高中数学必修第二册 平面与平面平行 学案

8.5.3平面与平面平行

团阑国阉目底（教师独具内容）

课程标准：1.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理.2.能够用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.

教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用.

教学难点：从生活实践中归纳发现平面与平面判定定理和性质定理的应用.

核心概念掌握

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-知识导学-

知识点一平面与平面平行的判定定理

1.文字语言：如果回一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么

这两个平面平行.

图“U6、

回bu4

2.符号语言：回aAZ?=P>=>a〃/.

――〃a,

3.图形语言：如图所示.

4.作用：证明两个平面区平行.

知识点二平面与平面平行的性质定理

1.定理：两个平面平行，如果四另一个平面与这两个平面相交,那么两条

交线蚂平行.

2.符号表示：若陷a〃8，aQ尸a,8Cy=b，则国a〃b.

3.作用：因证明或判断线线平行.

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新知拓展

1.证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义.

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平

行，那么这两个平面平行.

(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

2.平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可

⑴两个平面平行，即a//p.

(2)第一个平面与第三个平面相交，即aAy=a.

(3)第二个平面与第三个平面也相交，即4n〉=b.

3.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示

才评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行.()

(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平

行.()

(3)若平面%夕都与平面y相交，且交线平行，则a〃夕.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个

平面的位置关系是()

A.一定平行B.一定相交

C.平行或相交D.以上判断都不对

(2)已知平面a,§和直线a,b,c,且a//b//c,aUa,h,cU§,则a与夕

的关系是.

(3)设a,b是不同的直线，a,4是两个不同的平面，给出下列结论：

①若a〃a,b〃a〃夕，则a〃8；

②若a〃夕，a//a,aQ0,则a〃夕；

③若a〃夕，AGa,过点A作直线/〃夕，则/Ua；

④平行于同一个平面的两个平面平行.

其中所有正确结论的序号是.

(4)平面a〃平面用，直线/〃a,则直线/与平面夕的位置关系是

答案(1)C(2)相交或平行(3)②③④(4)/〃.或/U4

核心素养形成

题型一平面与平面平行判定定理的理解

例1下列命题中正确的是()

①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.

A.①③B.②④C.②③④D.③④

［解析］对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两

条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，

故①错误；

对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一

定平行.如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错

误；

对于③：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平

行.这是两个平面平行的定义，故③正确；

对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面

平行.这是两个平面平行的判定定理，故④正确.

故选D.

［答案］D

金版点睛」应用平面与平面平行判定定理的注意事项

(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注

意是两条相交直线都平行于另一平面.

(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它,

只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法.

「跟踪训练I

设直线I,m,平面a,B，下列条件能得出a/邛的有()

①/Ua,mCa,且/〃/，m///?；

②/Ua,mUa,且/〃m,/〃/，m〃§；

③/〃a,mH/3,且/〃加；

®lC\m=P,/Ua,"?Ua,且/〃4，，

A.1个B.2个C.3个D.0个

答案A

解析①错误，因为/,m不一定相交；②错误，一个平面内有两条直线平行

于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行

的判定定理可知，④正确.

题型二平面与平面平行的判定

例2如图，在正方体ABCO-AiBGOi中，M,E,F,N分别是B\C\,

C\D\,DiAi的中点.

求证：(1)£,F,B,。四点共面；

(2)平面MAN//平面EFDB.

［证明］(1)如图,连接5Q1,♦分别是边BiCi,GDi的中点，，历〃

B\D\.

而BD〃BiDi,：.BD//EF.

：.E,F,B,。四点共面.

Q）易知MN〃BiDi,B1D1//BD,

J.MN//BD.

又MNQ平面EFDB,8。U平面EFDB,

〃平面EFDB.

连接ME「M,尸分别是A1B1,C1D1的中点,

：.MF//A\D\,MF=A\D\,

S.MF//AD,MF=AD,

二四边形AOFM是平行四边形，J.AM//DF.

又AM@平面BDFE,DFU平面BDFE,

...AM〃平面BDFE.

，平面MAN//平面EFDB.

金版点睛J线线平行、线面平行与面面平行的转化

(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平

行”问题最终转化为“线线平行”问题.此即为面面平行判定定理的推论产生的

依据.

(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若

不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线.

彳跟踪训练2

如图所示，在三棱柱ABC—A山Ci中，E,F,G,”分别是AB,AC,AiB,

Ai。的中点，求证：

(1)B,C,H,G四点共面；

(2)平面〃平面BCHG.

证明(1)因为G,”分别是AiBi,AiG的中点，所以G"是△AiBCi的中位

线，所以G”〃BG.

又因为所以G"〃BC,

所以B,C,H,G四点共面.

(2)因为£,尸分别是A3,AC的中点，所以EF〃BC

因为E网平面BC”G,BCU平面BCHG,

所以EF〃平面BCHG.

因为4G〃硝，A\G=EB,

所以四边形4EBG是平行四边形，所以AiE〃GB.

因为4EQ平面BCHG,GBU平面BCHG,

所以4E〃平面BCHG.

因为AiEAEF=E,

所以平面或弘1〃平面BCHG.

题型三平面与平面平行性质定理的应用

例3如图，在正方体ABCO-AiBCiOi中，0为底面A3CO的中心，P是

DDi的中点，设。是CG上的点，问：当点。在什么位置时，平面。1BQ与平面

孙。平行？

［解］如图，设平面。iBQC平面AODi4=OiM,点M在A4上,

由于平面OlBQn平面BCC\B\=BQ,平面平面BCC\B\,

由面面平行的性质定理可得BQ//D\M.

假设平面。山。〃平面PAO,由平面。山。0平面ADD\A\=D\M,平面

平面AODi4=AP,可得AP〃Z)iM,所以BQ〃AP.

因为P为。Qi的中点，所以Q为CG的中点.

故当。为CG的中点时，平面。山。〃平面出0.

金版点睛］应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

5跟踪训练3

如图，已知AB,CO是夹在两个平行平面a,夕之间的线段，M,N分别为

AB,CD的中点.求证：MN//a.

证明若AB,CD在同一平面内，则平面A8OC与a,4的交线分别为

AC.

二B，.,.AC//BD.

\'M,N分别为AB,CD的中点,J.MN//BD.

又BDUa,MNQa,:.MN//a.

若AB,CO异面，如图，过A作AE〃C。交a于点E,取AE的中点P,连

接MP,PN,BE,ED.

'：AE//CD,：.AE,CD确定平面AEOC,

且与a,8的交线分别为ED,AC.

,:B，：.ED//AC.

又P,N分别为AE,CO的中点，

J.PN//ED,：.PN//a,

同理可证MP〃BE,：.MP//a,平面MPN〃a,

又MNU平面MPN,：.MN//a.

题型四直线、平面平行的综合应用

例4在正方体43cCQi中，如图.

(1)求证：平面平面GBD；

(2)试找出体对角线AiC与平面AB\D\和平面GBD的交点E,F,并证明:

A\E=EF=FC.

［解］(1)证明：因为在正方体ABCO-AIBCQI中，

AD融BiCi,

所以四边形AB。。是平行四边形，所以AB〃CiD

又因为GOU平面CiBD,平面C\BD.

所以〃平面同理平面GBD.

又因为ABinBiDi=Bi,ABC平面ABOi,BOC平面

所以平面AB\D\//平面C\BD.

(2)如图，连接AiG交于点。，连接AOi与4C交于点E.

又因为AOU平面AB\D\,

所以点E也在平面ABiDi内，

所以点E就是AC与平面n的交点；

连接AC交BO于点0,连接C0与AC交于点F,则点尸就是AC与平面

C\BD的交点.

下面证明A\E=EF=FC.

因为平面4GCA平面

平面4cleA平面C\BD=C\F,

平面ABDi〃平面GBD,所以EOi〃CF.

在△AiGf'中，Oi是ACi的中点，所以E是AiF的中点，即

同理可证0尸〃4民又因为。为AC的中点，所以尸是CE的中点，即C/=

FE,所以AiE=EE=FC.

金版点睛」三种平行关系的相互转化

线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转

化.相互间的转化关系如图.

因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问

题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向.“平行关系”的应用是证

明线线、线面、面面平行的依据,充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定

理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在.

「跟踪训练4

如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面a〃平面ABC,a分别交线段

PA,PB,PC于A',B',C'.若票7=。，求S1B：£的值.

AA3SMBC

解•平面a〃平面ABC,平面雨8C1平面a=A'B',

平面BABA平面ABC=AB,

：.A'B'〃AB.同理可证8'C//BC,A'C//AC.

：.ZB'A'C=ZBAC,NA'B'C=ZABC,ZA'C'B'=ZACB.

:.△A'B'C'^/\ABC.

又物'：A'A=2：3,：.PA'：PA=2：5.

.♦.A'B':AB=2:5.

=

SA/I-BC':SMBC425.

随堂水平达标

1.已知直线/,平面a,a下列命题正确的是()

A.m//1,I//a^m//a

B.I//(i,m///3,/Ua,机Ua与a〃4

C.I//m,lUa,机u4=>a〃4

D.I///3,m〃B，/Ua,mUa,lCm=M0a〃0

答案D

解析A中，可能在a内，也可能与a平行；B中，a与P可能相交，也

可能平行；C中，a与尸可能相交，也可能平行；D中，lCm=M,且/,机分别

与平面夕平行，依据面面平行的判定定理可知a〃夕.故选D.

2.设a〃夕，Ada,B-C是A3的中点，当A,B分别在平面a,夕内运

动时，得到无数个A3的中点C,那么所有的动点C()

A.不共面

B.当且仅当A,8分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当A,3分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.不论A,8如何移动，都共面

答案D

解析如图所示，A',B'分别是A,B两点在a,夕上运动后的两点，此时

的中点变成A'B'的中点C',连接A'8,取A'B的中点£连接CE,C'E,

AA',BB',CC'.则C£〃44',

：.CE//a.'：CE//BB',：.C'E〃夕.又a〃4，：.CE//a.

'：C后门。七=£，平面。。'E〃平面a.

：.CC〃a.所以不论A,B如何移动，所有的动点C都在过C点且与a,4

平行的平面上.

3.如图，在正方体ABC。一AiBiGDi中，若经过。山的平面分别交A4i,

CCi于点E,F,则四边形。IEBF的形状不可能是（）

A.矩形B,菱形

C.平行四边形D.正方形

答案D

解析若点E与点4重合，则点尸与点C重合，此时四边形OiEB尸是矩形;

若点E在/Ui的中点处，则点尸也在CG的中点处，此时四边形OiEBR是菱形

但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形.故选D.

4.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形A3CO为正方形，E,F,

G,“分别为出，PD,PC,的中点，在此几何体中，给出下面五个结论:

①平面ER7H〃平面A8CD；

②出〃平面BDG；

③EF〃平面PBC；

④"7〃平面BDG；

⑤EE〃平面BDG.

其中正确的结论是，

答案①②③④

解析还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四