江苏省五市十一校2023-2024学年高二年级上册12月阶段联测数学试题（含答案解析）

江苏省五市十一校2023-2024学年高二上学期12月阶段联测

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线/经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线/上的点是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,1)

2.已知函数可导，且满足1吧"”—)［、+>)=2,则函数y=在彳=3

处的导数为()

A.-1B.-2C.1D.2

3.抛物线-=2y的焦点到准线的距离为

A.4B.2C.1D.-

4

4.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性

的便是园林中的门洞.如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m,底面宽为1m,则该门

洞的半径为()

A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m

5.已知等差数列｛风｝的前〃项和为S“，若邑=2,S8=16,则几=()

A.182B.128C.56D.42

22

6.与双曲线二-y2=i有相同渐近线，且与椭圆21+尤2=i有共同焦点的双曲线方程是

2-4

()

222

A.X-^=1B.y--=lC.---^=1D.^-x=1

22422

7.已知数列｛%｝满足％=1,——=—+3,设数列｛q4+1｝的前〃项和为1,若

an+lan

4＞盖小€N)，则上的最小值是()

A.16B.17C.18D.19

22

8.椭圆E:j+2=l(a>b>0)的左焦点为尸，右顶点为A,以尸为圆心，I/。I为半径

ab

的圆与E交于点尸，且用，R4,则E的离心率为()

二、多选题

9.已知直线/:(m—2)x+(m+l)y—3=0,则()

A.直线/始终过第二象限

B.加=:1时，直线/的倾斜角为37邛r

24

C.%=1时，直线/过点(-3,0)

D.点尸(2,2)到直线/的最大距离为加

10.已知圆C]:/+丁=9与圆G：(%-3)2+('_4)一=16,下列说法正确的是()

A.G与C2的公切线恰有4条

B.G与C?相交弦的方程为3尤+4y—9=。

c.G与C?相交弦的弦长为2?4

D.若尸，。分别是圆q,C2上的动点，则|尸°二=12

11.已知等差数列｛a“｝的前〃项和为S“，且S6>S7>》，则下列命题中正确的是()

A.d<0B.工]>。

C.&>0D.数列也｝中最大项为S”

12.已知抛物线C：y=的焦点为尸，尸为c上一点，下列说法正确的是()

A.C的准线方程为y=

B.直线y=x-i与C相切

C.若“(0,4),则忸闾的最小值为

D.若M(3,5),则的周长的最小值为11

三、单空题

试卷第2页，共4页

13.直线/：尤+2y+2=0在y轴上的截距是.

四、填空题

14.已知数列｛%｝为等比数列，«1+a2=3,a3+a4=12,贝!]%+&=.

15.已知抛物线。：/=2。吠°>0)的顶点为。，焦点为尸，且经过点4(%,2),若

\AF\=3\OF\,贝i]P=.

16.已知点4(0,0),5(2,0),圆跖(x-4)2+(y—4)2=产(/>0)上恰有两点々。=1,2)满

足44金3=3,则厂的取值范围是.

五、解答题

17.已知S“是等差数列｛%｝的前〃项和，且%=9,S3=15.

(1)求数列｛%｝的通项公式％;

(2)令么=---,求数列也｝的前〃项和

an+l'an

18.已知圆C的圆心C在直线y=2x上，且经过A(-l,0),8(3,0)两点.

⑴求圆C的方程；

⑵直线/：〃zx+y-3"Ll=0与圆c交于E,尸两点，且怛产|=26，求实数优的值.

19.已知等差数列｛4｝的前"项和为S",且$4=4邑，a2n=2an+l(neN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若勿=2",令c"=ah，求数列｛c,J的前”项和人

20.平面上的动点P(x,y)到定点尸(01)的距离等于点尸到直线>=-1的距离，记动点P

的轨迹为曲线C.

⑴求曲线c的方程；

⑵直线/：y=x+根与曲线C相交于A,B两点,线段A8的中点为跖是否存在这样的直

线/,使得叱LAB,若存在，求实数机的值，若不存在，请说明理由.

六、证明题

21.设数列｛%｝的前"项和为S"，已知4=1,3=2,且a“+2+S“+i=3S“+3(weN*).

⑴求证：an+2=3an.

⑵求s?,,.

22.已知椭圆05+"=1(。>6>0)的离心率6=?，且椭圆C经过点，

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点尸(2,0)且斜率不为零的直线与椭圆C交于3,。两点，B关于x轴的对称点为A,

求证：直线AO与x轴交于定点。.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】由已知的两点求出直线/的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.

丫一7)*一(_3)

【详解】由直线的两点式方程，得直线/的方程为gpx-V+l=O,

2-(-2)1-(-3/

将各个选项中的坐标代入直线方程,

可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线/上，点(2,1)不在直线/上.

故选：D.

2.A

【分析】根据导数的定义求解.

[详解]因为一一一〃3+加一21皿“3一切一“3+M=々，(3)=2,

Ax△x—o—2Ax

所以八3)=-l,

故选:A.

3.C

【分析】根据抛物线方程中。的几何意义进行求解即可.

【详解】抛物线Y=2y的焦点到准线的距离为：p=l.

故选：C.

【点睛】本题考查对抛物线方程及对夕的几何意义的理解，属于基础题.

4.B

【分析】设半径为R,根据垂径定理可以列方程求解即可.

【详解】设半径为R,(2.5-村+&]=R2,解得等+[=5R,化简得R=L3.

故选：B.

5.D

【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得％S的值，代入公式，即可

求得几；

【详解】设等差数列｛七｝的首项为由,公差为d,

答案第1页，共10页

c2x1c

2%------dJ=2

由S?=2,S=16,得

88x7.,

OodyH-------u=116

12

解得：，MOr514x13114x18

q=,d=,所以儿二14二+丁、==42；

o36

故选:D.

6.B

【分析】根据《-丁=i求出双曲线的渐近线方程土，lx从而得q=1，由V=1求

22b24

得c=布,从而求解.

【详解】由题意设双曲线方程为卫-《=1,因为工-产=1的渐近线方程为y=±正x,

ab22

所以得?=当，又因为:+x?=l的焦点为（0,±若），所以c=g.

由o2=/+62,所以可得：a=l,b=应,故双曲线的方程为产=1,故B项正确.

故选：B.

7.B

【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到4,由此可得。“。用，利用裂项相消法可

求得1，由可构造不等式求得上的范围，进而得到最小值.

11clif11

【详解】一=一+3,—=1,•••数列一是以1为首项，3为公差的等差数列,

a

%+1nq[an

.e.—=l+3（〃-1）二3〃一2,则=—-—

〃〃“3〃一2

aa11______

-（3n-2）（3n+l）一式3〃-23n+l）

11111---_一_q$一，n

—I——I—-----F…+

4477103〃-53n—23〃一23n+lJ313n+l3n+l

33k335,口733

由小而得:——>——，解得：k>——又上eN*，•."n=17.

3左+11012mi

故选：B.

8.C

PFc

【分析】由已知得c°s/P%=m=F,右焦点为F,P印'中利用余弦定理列方程,

由a，c齐次式可求E的离心率.

答案第2页，共10页

【详解】由题意，PF=c,F』+c,由叩'2"”='

右焦点为F,连接PP,有PF'=2a—c,

222222

PPP，A”叩，PF+FF'-PF'c+(2c)-(2a-c)c

PFF中，cosZPFFr=-----------------=----------9.....-=----，

2PF•FF'4c2a+c

化简得2c2=6,即a=^c，

则E的离心率为e=£=也.

a2

故选：C

【点睛】思路点睛：点P在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a,

求椭圆离心率，结合其它条件构造“，c齐次式即可得解.

9.ACD

【分析】直线变形后求出直线/过的定点即可对A项判断；求出直线的斜率，得到倾斜角，

即可对B项判断；求出直线，并验证点(-3,0)是否在直线上，即可对C项判断；直线/过的

定点与点尸的连线垂直/时，距离最大，由两点间距离公式求出答案，即可对D项判断；

【详解】对于A：直线/：(a-2)x+(m+l)y-3=0,可化为机口+y)-(2x-y+3)=0,

\x+y=0fx=-l/、

令12尤二+3=0'解得y=l，所以直线/恒过点(Tl),故A项正确；

1兀

对于B：当机=彳时，直线/：y=x+2,斜率为1,所以倾斜角为:，故B项错误；

24

1a13

对于C：当机=1时，直线/：7=-%+-,把点(-3,0)代入得y=]X(-3)+]=0,故C项正

确；

对于D：当直线/过的定点(-1,1)与点尸(2,2)的连线垂直直线/时距离最大，

所以最大距离为J(2+l『+(2-1)=回，故D项正确.

故选：ACD.

答案第3页，共10页

10.BCD

【分析】求出圆心距，判断两圆位置关系即可判断A；两圆方程相减消去二次项可判断B；

利用点到直线的距离公式求G到相交弦的距离，然后由弦长公式求弦长可判断C；观察图形

可知5T6。2|+彳+々可判断D.

【详解】由已知得圆G的圆心G（°，°），半径外=3,/c2的圆心G（3,4）,半径4=4,

因为|GCj=M^=5,弓一4=1<1夕2|<7=弓+4,故两圆相交，

所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；

两圆方程做差可得Ci与C?相交弦的方程为3x+4y-9=0,故B正确;

由点到直线的距离公式得Q（0,0）到相交弦的距离为

24

故相交弦的弦长为2C正确;

5

由图可知，1mx=t。2|+4+马=5+3+4=12,故D正确.

故选：BCD

11.ABC

【分析】由已知可得&再利用等差数列性质即可依次判断.

答案第4页，共10页

【详解】S6>S7,:.a,<0,S7>S5,:.a6+aj>0,:.a6>0,：.d<0,故A正确;

又Su=+&）=114>0，故B正确；

12

iS,u=—+Oj2J=6（tz6+a7）>0,故C正确；

由4>0,%<。可得｛Sn｝中最大项为$6,故D错误.

故选：ABC.

12.BCD

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A,联立直线

与抛物线方程，消元，由△=()判断B,设点尸(X,y),表示出根据二次函数的性质

判断C,根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.

【详解】解：抛物线C：y=即x?=4y,所以焦点坐标为尸(0,1),准线方程为y=-l,

故A错误；

=-x2

由」4,即尤2-4X+4=0,解得A=(-4)--4x4=0,所以直线>=尤-1与C相切，故B

y=x—1

正确；

设点P(x,y),所以|PM『=d+(y-4)2=y2-4y+16=(y-2)2+12212,

22

如图过点尸作两入准线，交于点N,|明=归同，|MF|=A/3+(5-l)=5,

所以Cp.=\MF\+\MF\+\PF\=\MF\+\MP\+\PN\>\MF\+\MN\=5+6=11,

当且仅当/、P、N三点共线时取等号，故D正确；

故选：BCD

13.-1

答案第5页，共10页

【分析】由直线/：x+2y+2=0,令％=0,得y=-l从而求解.

【详解】由题意知x+2y+2=。，令x=0,得y=-l,

所以直线/：x+2y+2=。在y轴上的截距为T.

故答案为：-L

14.48

【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解.

【详解】由题意，幺产=^=4,

<71+a2

所以4+&=/(4+%)=4x12=48.

故答案为：48

15.0

【分析】结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得.

因为点A(%,2)在抛物线C上，\AF\=3\OF\,

所以=孝，所以毛=乙所以A(p,2)，所以4=2/2,解得

故答案为：72.

16.3<r<7

【分析】根据数量积的坐标运算可得点尸的轨迹为以点(1,0)为圆心，半径为2的圆，即可

根据两圆有两个交点求解.

【详解】设P(x,y),贝|弘.%=(—x,—y〉(2—x,-y)=f—2x+y2=3,

由x2-2x+y2=3M(x-l)2+y2=4,

故点P的轨迹为以点(1,0)为圆心，半径为2的圆，

要使圆M：(x-4)2+(y_4)2=/(r>0)上恰有两点月。=1,2)满足耳4/3=3,

答案第6页，共10页

贝MXT)2+V=4与M：(x—4)2+(y—4)2=/。>0)两圆有两个交点,

^(|r-2|<^(4-l)2+42<r+2,确军得3<r<7,

故答案为：3<r<7

17.(l)2n+l；

n

⑵3(2〃+3),

【分析】（1）由等差数列通项公式基本量为、d列方程求解，即可由定义得出通项公式;

（2）由列项相消法求和.

③=©+3d=9%=3

【详解】（1）设等差数列的前"项为%,公差为力则S3=3q+3d=15'解得

d=2

故数列｛。“｝的通项公式约=3+（〃-1）•2=2〃+1；

,11J(1______

(

2)b„=—(2n+l)(2«+3)2(2〃+12n+3J故

Ifl111.111)一〃

2(35572n+l2n+3J2132〃+3)3(2〃+3)

18.(l)(x-l)2+(y-2)2=8；

⑵一2.

【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再求出圆的半径即得.

（2）由给定弦长，结合圆的弦长公式求出弦心距，再利用点到直线距离公式计算即得.

【详解】（1）圆C过点4（-1,0）,8（3,0）,则点C在线段48的中垂线x=l上，

(%—]

由.c，得点C(l,2),圆C的半径r=|AC|=20,

[y=2尤

所以圆C的方程为(x-1)?+(y-2)2=8.

（2）直线/被圆C所截弦长|所|=2石，则点C到直线/的距离d==«,

|m+2-3m-l|

因此=6解得根=-2

Vm2+12

答案第7页，共10页

所以实数优的值为-2.

19.（1）«„=2n-l

（2）7；,=（2n-3）x2,,+1+6

【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出知d,则可写出其通项公式.

（2）利用错位相减，化简解可得出答案.

【详解】（1）由题意知：54=4S2,%,=2%+1（〃eN*）

4（4一l）d-2（2-1”

4%H——----=42%+F一」化简得%—1

即：

d=2

q+（2w-l）d=2[q+（〃-l）d]+1

所以数列｛%｝的通项公式a“=l+（〃T）2=2〃-1.

（2）因为c.=anbn=（2/1-1）-2"

所以（=1x2+3x22+.+（2n-l）x2"①,

可得27；=1x22+3x23++（2M-1）X2"+1②,

①-②得：-（,=1x2+2x22+2x23+L+2x2,!-（2n-l）x2,,+1,

=22+23+24++2"+1-（2n-l）x2"+1-2

22xfl-2"）

—:。/-（2n-l）x2H+1-2=（3-2n）x2,,+1-6

故7＞（2，L3）X2"+I+6.

20.（l）x2=4j；

（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程；

（2）设4为,％）,&%,%）,M5,为）,联立直线与抛物线，由A＞0得用＞-1,应用韦达定理及中点

公式得M（2,2+刈），结合求得根=-3,即可得结论.

【详解】（1）由题意，动点尸的轨迹是以尸（0」）为焦点，＞=-1为准线的抛物线，故P=2,

答案第8页，共10页

所以曲线C的方程为％2=4%

x2=4y4口.

(2)设4(石方),3(%2,%)〃(％%),联立,得工2—4%—4m=0,

y=x+m

且八=16+16m＞。，则用〉一1,故%+%2=4,玉无2=一4根，所以为+%=4+2加，

m+1

所以M(2,2+根)，又收，AB,即——xl=—ln根=—3,不满足相＞—l,

2

2〃+lo

（2）S2„=---

【分析】(1)当”N*,心2时，由题可得a.+S.+1=3S,+3(〃£N*),%+S“=3sl+35eN*),

两式子相减可得°〃+2-”〃+i=3a,，-a“+it即。“+2=3a”,(”22),然后验证当月=1时,命题成立

即可；

(2)通过求解数列｛%