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2023-2024学年北京七中学中考数学考试模拟冲刺卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积是()A. B. C.- D.2.一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是()A. B. C. D.3.已知抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+a﹣1与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,若x1<1,x2>2,则a的取值范围是()A.a<3 B.0<a<3 C.a>﹣3 D.﹣3<a<04.某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序:开机加热到水温100℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时,接通电源后,水温y(℃)和时间x(min)的关系如图所示,水温从100℃降到35℃所用的时间是()A.27分钟 B.20分钟 C.13分钟 D.7分钟5.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的俯视图是()A. B. C. D.6.如图,已知直线l1:y=﹣2x+4与直线l2:y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(﹣2,0),则k的取值范围是()A.﹣2<k<2 B.﹣2<k<0 C.0<k<4 D.0<k<27.将不等式组的解集在数轴上表示,下列表示中正确的是()A. B. C. D.8.下列运算正确的是()A.a2+a2=a4 B.(a+b)2=a2+b2 C.a6÷a2=a3 D.(﹣2a3)2=4a69.如图,在平行四边形ABCD中,都不一定成立的是()①AO=CO;②AC⊥BD;③AD∥BC;④∠CAB=∠CAD.A.①和④ B.②和③ C.③和④ D.②和④10.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?这道题的意思是:今有若干人乘车,每三人乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问有多少人,多少辆车?如果我们设有辆车,则可列方程()A. B.C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.不等式组的整数解是_____.12.若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是_____.13.如图,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=________.14.将2.05×10﹣3用小数表示为__.15.如图,在△ABC中,AD、BE分别是BC、AC两边中线,则=_____.16.阅读理解:引入新数i,新数i满足分配律、结合律、交换律,已知i2=﹣1,那么(1+i)•(1﹣i)的平方根是_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)先化简,再求值:,其中x是满足不等式﹣(x﹣1)≥的非负整数解.18.(8分)在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长均为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A、C的坐标分别是(﹣2,0),(﹣3,3).(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系,写出点B的坐标;(2)把△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,写出点B1的坐标;(3)以坐标原点O为位似中心,相似比为2,把△A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2画出△A2B2C2,使它与△AB1C1在位似中心的同侧;请在x轴上求作一点P,使△PBB1的周长最小,并写出点P的坐标.19.(8分)某市旅游部门统计了今年“五•一”放假期间该市A、B、C、D四个旅游景区的旅游人数,并绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图,根据图中的信息解答下列问题:(1)求今年“五•一”放假期间该市这四个景点共接待游客的总人数;(2)扇形统计图中景点A所对应的圆心角的度数是多少,请直接补全条形统计图;(3)根据预测,明年“五•一”放假期间将有90万游客选择到该市的这四个景点旅游,请你估计有多少人会选择去景点D旅游?20.(8分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE•DF.(1)求证:△BFD∽△CAD;(2)求证:BF•DE=AB•AD.21.(8分)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、点B、点C均落在格点上.(I)计算△ABC的边AC的长为_____.(II)点P、Q分别为边AB、AC上的动点,连接PQ、QB.当PQ+QB取得最小值时,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PQ、QB,并简要说明点P、Q的位置是如何找到的_____(不要求证明).22.(10分)甲、乙两组工人同时开始加工某种零件,乙组在工作中有一次停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)之间的函数图象如下图所示.求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.求乙组加工零件总量a的值.23.(12分)如图,直线l切⊙O于点A,点P为直线l上一点,直线PO交⊙O于点C、B,点D在线段AP上,连接DB,且AD=DB.(1)求证:DB为⊙O的切线;(2)若AD=1,PB=BO,求弦AC的长.24.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y=的表达式;(2)已知点C(0,8),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】
先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD.【详解】∵∠ACB=90°,AC=BC=1,∴AB=,∴S扇形ABD=,又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,∴Rt△ADE≌Rt△ACB,∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=,故选A.【点睛】本题考查扇形面积计算,熟记扇形面积公式,采用作差法计算面积是解题的关键.2、B【解析】当k>0时,一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限,反比例函数y=的图象在一、三象限,∴A、C不符合题意,B符合题意;当k<0时,一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限,反比例函数y=的图象在二、四象限,∴D不符合题意.故选B.3、B【解析】由已知抛物线求出对称轴,解:抛物线:,对称轴,由判别式得出a的取值范围.,,∴,①,.②由①②得.故选B.4、C【解析】
先利用待定系数法求函数解析式,然后将y=35代入,从而求解.【详解】解:设反比例函数关系式为:,将(7,100)代入,得k=700,∴,将y=35代入,解得;∴水温从100℃降到35℃所用的时间是:20-7=13,故选C.【点睛】本题考查反比例函数的应用,利用数形结合思想解题是关键.5、C【解析】
根据俯视图的概念可知,只需找到从上面看所得到的图形即可.【详解】解:从上面看易得:有2列小正方形,第1列有2个正方形,第2列有2个正方形,故选C.【点睛】考查下三视图的概念;主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形;6、D【解析】
解:∵直线l1与x轴的交点为A(﹣1,0),∴﹣1k+b=0,∴,解得:.∵直线l1:y=﹣1x+4与直线l1:y=kx+b(k≠0)的交点在第一象限,∴,解得0<k<1.故选D.【点睛】两条直线相交或平行问题;一次函数图象上点的坐标特征.7、B【解析】先解不等式组中的每一个不等式,再把不等式的解集表示在数轴上即可.解:不等式可化为:,即.
∴在数轴上可表示为.故选B.“点睛”不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.8、D【解析】
根据完全平方公式、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方,即可解答.【详解】A、a2+a2=2a2,故错误;B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故错误;C、a6÷a2=a4,故错误;D、(-2a3)2=4a6,正确;故选D.【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方以及合并同类项,解决本题的关键是熟记公式和法则.9、D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,故①成立;AD∥BC,故③成立;利用排除法可得②与④不一定成立,∵当四边形是菱形时,②和④成立.故选D.10、A【解析】
根据每三人乘一车,最终剩余2辆车,每2人共乘一车,最终剩余1个人无车可乘,进而表示出总人数得出等式即可.【详解】设有x辆车,则可列方程:
3(x-2)=2x+1.
故选:A.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示总人数是解题关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、﹣1、0、1【解析】
求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集,即可得出答案.【详解】,解不等式得:,解不等式得:,不等式组的解集为,不等式组的整数解为-1,0,1.故答案为:-1,0,1.【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解,解题关键是注意解集范围从而得出整数解.12、k≥-1【解析】
首先讨论当时,方程是一元一次方程,有实数根,当时,利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0,两者结合得出答案即可.【详解】当时,方程是一元一次方程:,方程有实数根;当时,方程是一元二次方程,解得:且.综上所述,关于的方程有实数根,则的取值范围是.故答案为【点睛】考查一元二次方程根的判别式,注意分类讨论思想在解题中的应用,不要忽略这种情况.13、【解析】
由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可.【详解】∵DE∥BC,∴∠F=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠DBF=∠FBC,∴∠F=∠DBF,∴DB=DF,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,即,解得:DE=,∵DF=DB=2,∴EF=DF-DE=2-=,故答案为.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质,关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC.14、0.1【解析】试题解析:原式=2.05×10-3=0.1.【点睛】本题考查了科学记数法-原数,用科学记数法表示的数还原成原数时,n>0时,n是几,小数点就向右移几位;n<0时,n是几,小数点就向左移几位.15、【解析】
利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题;【详解】∵AE=EC,BD=CD,∴DE∥AB,DE=AB,∴△EDC∽△ABC,∴=,故答案是:.【点睛】考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识,解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理.16、2【解析】
根据平方根的定义进行计算即可.【详解】.解:∵i2=﹣1,∴(1+i)•(1﹣i)=1﹣i2=2,∴(1+i)•(1﹣i)的平方根是±,故答案为±.【点睛】本题考查平方根以及实数的运算,解题关键掌握平方根的定义.三、解答题(共8题,共72分)17、-【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简,然后再求出不等式的非负整数解,最后把符合条件的x的值代入化简后的结果进行计算即可.【详解】原式=,=,=,∵﹣(x﹣1)≥,∴x﹣1≤﹣1,∴x≤0,非负整数解为0,∴x=0,当x=0时,原式=-.【点睛】本题考查了分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的运算法则.18、(1)(﹣4,1);(2)(1,4);(3)见解析;(4)P(﹣3,0).【解析】
(1)先建立平面直角坐标系,再确定B的坐标;(2)根据旋转要求画出△A1B1C1,再写出点B1的坐标;(3)根据位似的要求,作出△A2B2C2;(4)作点B关于x轴的对称点B',连接B'B1,交x轴于点P,则点P即为所求.【详解】解:(1)如图所示,点B的坐标为(﹣4,1);(2)如图,△A1B1C1即为所求,点B1的坐标(1,4);(3)如图,△A2B2C2即为所求;(4)如图,作点B关于x轴的对称点B',连接B'B1,交x轴于点P,则点P即为所求,P(﹣3,0).【点睛】本题考核知识点:位似,轴对称,旋转.解题关键点:理解位似,轴对称,旋转的意义.19、(1)60人;(2)144°,补全图形见解析;(3)15万人.【解析】
(1)用B景点人数除以其所占百分比可得;(2)用360°乘以A景点人数所占比例即可,根据各景点人数之和等于总人数求得C的人数即可补全条形图;(3)用总人数乘以样本中D景点人数所占比例【详解】(1)今年“五•一”放假期间该市这四个景点共接待游客的总人数为18÷30%=60万人;(2)扇形统计图中景点A所对应的圆心角的度数是360°×=144°,C景点人数为60﹣(24+18+10)=8万人,补全图形如下:(3)估计选择去景点D旅游的人数为90×=15(万人).【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.20、见解析【解析】试题分析:(1),,可得∽,从而得,再根据∠BDF=∠CDA即可证;(2)由∽,可得,从而可得,再由∽,可得从而得,继而可得,得到.试题解析:(1)∵,∴,∵,∴∽,∴,又∵∠ADB=∠CDE,∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF,即∠BDF=∠CDA,∴∽;(2)∵∽,∴,∵,∴,∵∽,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键.21、作线段AB关于AC的对称线段AB′,作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P,作PQ⊥AB于Q,此时PQ+QB的值最小【解析】
(1)利用勾股定理计算即可;(2)作线段AB关于AC的对称线段AB′,作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P,作PQ⊥AB于Q,此时PQ+QB的值最小.【详解】解:(1)AC==.故答案为.(2)作线段AB关于AC的对称线段AB′,作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P,作PQ⊥AB于Q,此时PQ+QB的值最小.
故答案为作线段AB关于AC的对称线段AB′,作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P,作PQ⊥AB于Q,此时PQ+QB的值最小.【点睛】本题考查作图-应用与设计,勾股定理,轴对称-最短问题,垂线段最短等知识,解题的关键是学会利用轴对称,根据垂线段最短解决最短问题,属于中考常考题型.22、(1)y=60x;(2)300【解析】
(1)由题图可知,甲组的y是x的正比例函数.设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为y=kx.根据题意,得6k=360,解得k=60.所以,甲组加工的零件数量y与时间x之间的关系式为y=60x.(2)当x=2时,y=10
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