2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点 互斥事件、对立事件的判断

核心考点•精准研析

.超肉二互斥事件、对立费件的判断‘囂嚣

。题组练透•）

1.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各对事件是互斥而不是对立

事件的是（）

A.恰有1个是奇数和全是奇数

B.恰有1个是偶数和至少有1个是偶数

C.至少有1个是奇数和全是奇数

D.至少有1个是偶数和全是奇数

2.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事

件”3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件

产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是（）

A.F与G互斥

B.E与G互斥但不对立

C.E,F,G任意两个事件均互斥

D.E与G对立

3.在下列六个事件中，随机事件的个数为（）

①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;

②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签;

③没有水分,种子发芽；

-1-

④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；

⑤在标准大气压下,水的温度达到50℃时沸腾；

⑥同性电荷,相互排斥.

A.2B.3C.4D.5

4.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全

是移动卡”的概率是巨，那么概率是乙的事件是（）

1010

A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡

C,都不是移动卡D.至少有一张移动卡

【解析】1.选A.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况:A=｛两

个奇数｝,B=｛一个奇数一个偶数｝,C=｛两个偶数｝，且A,B,C两两互斥，所以A：是互

斥事件，但不是对立事件;B：不互斥；C：不互斥；D：是互斥事件，也是对立事件.

2.选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G

不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与

事件G不是互斥事件，故A、C错.事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E

与事件G对立，所以B错误，D正确.

3.选A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是随机事件.

4.选A.至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”

两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.

口規律方海

定判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为

义互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立

法事件一定是互斥事件

-2-

集

①若A,B满足AGB=0,则A,B是互斥事件

合

②若A,B满足尸口8二。，则A,B是对立事件

法=n

♦考点二随机事件的频率与概率體鉛

【典例】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集

了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.已知这100位顾客中一次

购物量超过8件的顾客占55%.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数/人X3025y10

结算时间/

11.522.53

(分钟/人)

⑴确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.

⑵求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)

【解题导思】

序号联想解题

(1)由“超过8件”占55%联想到“不超过8件”占45%.

(2)拆分为三个事件的和事件

【解析】⑴由已知得25+y+10=55,x+30=45,

所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的

100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,

顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1x15+1.5x30+2x25+2.5x20+3x10,1q，、钟

100

-3-

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A,A,A分别表

123

示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间

为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得

P(A)二七三L,P(A)=王二丄,P(A)

11OO21O0103100J.

因为A=AUAUA,且A,A,A是互斥事件，

123123

所以P(A)=P(AUAUA);P(A)+P(A)+P(A)=2_+±+£=_L.故一位顾客一次购物

1231232010410

的结算时间不超过2分钟的概率为

10

口规律方法

1.求复杂互斥事件概率的2种方法

(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和.

(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)=『P(Z)求解.当题目涉及

“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.

2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点

求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计

算出所求随机事件出现的频数.

」变式训练

某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上

游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.

据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,2

20,140,160.

-4-

(1)完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量70110140160200220

频率142

202020

(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率

视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过

530(万千瓦时)的概率.

【解析】⑴在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，

为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量70110140160200220

频率134732

202020202020

⑵由已知可得丫更+425,

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=P(Y<490或

Y>530)=P(X<130或X>210)

=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)

亠三+二旦

20202010

.考点三互斥事件、对立事件的概率计算‘簽落

-5-

考什么：(1)考查随机事件的频率与概率的关系

命

(2)考查互斥事件、对立事件的概念与概率计算问题

题

怎么考:重点考查互斥事件、对立事件的概率计算，多数是以选择题、

精

填空题或解答题的一个小题的形式考查

解

新趋势：结合新背景,考查互斥事件、对立事件的概率计算,或者与统计

读

知识交汇考查随机事件的概率计算

1.互斥事件、对立事件的概率问题的解决步骤

学

(1)明确区分互斥事件、对立事件.

霸

(2)应用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.

好

2.交汇问题

方

解决与统计知识交汇考查随机事件的概率计算问题时,先用统计知识

法

求频数,频率,再求概率.

命题角度1夕互斥事件的概率

【典例】(2019•天津模拟)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等

候的人数及相应概率如表:

排队人数0123425

概率0.10.160.30.30.10.04

则该营业窗口上午9点钟时,至少有1人排队的概率是.

【解析】由表格可得至少有1人排队的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.

答案：0.9

I秒杀绝招间接法：因为该营业窗口上午9点钟时,没有人排队的概率是0.1,

所以至少有1人排队的概率是1-0.1=0.9.

-6-

答案：0.9

匸解后反思］|

如何求互斥事件的概率？

把要求概率的事件恰当地拆分为若干个互斥事件的和事件,再用互斥事件的概

率加法公式计算所求概率.

命题角度2,对立事件的概率

【典例】某商店试销某种商品20天,获得如下数据：

日销售量（件）0123

频数1685

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该

商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3

件,否则不进货，将频率视为概率.

（1）设每销售一件该商品获利1000元，某天销售该商品获利情况如表，完成下表,

并求试销期间日平均获利钱数；

日获利（元）0100020003000

频率

⑵求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.

【解析】（1）日获利分别为0元，1000元,2000元,3000元的频率分别为

丄，丄,2,丄;试销期间日平均获利数为0XJ-+1000X-L+2000X2+3000X1=1850

201049010c；4

元.

-7-

⑵由题意事件“第一天的销售量为1件”是对立事件，所以P（“第二天开始营

业时该商品的件数为3件"）=1-P（“第一天的销售量为1件"）=1-且='.

2010

口解后反思H

如何求对立事件的概率？

恰当地将所求事件的概率转化为求对立事件的概率.

命题角度3夕互斥事件、对立事件的概率计算问题与统计等交汇

【典例】A地到火车站共有两条路径L和L,现随机抽取100位从A地到火车站

12

的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）10〜2020〜3030〜4040~5050〜60

选择L

1612181212

的人数

选择L

2

0416164

的人数

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

⑵分别求通过路径L和L所用时间落在上表中各时间段内的频率；

12

（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽可能在

允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

【解析】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有

12+12+16+4=44人，

所以用频率估计相应的概率为0.44.

（2）选择L的有60人,选择L的有40人，

12

-8-

故由调查结果得频率为:

所用时间(分

10~2020〜3030~4040〜5050~60

钟)

L的频率0.10.20.30.20.2

1

L的频率00.10.40.40.1

2

(3)A,A分别表示甲选择L和L时，在40分钟内赶到火车站；

1212

B,B分别表示乙选择L和L时，在50分钟内赶到火车站.

1212

由⑵知P(A)=0.1+0.2+0.3=0.6,

1

P(A)=0.1+0.4=0.5,

2

P(A)>P(A),所以甲应选择L,

121

P(B)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

1

P(B)=0.1+0.4+0.4=0.9,

2

P(B)>P(B),所以乙应选择L.

212

口解后反思||

解决与统计知识交汇问题时应该注意什么？

提示：(1)准确读取题目中的有用信息，正确运用到解题中.

⑵正确理解频率与概率的关系，会在实际问题中应用它.

<•题组通关・>

变式巩固•依

1.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》

《孙子算经》《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国

古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从

-9-

这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著

中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）

A.—B.—C.-D.1

【解析】选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,则

所选2部专著中没有一部是魏晋南北朝时期专著为事件配

所以P（Z）二豆二土，因此P（A）=1-P（m=1-±=£.

C电1A1AIA

2.（2019•景德镇模拟）空气质量指数（AQI）是衡量空气质量好坏的标准,下表是

我国南方某市气象环保部门从去年的每天空气质量检测数据中，随机抽取的40

天的统计结果：

空气质量指数

国家环保标准频数（天）频率

（AQI）

[0,50]一级（优）4

(50,100]二级（良）20

(100,150]三级（轻度污染）8

(150,200]四级（中度污染）4

(200,300]五级（重度污染）3

(300,+8)六级（严重污染）1

（1）若以这40天的统计数据来估计,一年中（365天）该市有多少天的空气质量达

到优良？

-10-

（2）若将频率视为概率,某中学拟在今年五月份某连续的三天召开运动会，以上

表的数据为依据，问:①这三天空气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的

概率；

②这三天恰好有一天空气质量不达标（指四、五、六级）的概率.

【解析】设p（i=1、2、3、4、5、6）表示空气质量达到第i级的概率，则

i

p=0.1,p=0.5,p=0.2,p=0.1,p=—,p.

12345an6an

⑴依题意得365X（p+p）=365X0.6=219（A）.

12

（2）①P|+p+p3=0.8,p=（pi+卩2+卩3）3=0-83=0«512.

②p+p+p=—+—+—=Q.2,

456404040

P=0.2X0.8X0.8+0.8X0.2X0.8+0.8X0.8X0,2=3X0.2X0.