详解】设DF1=AF由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：CF2连接CF1，则有CDC=由于F1在以AD为直径的圆周上，∴D∵ABCD为平行四边形，AB//CD，∴在直角三角形CDF1中，CF1解得：x=3a，D在直角三角形F1F2D中，DF得5a2=2c2故选：D.6.（多选）（2023·广东汕头·三模）已知F1，F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），△PF1F2外接圆的圆心为H，半径为R，A．S△PF1F2最大时，C．椭圆C的离心率等于PIIM D．R⋅【答案】ABD【分析】对于A，根据当P在短轴的端点时，S△PF1F对于B，根据PO=对于C，运用角平分线定理即可求解；对于D，由正弦定理可得R=1sinθ，再又结合A可得r=【详解】对于A，设Px,y，-2<x所以S△则当P在短轴的端点时，S△PF又S△所以当S△PF1F2最大时，对于B，过点H作HG⊥PF又点H为△PF1F2外接圆的圆心，即为△由PH⋅又PH⋅PF所以PH⋅当且仅当PF1=PF2=对于C，由△PF1F2内切圆的圆心为I，则IF1则由角平分线定理可得PIIM=PF1对于D，设∠F1PF2由正弦定理可得2R=F则cosθ=a因为S△又结合A有S△MF1F2=3又因为当P在短轴的端点时，θ最大，此时PF1=所以θ∈0°,60°，即θ2故R⋅r=故选：ABD．

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．7.（多选）（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的左､A．|B．SC．SD．若存在点P，使得S△PF1F2=15【答案】AB【分析】对于A,先证明双曲线x2-y2b2=1上一点Px0,y0的切线方程为x0x-y0yb2=1，与双曲线的渐近线进行联立，可得A,B坐标，可得到AB【详解】对于选项A，先求双曲线x2-y不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由x2-y2b则在点Px0,所以在点Px0,又因为x02-y0当P为右顶点1,0时，切线方程为x=1，易得也满足x不失一般性，设点Px0,y0是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，A联立x0所以点Abbx则AB=又因为x0≥1，所以AB≥2b2对于选项B，由A项知，bb所以点Px0,y0是线段AB对于选项C，因为在点Px0,令y=0得x=1则S△当点Px0,y0在顶点1,0对于选项D，因为F1-c又因为F1D=2DF即：x0=3c，代入所以P=9P=9因为S△PF所以cos∠解得：c2=4或6，所以离心率为e=ca=2故选：AB【点睛】结论点睛：双曲线x2a2-y8.（多选）（2023·湖南·二模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作斜率为A．AF1=2AFC．△AF1F2的面积为7【答案】AD【分析】利用双曲线的定义求出AF2、AF2，可判断A选项；在△AF1F2中，应用余弦定理可得出关于a、c的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断【详解】如下图所示：对于A选项，因为AB=BF由双曲线的定义可得AF1-AF对于B选项，设直线AB的斜率为7，设直线AB的倾斜角为α，则α为锐角且tanα由tanα=sinαcos在△AF1即2c等式2c2+2ac因为e>1，解得e=2对于C选项，