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文档简介
2023-2024学年湖南长沙市开福区中考押题数学预测卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为()A.4 B..5 C.6 D.82.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,若AC=CD=DB,则cos∠CAD=()A. B. C. D.3.小苏和小林在如图①所示的跑道上进行米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离(单位:)与跑步时间(单位:)的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是().A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前跑过的路程大于小林前跑过的路程D.小林在跑最后的过程中,与小苏相遇2次4.如图是二次函数y=ax2+bx+cy1>y1.其中说法正确的是()A.①②B.②③C.①②④D.②③④5.不等式组中两个不等式的解集,在数轴上表示正确的是A. B.C. D.6.如图是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为()A.80° B.90° C.100° D.102°7.若直线y=kx+b图象如图所示,则直线y=−bx+k的图象大致是()A. B. C. D.8.世界因爱而美好,在今年我校的“献爱心”捐款活动中,九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动,班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图,根据图中提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是A.20、20 B.30、20 C.30、30 D.20、309.如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长度为()A. B.2 C. D.10.如图,点P(x,y)(x>0)是反比例函数y=(k>0)的图象上的一个动点,以点P为圆心,OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A,若△OPA的面积为S,则当x增大时,S的变化情况是()A.S的值增大 B.S的值减小C.S的值先增大,后减小 D.S的值不变二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,直线a∥b,∠l=60°,∠2=40°,则∠3=_____.12.如图,线段AB=10,点P在线段AB上,在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF,点M、N分别是EF、CD的中点,则MN的最小值是_______.13.如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则tan∠AEF的值是_____.14.如图,已知,第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上,第四象限内的点B在反比例函数y=的图象上.且OA⊥OB,∠OAB=60°,则k的值为_________.15.已知a+b=1,那么a2-b2+2b=________.16.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2018次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球,把它们充分搅匀.“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件,“从中任意抽取1个球是黑球”是事件;从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是;学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言,制定如下规则:从盒子中任取两个球,若两球同色,则选甲;若两球异色,则选乙.你认为这个规则公平吗?请用列表法或画树状图法加以说明.18.(8分)在东营市中小学标准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元,购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万元?根据学校实际,需购进电脑和电子白板共30台,总费用不超过30万元,但不低于28万元,请你通过计算求出有几种购买方案,哪种方案费用最低.19.(8分)先化简,然后从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.20.(8分)为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.小丽参加“单人组”,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率是多少?小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.21.(8分)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,且BF是⊙O的切线,BF交AC的延长线于F.(1)求证:∠CBF=∠CAB.(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.22.(10分)边长为6的等边△ABC中,点D,E分别在AC,BC边上,DE∥AB,EC=2如图1,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′,BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)23.(12分)如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.求证:△ACE≌△BCD;若AD=5,BD=12,求DE的长.24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于点D,取AC的中点E,边结DE,OE、OD,求证:DE是⊙O的切线.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】
解:∵AD∥BE∥CF,根据平行线分线段成比例定理可得,即,解得EF=6,故选C.2、D【解析】
根据圆心角,弧,弦的关系定理可以得出===,根据圆心角和圆周角的关键即可求出的度数,进而求出它的余弦值.【详解】解:===,故选D.【点睛】本题考查圆心角,弧,弦,圆周角的关系,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.3、D【解析】
A.由图可看出小林先到终点,A错误;B.全程路程一样,小林用时短,所以小林的平均速度大于小苏的平均速度,B错误;C.第15秒时,小苏距离起点较远,两人都在返回起点的过程中,据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程,C错误;D.由图知两条线的交点是两人相遇的点,所以是相遇了两次,正确.故选D.4、C【解析】∵二次函数的图象的开口向上,∴a>0。∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c<0。∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,∴-b∴abc<0,因此说法①正确。∵1a﹣b=1a﹣1a=0,因此说法②正确。∵二次函数y=∴图象与x轴的另一个交点的坐标是(1,0)。∴把x=1代入y=ax1+bx+c得:y=4a+1b+c>0,因此说法③错误。∵二次函数y=∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),∵当x>﹣1时,y随x的增大而增大,而52∴y1<y1,因此说法④正确。综上所述,说法正确的是①②④。故选C。5、B【解析】由①得,x<3,由②得,x≥1,所以不等式组的解集为:1≤x<3,在数轴上表示为:,故选B.6、A【解析】分析:根据平行线性质求出∠A,根据三角形内角和定理得出∠2=180°∠1−∠A,代入求出即可.详解:∵AB∥CD.∴∠A=∠3=40°,∵∠1=60°,∴∠2=180°∠1−∠A=80°,故选:A.点睛:本题考查了平行线的性质:两直线平行,内错角相等.三角形内角和定理:三角形内角和为180°.7、A【解析】
根据一次函数y=kx+b的图象可知k>1,b<1,再根据k,b的取值范围确定一次函数y=−bx+k图象在坐标平面内的位置关系,即可判断.【详解】解:∵一次函数y=kx+b的图象可知k>1,b<1,
∴-b>1,∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限,与y轴的正半轴相交,故选:A.【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系.函数值y随x的增大而减小⇔k<1;函数值y随x的增大而增大⇔k>1;一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b>1,一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b<1,一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1.8、C【解析】分析:由表提供的信息可知,一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数,而中位数则是将这组数据从小到大(或从大到小)依次排列时,处在最中间位置的数,据此可知这组数据的众数,中位数.详解:根据右图提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是30,30.故选C.点睛:考查众数和中位数的概念,熟记概念是解题的关键.9、C【解析】
过O作OC⊥AB,交圆O于点D,连接OA,由垂径定理得到C为AB的中点,再由折叠得到CD=OC,求出OC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的长,即可确定出AB的长.【详解】过O作OC⊥AB,交圆O于点D,连接OA,由折叠得到CD=OC=OD=1cm,在Rt△AOC中,根据勾股定理得:AC2+OC2=OA2,即AC2+1=4,解得:AC=cm,则AB=2AC=2cm.故选C.【点睛】此题考查了垂径定理,勾股定理,以及翻折的性质,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.10、D【解析】
作PB⊥OA于B,如图,根据垂径定理得到OB=AB,则S△POB=S△PAB,再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=|k|,所以S=2k,为定值.【详解】作PB⊥OA于B,如图,则OB=AB,∴S△POB=S△PAB.∵S△POB=|k|,∴S=2k,∴S的值为定值.故选D.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、80°【解析】
根据平行线的性质求出∠4,根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解:∵a∥b,∴∠4=∠l=60°,∴∠3=180°-∠4-∠2=80°,故答案为:80°.【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理,掌握两直线平行,同位角相等是解题的关键.12、2【解析】
设MN=y,PC=x,根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式,求二次函数的最值即可.【详解】作MG⊥DC于G,如图所示:设MN=y,PC=x,根据题意得:GN=2,MG=|10-1x|,在Rt△MNG中,由勾股定理得:MN1=MG1+GN1,即y1=21+(10-1x)1.∵0<x<10,∴当10-1x=0,即x=2时,y1最小值=12,∴y最小值=2.即MN的最小值为2;故答案为:2.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值.熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键.13、1.【解析】
连接AF,由E是CD的中点、FC=2BF以及AB=2、AD=3可知AB=FC,BF=CE,则可证△ABF≌△FCE,进一步可得到△AFE是等腰直角三角形,则∠AEF=45°.【详解】解:连接AF,∵E是CD的中点,∴CE=,AB=2,∵FC=2BF,AD=3,∴BF=1,CF=2,∴BF=CE,FC=AB,∵∠B=∠C=90°,∴△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠BAF=∠CFE,∠AFB=∠FEC,∴∠AFE=90°,∴△AFE是等腰直角三角形,∴∠AEF=45°,∴tan∠AEF=1.故答案为:1.【点睛】本题结合三角形全等考查了三角函数的知识.14、-6【解析】如图,作AC⊥x轴,BD⊥x轴,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∵∠OAC+∠AOC=90°,∠AOC+∠BOD=90°,∴∠OAC=∠BOD,∴△ACO∽△ODB,∴,∵∠OAB=60°,∴,设A(x,),∴BD=OC=x,OD=AC=,∴B(x,-),把点B代入y=得,-=,解得k=-6,故答案为-6.15、1【解析】
解:∵a+b=1,∴原式=故答案为1.【点睛】本题考查的是平方差公式的灵活运用.16、(﹣2016,+1)【解析】
据轴对称判断出点C变换后在x轴上方,然后求出点C纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.【详解】解:∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,∴点C到x轴的距离为1+2×=+1,横坐标为2,∴C(2,+1),第2018次变换后的三角形在x轴上方,点C的纵坐标为+1,横坐标为2﹣2018×1=﹣2016,所以,点C的对应点C′的坐标是(﹣2016,+1)故答案为:(﹣2016,+1)【点睛】本题考查坐标与图形变化,平移和轴对称变换,等边三角形的性质,读懂题目信息,确定出连续2018次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)必然,不可能;(2);(3)此游戏不公平.【解析】
(1)直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案;(2)直接利用概率公式求出答案;(3)首先画出树状图,进而利用概率公式求出答案.【详解】(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件,“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件;故答案为必然,不可能;(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是:;故答案为;(3)如图所示:,由树状图可得:一共有20种可能,两球同色的有8种情况,故选择甲的概率为:;则选择乙的概率为:,故此游戏不公平.【点睛】此题主要考查了游戏公平性,正确列出树状图是解题关键.18、(1)每台电脑0.5万元,每台电子白板1.5万元(2)见解析【解析】解:(1)设每台电脑x万元,每台电子白板y万元,根据题意得:,解得:。答:每台电脑0.5万元,每台电子白板1.5万元。(2)设需购进电脑a台,则购进电子白板(30-a)台,则,解得:,即a=15,16,17。故共有三种方案:方案一:购进电脑15台,电子白板15台.总费用为万元;方案二:购进电脑16台,电子白板14台.总费用为万元;方案三:购进电脑17台,电子白板13台.总费用为万元。∴方案三费用最低。(1)设电脑、电子白板的价格分别为x,y元,根据等量关系:“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”,“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”,列方程组求解即可。(2)设计方案题一般是根据题意列出不等式组,求不等式组的整数解。设购进电脑x台,电子白板有(30-x)台,然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元,但不低于28万元”列不等式组解答。19、,当x=0时,原式=(或:当x=-1时,原式=).【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选取合适的x的值代入进行计算即可.【详解】解:原式=×=.x满足﹣1≤x≤1且为整数,若使分式有意义,x只能取0,﹣1.当x=0时,原式=﹣(或:当x=﹣1时,原式=).【点睛】本题考查分式的化简求值,化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.20、(1);(2).【解析】
(1)直接利用概率公式求解;(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】(1)她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率=;(2)画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1,所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=.21、(1)证明略;(2)BC=,BF=.【解析】试题分析:(1)连结AE.有AB是⊙O的直径可得∠AEB=90°再有BF是⊙O的切线可得BF⊥AB,利用同角的余角相等即可证明;(2)在Rt△ABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,过点C作CG⊥AB于点G.可求出AE,再在Rt△ABE中,求出sin∠2,cos∠2.然后再在Rt△CGB中求出CG,最后证出△AGC∽△ABF有相似的性质求出BF即可.试题解析:(1)证明:连结AE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠1+∠2=90°.∵BF是⊙O的切线,∴BF⊥AB,∴∠CBF+∠2=90°.∴∠CBF=∠1.∵AB=AC,∠AEB=90°,∴∠1=∠CAB.∴∠CBF=∠CAB.(2)解:过点C作CG⊥AB于点G.∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=.∵∠AEB=90°,AB=5.∴BE=AB·sin∠1=.∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=.在Rt△ABE中,由勾股定理得.∴sin∠2=,cos∠2=.在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2.∴AG=3.∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF.∴,∴.考点:切线的性质,相似的性质,勾股定理.22、(1)当CC'=时,四边形MCND'是菱形,理由见解析;(2)①AD'=BE',理由见解析;②.【解析】
(1)先判断出四边形MCND'为平行四边形,再由菱形的性质得出CN=CM,即可求出CC';(2)①分两种情况,利用旋转的性质,即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论;②先判断出点A,C,P三点共线,先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出结论.【详解】(1)当CC'=时,四边形MCND'是菱形.理由:由平移的性质得,CD∥C'D',DE∥D'E',∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°,∵CN是∠ACC'的角平分线,∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B,∴∠D'E'C'=∠NCC',∴D'E'∥CN,∴四边形MCND'是平行四边形,∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,∴△MCE'和△NCC'是等边三角形,∴MC=CE',NC=CC',∵E'C'=2,∵四边形MCND'是菱形,∴CN=CM,∴CC'=E'C'=;(2)①AD'=BE',理由:当α≠180°时,由旋转的性质得,∠ACD'=∠BCE',由(1)知,AC=BC,CD'=CE',∴△ACD'≌△BCE',∴AD'=BE',当α=180°时,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',即:AD'=BE',综上可知:AD'=BE'.②如图连接
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