2024年中考数学探究性训练专题21圆

备考2024年中考数学探究性训练专题21圆一、选择题1．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示．若正三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的面积为（）A．9π2−932 B．9π42．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的三条边，若BC=12，∠ACB=30°，则阴影部分的面积为（）A．183−π B．183 C．3．如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形ABCD的边BC至点M，作矩形ABMN，以BM为直径作半圆O交CD于点E，以CE为边做正方形CEFG，G在BC上，记正方形ABCD，正方形CEFG，矩形CMND的面积分别为S1，S2，S3A．3+54 B．1+52 C．4．弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，（晓观数学）其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出⊙O，再将⊙O三等分，得到A，B，C三点.接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为P，成员乙所在的位置为Q，若将射线OB绕着点O逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x（单位：°，0≤x<360），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为y1和y2（单位：结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）A．⊙O的半径为6m B．图3中a的值为270C．当x=60时，y1取得最大值12 D．检测仪器放置在点A处二、填空题5．（新知探究）新定义：平面内两定点A，B，所有满足PAPB（问题解决）如图，在△ABC中，CB=4，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为.6．如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB=BC，点E在BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=；当n=12时，p=（参考数据：sin15°=cos75°=6−24三、理论探究题7．【定义新知】如图1，C，D是⊙O上两点，且在直径AB的上方，若直径AB上存在一点P，连接CP、DP，满足∠APC=∠BPD（1）【问题探究】如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上的一点，连接DE交AB于点P①∠CPD是CD的“幸运角”吗？请说明理由；②设CD所对的圆心角为n，请用含n的式子表示CD的“幸运角”的度数；（2）【拓展延伸】如图3，在（1）的条件下，若直径AB=10，CD的“幸运角”为90°，DE=8，求CE的长．8．【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长．（1）【问题解决】以下是小华的方法：

如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．

理由如下：在⊙O上取点P'(异于点P)，连结AP'、OP'．

接下来只需证明AP>AP'．

请你补全小华的证明过程．（2）【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长为m，则线段AP长度的最大值为，线段AP长度的最小值为.(用含r、m的代数式表示)（3）【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O上，AD=6，点C在BD上运动，连结AC，H是AC上一点，且∠DHC=90°，连结BH.在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为．9．定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．其中真命题有▲．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12．求证：直线BC是⊙O②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为．10．（1）知识重现：如图1，我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角∠BAC和它所对的圆心角∠BOC的数量关系．图1①直接写出∠BAC和∠BOC的数量关系▲．②任选一种情况进行证明．（2）迁移应用：如图2，已知△ABC内接于⊙O，直线DE是⊙O图211．综合探究（一）新知学习：人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，（1）若直径AB⊥CD（如图1），在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，MN的长是否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由．（2）若直径AB与CD相交成120°角，当点P（不与B、C重合）从B点运动到C的过程中（如图2），证明MN的长为定值．（3）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．12．（1）【基础巩固】如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE（2）【尝试应用】如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE=45°（3）【拓展提高】已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果13．先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图1，点A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有请你参考小明得出的结论，解答下列问题：问题：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，10)，点B的坐标为(0（1）在图2中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x（2）点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P14．有关阿基米德折弦定理的探讨与应用（1）[问题呈现]阿基术德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线AB-BC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.∵M是ABC的中点，∴MA=MC.……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.（2）[理解运用]如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为（3）[实践应用]如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是AC上一点，且∠ABD=45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为15．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图甲所示，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E=∠B+∠D=90°，且（1）下列四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是.(填序号)①平行四边形②矩形③菱形④正方形（2）如图乙所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点（3）如图丙所示，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC①求AD②若∠BAC=∠ACD，∠ABC=75°，求16．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB=1，则BC=；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP=2，PC=8，求另一条对角线BD（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A(−2，0)，C(1，0)，B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6317．（1）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，通过证明△PBC≌△下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，∵四边形ABCP是⊙O∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC∴BA=BC，∴请你补全余下的证明过程．（3）【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=218．（1）【证明体验】如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，在AC上取一点P，连结AP，BP，CP．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；（2）【思考探究】如图2，在（1）条件下，若点P为AC的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；（3）【拓展延伸】如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP＝∠E，求AP•PE的值．19．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点.（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，，所以tan∠所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD.（2）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=（3）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P.使AM2=AP·20．【问题提出】如图1，⊙O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙O于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙O关于直线a的“远点”，把PQ⋅PH的值称为⊙（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0，4)，过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的⊙O关于直线m的“远点”坐标是，直线m（2）在（1）的条件下求⊙O关于直线m（3）【拓展应用】如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(65，0)，与y轴交于点N，点F坐标为(1，2)，以F为圆心，OF为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，O是21．阅读资料：如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由勾股定理得AB2=|x2−x1问题拓展：如果圆心坐标为P(a，b)，半径为r综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为(0，6)，A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=34，作PD⊥OA，垂足为D（1）求证AB是⊙P（2）是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O22．如图（1）【根底巩固】如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠（2）【尝试应用】如图2，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，DC上的点，且△EAF=12△BAD，射线AE交DC的延长线与点M，射线AF求：①CM的长；②FN的长.（3）【拓展进步】如图3，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60∘，以点B23．阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰△ABC中，AD平分∠BAC，∵AB=AC，BD=CD，∴ABAC【证明猜想】如图1所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；思思认为，可以通过比较△ABD和△（1）请你从上面的方法中选择一种进行证明.（2）【尝试应用】如图2，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点E是⊙O上一点（与B不重合，且AB=AE，连结AE（3）【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，延长BH交⊙O于点F，若BE=EF，GH=x，求⊙24．请阅读材料，并完成相应的任务.在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是顶点在圆上、圆外和圆内的角结合教学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角.顶点在圆内，两边都与圆相交的角叫做圆内角，如图1，∠AP1B和∠A如图2，点A，B在⊙O上，∠APB为AB所对的一个圆外角.AP，BP分别交⊙O于点C，解：如图2，连接AD，∵∠ADB是AB所对的圆周角，且∠AOB=120°∴∠ADB=1…任务：（1）如图1，在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是：____；A．公理化思想 B．分类讨论 C．数形结合（2）将勤奋小组的解题过程补充完整；（3）如图3，当点P在⊙O内时，∠APB是AB所对的一个圆内角，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，若设∠AOB=m°，CD所对的圆心角为四、实践探究题25．小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm，手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与13cm（1）通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为cm.（填准确数（2）图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为cm，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为cm.（填准确数）（3）拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心O落在GH边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）26．综合与实践数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、B、C在半径为1的⊙O上静止不动，第四只蚂蚁P在⊙O上的移动，并始终保持（1）请判断△ABC的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：△ABC是（2）“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在⊙O上的移动时，线段PA、PB、PC三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：▲（3）“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，且始终位于线段PC的中点，在这个运动过程中，线段BM的长度一定存在最小值，请你求出线段BM的最小值是（不写解答过程，直接写出结果）．27．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB（1）【应用】

如图②，在直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(2（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2（3）【拓展应用】

很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x=−5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．28．小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．【提出问题】如图所示．球员带球沿直线BC奔向球门PQ，探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．【分析问题】因为线段PQ长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．如图1，射线BC与⊙O相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接NP【解决问题】（1）如图1，比较∠PMQ、∠PAQ、（2）如图2，点A是射线BC上一动点（点A不与点B重合）．证明：当△APQ的外接圆⊙O与射线BC相切时，（3）【延伸拓展】在（2）的条件下，如果PQ=4，PB=5，tanB=2．当29．【阅读理解】：如图，在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA=ac，sin（1）【探究活动】：如图，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：asinA（2）【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在∠ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．已知∠B=30°，∠C=45°，（3）【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼AB的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼AB的高度．（参考数据：3≈1.730．【问题探究】（1）如图1，在菱形ABCD中，AB=3，AF⊥BC于点F，FC=2，AF与DB交于点N，则FN的长为（2）如图2，点M是正方形ABCD对角线AC上的动点，连接BM，AH⊥BM于点H，连接CH．若AB=2，在M点从C到A的运动过程中，求（3）【问题解决】

如图3，某市欲规划一块形如矩形ABCD的休闲旅游观光区，其中AB=800米，BC=600米，点E、F是观光区的两个入口（点E、F分别为AB、CD的中点），P，Q分别在线段AE，CF上，设计者欲从P到Q修建绿化带PQ，从B到H修建绿化带BH，绿化带宽度忽略不计，且满足FQ=2PE，点H在PQ上，BH⊥PQ．为了方便市民游览，计划从D到H修建观光通道

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】166．【答案】c+2b；c+6+7．【答案】（1）解：①∠CPD是CD的“幸运角”．理由：∵AB是⊙O的直径，弦∴EF=CF，∴∠CPA=∠EPA．∵∠DPB=∠EPA∴∠DPB=∠CPA，∴∠CPD是CD的“幸运角”．②∵CD所对的圆心角为n∴∠CED=n∵PC=PE∴∠CED=∠ECP=n∴∠CPD=∠CED+∠ECP=n，∴CD的“幸运角”的度数为n（2）解：连接CO，∵CD的“幸运角”为90°∴∠CPD=∠CPE=90°．由（1）知PE=PC，∴∠CED=45°，则∠COD=90°．∵AB=10∴OC=OD=5，∴CD=5设PE=PC=x，则PD=8−x，∴x解得：x1∴CE=12+8．【答案】（1）解：如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．

理由如下：在⊙O上取点P'(异于点P)，连结AP'、OP'．

在△AOP'AOP中，OA+OP'>APAP'，

∵OP=OP'，

∴OA+OP>AP'，

即AP>AP'；（2）m+r；m-r（3）739．【答案】（1）C（2）解：①如图2，作BH⊥OC于点H，

∵点B在射线OA上的射影值为12，

∴OHOC=12，OBOC=12，CA＝OA＝OB＝1，

∴OHOB=OBOC，

又∵∠BOH＝∠COB，

∴△BOH∽△COB，

∴∠BHO＝∠CBO＝90°，

∴BC⊥OB，

∴直线BC是⊙O的切线；

10．【答案】（1）解：①猜想：∠BAC=1②证明：情况1，作直径AD，∵OA=OB，∴∠1=∠3，∴∠BOD=∠1+∠3=2∠1，同理∠COD=2∠2，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAC，∴∠BAC=1（情况1）（情况2）（情况3）情况2，当点O在∠BAC的一边时，∵OA=OC，∴∠1=∠2，由外角可得，∠BOC=∠1+∠2，∴∠BOC=2∠1，∴∠1=12∠BOC情况3，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠BOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，同理∠COD=2∠DAC，∴∠BOC=∠COD−∠BOD=2∠DAC−2∠OAB=2∠BAC，∴∠BAC=三种情况任选一种（2）解：作直径AF，交⊙O∵DE为⊙O的切线，∴OA⊥DE，∴∠CAE+∠FAC=90°∵AF为⊙O的直径，∴∠ACF=90°，∴∠AFC+∠FAC=90°∴∠AFC=∠CAE，∵∠CBA=∠AFC，∴∠CAE=∠ABC11．【答案】（1）如图1，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（2）设四边形PMON的外接圆为⊙O'，连接交⊙O'于点Q，连接则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∴MN=QN·sin∴MN=OP·sin∴MN是定值．（3）由（2）得MN=OP·sin当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°−90°=90°，MN取得最大值2．12．【答案】（1）证明：∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB∴∠E=∠CFB∵∴（2）解：∵AB是⊙O∴∠ACB=9∴AB=∵∴∠A=∠B=4∴∠A=∠B=∠CFE=4由（1）可得△AFE∽△BCF，∴即y△AFE∽△BCF，∴y=−（3）解：连接DE，DF，∵△EFC与△∴∠EDF=∠ECF=60∵∵∴∠BDF=∠DEA∴设AD=x，∵∴DB=nx∴AB=(∴AE=nx−a，∵△∴∴a由前两项得，nax=b[(n+1由后两项得，[(n+1∴(∴(解得，a=n由①得ab=∴CE13．【答案】（1）解：△ABC的外接圆如下图所示，过圆心G作GH⊥x轴于点H，连接GB、GC由作图可知GN垂直平分AB，∴∠GNO=∠GHO=∠NOH=90°，∴四边形GHON为矩形，∵点A的坐标为(0，10)，点B的坐标为∴OB=4，OA=10，OC=2，∵GN垂直平分AB，∴BN=1∴ON=OB+BN=7，∵四边形GHON为矩形，∴OH=GN，GH=ON=7，在Rt△GNB中，G在Rt△GHC中，G∵GB=GC，∴BN设CH长为x，则32解得x=9，∴CH=9，∴CK=2CH=18，∴OK=OC+CK=20，∴K(即此圆与x轴的另一个交点的坐标为(20（2）解：点P的坐标为(214．【答案】（1）解：∵∠A=∠C，MB=CE，

∴△MAB≌△MCE，

∴MB=ME，

∵MD⊥BC，

∴BD=DE，

∴CE+DE=AB+BD，

∴CD=DB+BA.（2）3（3）215．【答案】（1）②④（2）解：△ACD与△BCD是“青竹三角形”，c2=a2+b22，理由如下：

过点C作CH⊥AB于点H，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠B=90°，又CD=CD，

∴△ACD与△BCD是“青竹三角形”；

∵AD=a，BD=b，∴AB=AD+BD=a+b，

∵∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB，

∴AH=BH=12AB=12（a+b）=CH，

∴DH=BD-BH=b-a+b2=b-a2，

在Rt△CDH中，∵DH（3）解：①连接DO并延长交圆O于点E，连接AE、CE，

∵△ABC与△ADC是“青竹三角形”，

∴∠ACD+∠BAC=90°，

∵DE是圆O的直径，

∴∠EAD=90°，

∴∠AED+∠ADE=90°，

又∵弧AE=弧AE，弧AD=弧AD，

∴∠ADE=∠ACE，∠AED=∠ACD，

∴∠AED+∠BAC=∠ACD+∠BAC=90°，∠AED+∠ACE=∠AED+∠ADE=90°，

∴∠BAC=∠ACE，

又∵弧AC=弧AC，

∴∠AEC=∠ABC，

在△AEC与△CBA中，

∵∠AEC=∠ABC，∠BAC=∠ACE，AC=CA，

∴△AEC≌△CBA（AAS），

∴AE=BC，

在Rt△EAD中，AD2+AE2=DE2=82=64，

∴AD2+BC2=AD2+AE2=64，

即AD2+BC2的值为64；

②连接DO并延长交圆O于点E，连接AE、CE，过点B作BF⊥AC于点F，

∵∠BAC=∠ACD，

∴AD=BC，

由①知∠BAC=∠ACE，

∴∠ACE=∠ACD=12∠ECD=45°，

∴∠BAC=45°，

∵∠ABC=75°，

∴∠ACB=60°，

∵△ABC与△ADC是“青竹三角形”，

∴∠CAD=90°-∠ACB=30°，

∵弧CD=弧CD，

∴∠DEC=30°，

∴CD=12DE=4，

∵弧AE=弧AE，

∴∠ADE=∠ACE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=DE2=42，

∴BC=AD=42，

在Rt△BCF中，BF=BC·sin∠ACB=42×sin16．【答案】（1）菱形、正方形；3或3（2）解：过O点作OH⊥BD，连接OD，∴∠OHP=∠OHD=90°，BH=DH=1∵AP=2，PC=8∴⊙O直径∴OA=OC=OD=5，∴OP=OA−AP=5−2=3，∵四边形ABCD是“美丽四边形”，∴∠OPH=60°，在Rt△OPH中，∴OH=3在Rt△ODH中，∴BD=2DH=73（3）解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，∴∠BMO=∠DNO=90°，∵四边形ABCD是“美丽四边形”，∴∠BOM=∠DON=60°，∴tan即yD∴直线BD解析式为y=3∵二次函数的图象过点A(−2，即与x轴交点为A、C，∴用交点式设二次函数解析式为y=a(∵y=a(x+2∴xB+∴(∵S∴3∴x∴(解得：a1=−∴a的值为：−17．【答案】（1）45（2）解：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，∵四边形ABCP是⊙O∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC∴BA=BC，∴△∴PB=EB，∠PBC=∠EBA，∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△∴PB=PE，∴PB=PE=PA+AE=PA+PC，即PB=PA+PC；（3）218．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴AB=∴∠APB＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABP＝∠ACP，∠CBP＝∠PAC，∴∠ABC＝∠PAC+∠PCA．∴∠APB＝∠PAC+∠PCA．（2）解：延长BP至点D，使PD＝PC，连接AD，如图，∵点P为AC的中点，∴PA=∴PA＝PC，∠ABP＝∠CBP．∴PA＝PD．∴∠D＝∠PAD．∴∠APB＝∠PAD+∠D＝2∠PAD．∵AB＝AC，∴AB=∴∠APB＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝2∠ABP，∴∠PAD＝∠ABP．∵∠D＝∠D，∴△DAP∽△DBA，∴PDAD∵∠D＝∠PAD，∠PAD＝∠ABP，∴∠D＝∠ABP．∴AD＝AB＝6．设PA＝x，则PD＝x，BD＝5+x，∴x6∴x2+5x﹣36＝0．解得：x＝4或﹣9（负数不合题意，舍去）．∴PA＝4；（3）解：连接OP，OC，过点C作CH⊥BP于点H，如图，∵⊙O的半径为5，CP＝5，∴OP＝OC＝PC＝5，∴△OPC为等边三角形．∴∠POC＝60°．∴∠PBC＝12在Rt△BCH中，BH＝BC•cos30°＝6×32＝33CH＝12在Rt△PCH中，PH＝PC∴PB＝PH+BH＝4+33．∵四边形ABCP是圆的内接四边形，∴∠PCE＝∠BAP．∵∠E＝∠ABP，∴△EPC∽△BPA．∴PEBP∴AP•PE＝PC•BP＝5（4+33）＝20+153．19．【答案】（1）tan∠DCE=1（2）解：如图中，点P即为所求，

作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；

证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，

∴PM=AM（3）解：如图中，点P即为所求，

作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。20．【答案】（1）（0，-1）；3或5（2）解：∵A(0∴AE=5，AB=2，∴⊙O关于直线m的“远望数”=AE⋅AB=2×5=10（3）解：如图，过F作FG⊥x轴，垂足为点G，连接OF并延长交直线l于P，交⊙F于点Q由题意得：OP⊥l．∵F坐标为(1∴OF=5∴OQ=25∵O是OF关于直线l的“远点”，∴OP⋅OQ=125∴OP=6．∵∠FGO=∠OPN=90°，FG∥∴∠NOP=∠GFO，∴△OFG∴ONOF∴ON=35∴N设直线l的解析式为y=kx+b，把N(0，35得b=35解得k=−1∴直线l的解析式为y=−121．【答案】（1）证明：∵PO和PA都是⊙P∴PO=PA．∴△POA是等腰三角形．∵PD⊥OA，∴∠OPD=∠APD．∵BP是△POB和△PAB的公共边，∴△∴∠POB=∠PAB．∵⊙P与x轴相切于原点O∴∠POB=90°．∴∠PAB=90°．∴AB是⊙P（2）解：存在，当点Q在线段BP的中点时，点Q到四点O，P，A，B距离都相等．如下图所示，连接QO，QA，过点Q作QH⊥OB于H．∵Q是线段BP的中点，∠POB=∠PAB=90°，∴QO=QP=QA=QB．∴当点Q在线段BP的中点时，点Q到四点O，P，A，B距离都相等．∵∠POB=90°，PD⊥OA∴∠DPO+∠OBP=90°，∠POA+∠DPO=90°．∴∠OBP=∠POA．∵tan∠POA=∴tan∵P点坐标为(∴OP=6．∴OB=OP∵点Q是线段BP的中点，∴BQBP∵∠POB=90°，QH⊥OB，∴QH∥∴△∴HQ∴HQ=12OP=3∴OH=OB−HB=4．∴点Q的坐标为(4∴OQ=O∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙P的方程为(22．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴ADAC=ACAB，

（2）解：①如图，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，∠BAC=12∠BAD，

∴∠BAE=∠CME，

又∵∠EAF=12∠BAD，

∴∠CME=∠CAF，

又∵∠CFA=∠AFM，

∴△CFA∽△AFM，

∴AFCF=MFAF，

∴AF2=CF·MF，

∵AF=4，CF=2，

∴MF=8，

∴CM=MF-CF=8-2=6；

②由△CFA∽△AFM，可得ACAM=AFMF，即AC10=48，解得AC=5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，∠BCA=∠DCA，

∴∠BAE=∠CME，∠MCA=∠ACN，

又由①可知：∠CME=∠CAF，

∴△MCA∽△ACN，

∴MCAC=AM（3）解：解：如图，连接PB，在BC上截取BE，使得BE=12BP=32，并连接PE，

∵菱形ABCD，AB=6，圆B的半径为3，

∴BP=12BC=3，

又∵∠PBE=∠CBP，

∴△PBE∽△CBP，

∴PE=12PC，

∴PD+12PC=PD+PE，

∴当P、D、E三点共线时，PD+PE最小，最小为ED，

∴PD+12PC的最小值为ED的长，

连接DE，过点D作DF⊥BC的延长线于点F，

∵∠ABC=60°，

∴∠DCF=60°，

∴CF=3，DF=33，

∴EF=EC+CF=6-32+3=152，

∴ED=EF2+DF23．【答案】（1）解：选丹丹方法，丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；证明：延长AD交过点C与AB平行的直线交于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵CE∥AB，∴∠BAD=∠CED=∠CAD，∴AC=EC，∵AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC∴ABAC选择思思方法：思思认为，可以通过比较△ABD和△证明：过点D作PD⊥AB，DQ⊥AC于点P，Q，∵AD平分∠BAC，PD⊥AB，DQ⊥AC∴PD=DQ，∴S△又∵S△∴ABAC（2）解：连接CE，∵⊙O是Rt△∴AC为⊙O∴∠AEC=90°，在Rt△ABC和Rt△AEC中，AB=AEAB=AB∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），∴∠BAC=∠EAC，即AC为∠BAE∴HGGB又∵H为AE的中点，∴AH=12∴AHAB（3）解：作BN⊥AE交AE于点N，设BE交AC于M，∵BE=EF，∴∠F=∠EBH，∵∠BAE=∠BFE，∴∠HBE=∠BAE，∵∠HEB=∠BEA，∴△HBE∴ABBH∵AB=AE，∴BH=BE，又∵GH=x，由（2）知BG=2GH=2x，∴BH=BE=3x，∴HEBE∴2HE3x∴HE=3∴AB=AE=2HE=32∵BN⊥AD，BH=BE，∴HN=NE=12HE=3∴BN=BE在Rt△BEN中，在Rt△ABD中，即⊙O的直径为1224．【答案】（1）B（2）解：如图2，连接AD∵∠ADB是A