2023年湖南省各市中考数学试题真题汇编-函数

函数（真题汇编）2023年湖南省各市中考数学试题

一、选择题

1.（2023长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（）

A.y=2x+lB.y=x-4C.y-2xD.y=-x+l

2.（2023.长沙）长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示,下列说法中错误的是（）

C.这组数据的众数是24D.周四与周五的最高气温相差8C

k

3.（2023召即日）如图，矩形Q4BC的顶点8和正方形相＞跖的顶点E都在反比例函数的图

像上，点B的坐标为（2,4）,则点E的坐标为（）

A.（4,4）B.（2,2）C.（24）D.（4,2）

4.（2023・邵阳）已知爪内，y）,弓（孙力）是抛物线）=加+4"+3（a是常数，上的点，现有

以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2;②点（0,3）在抛物线上；③若内＞々＞-2,则

X〉%；④若,=%，贝！1%+%=-2其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023.郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9:00开车前往会展

中心参观.途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间.车修好后，他们继续开车赶往会展中心.以下

是他们家出发后离家的距离S与时间的函数图象.分析图中信息，下列说法正确的是（）

A,途中修车花了30min

B.修车之前的平均速度是500m/

C.车修好后的平均速度是80m/min

D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍

6.（2023.01）如图所示，直线1为二次函数,V=/+bx+c（a丰0）的图像的对称轴，则下列说法正确的

是（）

A.b恒大于0B.a,b同号

C.a,b异号D.以上说法都不对

4

7.（2023株洲）下列哪个点在反比例函数y=-的图像上？（）

X

A.4（1，-4）B.8（4,-1）C.6（2,4）D,2（26,血）

8.（2023•衡阳）已知〃?＞〃＞（），若关于x的方程J+2x-3-〃2=0的解为%，%2（玉＜%）.关于x的方

程d+2x-3-〃=0的解为七，/（尤3</）.则下列结论正确的是（）

A.x3<x]<x2<x4B.x1<x3<x4<x2

C.XJ<X2<X3<X4D.x3<x4<%）<x2

9.（2023.永州）已知点"（2,。）在反比例函数y=:的图象上，其中a,k为常数，且Z>0.则点M-

定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

k

10.（2023.怀化）如图，反比例函数.V=一/>0）的图象与过点（-1，0）的直线AB相交于A、8两点.已

x

知点A的坐标为（1，3）,点。为X轴上任意一点.如果SABC=9,那么点C的坐标为（）

A.（-3,0）B.（5,0）

C.（-3,0）或（5,0）D.（3,0）或（-5,0）

二、填空题

II.（2023.长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=~（k为常数，左>0,x>0）的图

x

19

象上，过点A作x轴的垂线，垂足为6,连接。4.若一03的面积为百,则女=.

12.（2023衡阳）在平面直角坐标系中，点P（-3,-2）所在象限是第象限.

13.（2023•郴州）在一次函数丁=（左-2）x+3中，V随x的增大而增大,则k的值可以是

（任写一个符合条件的数即可）.

14.（2023•郴州）抛物线y=x2-6x+c^x轴只有一个交点，贝!|c=

15.(2023.株洲)血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围

是：20~140mmHg，舒张压的正常范围是：60〜90mmHg.现五人A、B、C、D、E的血压测量值统

三、综合题

16.(2023.常德)如图，二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),5(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为

D.O为坐标原点，tan/ACO=(.

DyiD

备用图

(i)求二次函数的表达式；

(2)求四边形ACDB的面积；

(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ZACO=NPBC,求P点的坐标.

17.(2023•张家界)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数V=尔+bx+c的图象与x轴交于点

4(-2,0)和点5(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点D为线段6c上的一动点.

（2）如图1,求一A。。周长的最小值；

（3）如图2,过动点D作DPAC交抛物线第一象限部分于点P,连接PAPB,记PAD与

的面积和为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.

k

18.（2023.常德）如图所示，一次函数X=-x+〃?与反比例函数%=—相交于点A和点8（3，-1）.

（1）求m的值和反比例函数解析式；

（2）当区〉为时，求x的取值范围.

19.（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，

在右边托盘8（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的

水，可以使仪器左右平衡.改变托盘3与点C的距离x（cm）（0<xW60）,记录容器中加入的水的质

量，得到下表：

ACB

托盘B与点C的距离x/cm3025201510

容器与水的总质量x/g1012152030

加入的水的质量＞2/g57101525

把上表中的X与y各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接

起来，得到如图所示的/关于x的函数图象.

（1）请在该平面直角坐标系中作出必关于8的函数图象；

（2）观察函数图象，并结合表中的数据：

①猜测》与X之间的函数关系，并求》关于X的函数表达式；

②求”关于x的函数表达式；

③当0＜xW6O时，M随x的增大而（填噌大或“减

小”），必随x的增大而（填“增大”或“减小”）,%的图象可以由X的图象向（以“上”

或吓”或“左”或“右”）平移得到.

（3）若在容器中加入的水的质量为（g）满足194%W45,求托盘B与点C的距离X（cm）的取

值范围.

20.（2023郴州）已知抛物线，=苏+云+4与1轴相交于点4（1,0）,B（4,0），与＞轴相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

PA

(2)如图1,点P是抛物线的对称轴/上的一个动点，当一PAC的周长最小时，求而的值；

(3)如图2,取线段0c的中点。,在抛物线上是否存在点。,使柩〃NQDB=g?若存在，求出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

21.(2023.株洲)某花店每天购进16支某种花，然后出售.如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废

处理、该花店记录了10天该种花的日需求量n(n为正整数，单位：支)，统计如下表：

日需求量n131415161718

天数112411

(1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；

(2)当〃<16时，日利润y(单位：元)关于n的函数表达式为：y=10/7-80;当“216时，日利

润为8()元.

①当〃=14时，间该花店这天的利润为多少元？

②求该花店这1()天中日利润为70元的日需求量的频率.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得y随x的增大而减小的函数是y=—+l,

故答案为：D

【分析】根据一次函数的性质对选项逐一分析即可求解。

2.【答案】B

【解析】【解答】解：

A、这周最高气温是32℃,A不符合题意；

B、这组数据的中位数是27,B符合题意；

C、这组数据的众数是24,C不符合题意；

D、周四与周五的最高气温相差8℃,D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据图像结合中位线、众数定义对选项逐一分析即可求解。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：：点8的坐标为(2,4),

Ak=8,

Q

・・・反比例函数y=[(女=0),

设正方形的边长为a,则点E(2+a,a),

Ja(2+a)=8,

解得a=2或-4(舍去)

，E(4,2),

故答案为：D

【分析】先根据点B的坐标即可得到反比例函数，再设正方形的边长为a,则点E(2+a,a),进而根据

题意即可求解。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：

①抛物线的对称轴是直线X=-粤=-2,①正确；

2a

②当x=0时,y=3,

•••点(0,3)在抛物线上，②正确；

③当a<0时，yi<y2,

当a>0时，yi>y2,③错误；

④由题意得上芝=-2,

%+%2=-4,④错误；

故答案为：B

【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与

开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：

A、途中修车花了20min,A不符合题意；

B、修车之前的平均速度是甯=600加/，位〃,B不符合题意；

C、车修好后的平均速度是13200^600。=goo加加〃,C不符合题意;

O

D、900-600=1.5,D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据函数图象结合题意即可求解。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：：直线1为二次函数，=加+云+c("0)的图像的对称轴，

：.-->0,

2a

：.-<Q,

a

•・a,b异号,

故答案为：C

b

【分析】根据二次函数的对称轴结合图像即可得到一vo,进而即可求解。

a

7.【答案】D

【解析】【解答】解：：k=4,

，在反比例函数上的点横坐标和纵坐标相乘等于4,

lx（-4）=4x（-1）=-4彳4,2x4=8,20x0=4,

点舄（2夜,夜）在反比例函数y=-的图像上

故答案为：D

【分析】根据反比例函数图象上的点的特征结合题意即可求解。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示：设直线y=m与抛物线y=/+2x_3交于A、B两点，直线y=n与抛

物线y=d+2尤-3交于C、D两点，

m>n>Q，关于x的方程f+2%—3-〃?=0的解为X],%2（王<工2）.关于x的方程d+2x-3—〃=0

的解为七，%4（七<%4）,

xt<x3<x4<x2,

故答案为：B.

【分析】先作图，再结合题意，比较大小即可。

9.【答案】A

k

【解析】【解答】•••点M在反比例函数y=—图象上,

X

k=2a,

Vk>0,

2a>0,

a<0,

.♦.点M的横坐标为正数,纵坐标为负数，

•••点M在第一象限，

故答案为：A。

【分析】先求出a<0,再利用点坐标与象限的关系求解即可。

10.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意可得：k=1x3=3,

3

二反比例函数解析式为：>=二，

x

设直线AB的解析式为：y=ax+b,

-a+b=Q

由题意可得：

a+b=3

3

a=—

解得：i2

b=—

2

33

,直线AB的解析式为：y=§x+5,

3

x——2

>二一x=l

由「得:或《3,

y=3

y=—x+—"―5

22

•'SABC=9,

••SACD+Sseo=万CD-^3+—^=9,

.\CD=4,

二点C的坐标为(3,0)或(-5,0),

故答案为：D.

33

【分析】利用待定系数法先求出反比例函数解析式为：>=-，再求出直线AB的解析式为：y=；x+

x2

3

-,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

19

11.【答案】-

0

19

【解析】【解答】解：：。钻的面积为五，

•&。1919

..k-2x—=——，

126

故答案为：?19

0

【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。

12.【答案】三

【解析】【解答】解：•••-3<0,-2<0,

.•.点P(-3,-2)所在象限是第三象限，

故答案为：三

【分析】先求出-3<(),-2<0,再判断点的坐标所在的象限即可。

13.【答案】3(答案不唯一)

【解析】【解答】解：由题意得k-2>(),

.*.k>2,

故答案为：3(答案不唯一)

【分析】根据一次函数的性质即可求出k的取值范围，进而即可求解。

14.【答案】9

【解析】【解答】解：：抛物线.丫=/-6%+('与x轴只有一个交点，

，△=36—4c=0,

/.c=9,

故答案为：9

【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。

15.【答案】3

【解析】【解答】解：由题意得反D和E的收缩压和舒张压均在正常范围内，

•••这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有3个，

故答案为：3

【分析】直接根据图像结合题意即可求解。

16.【答案】(1)解：：.二次函数的图象与x轴交于A(-1,O),3(5,0)两点.

•••设二次函数的表达式为>=a(x+l)(x-5)

*.*AO=1,tanzLACO=—

5

AOC=5,即。的坐标为(0,5)

则5=。(0+1乂0-5)，得a=T

•••二次函数的表达式为y=-(x+l)(x-5);

(2)解：y=-(x+l)(x-5)=-(x-2)2+9

,顶点的坐标为(2,9)

过。作。N_L4B于N，作。M_LOC于M,

四边形ACDB的面积—SAOC4-S矩形0M0N—SCDM+SDNB

=gxl*5+2x9-；x2x(9—5)+gx(5—2)x9=30;

(3)解：如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当NAC0=NP3C时,

连接依，过C作C£_LBC交族于E,过E作瓦'LOC于E，

,：0C=0B=5，则0C8为等腰直角三角形，NOCB=45。.

由勾股定理得：C3=50,

：ZACO^ZPBC,

tanZACO=tanZ-PBC,

1CECE

即广有=运，

-,-CE=y/2

由,得N5CE=9()。，

二NECF=180°—ZfiCE-NOCB=180°-9()°—45°=45°.

•••.EFC是等腰直角三角形

...FC=FE=T

•••E的坐标为（1，6）

315

所以过&E的直线的解析式为y=-

3,15

令y=-2x+T

5)

1

X=5-

或2

y_O

一247

所以鸵直线与抛物线的两个交点为8(5,0),呜，引

(127、

即所求P的坐标为々展彳)

【解析】【分析】(1)根据二次函数与x轴的交点即可设二次函数的表达式为y=a(x+l)(x-5),进而

根据题意即可求出点C的坐标，进而代入即可求解；

(2)先将二次函数的解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标，过。作ON_LA6于N,作。M，OC于

M，根据四边形ACDB的面积=SAOC+S矩形OMDN—，CDM+SDNB即可求解；

(3)当NACO=N~BC时，连接依，过。作CE_LBC交成于E，过E作历，。。于产，先根据

勾股定理即可求出CB的长，进而运用锐角三角形函数的定义即可求出CE的长，再根据等腰直角三角形

的判定与性质即可得到小=尸£=1,进而得到点E的坐标，进而得到过8、E的直线的解析式为

315

y=--^+y,再联立两个函数的解析即可得到交点坐标，进而即可求解。

17.【答案】(1)解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),

将(0,6)代入上式得：6=«(0+2)(0-6),

1

a=——

2

所以抛物线的表达式为^=-；/+21+6;

(2)解：作点O关于直线8C的对称点E,连接EC、EB,

•••3(6,0),C(0,6),NBOC=90°,

：.OB=OC=6,

•；O、E关于直线BC对称，

•••四边形。BEC为正方形，

£(6,6),

连接AE,交BC于点D,由对称性|。目=|。。|,

此时|DO|+|ZM|有最小值为AE的长，

AE=\lAB2+BE2=V82+62=10

•••二4。。的周长为。4+。0+4?,

AO=2,D4+OO的最小值为10,

的周长的最小值为10+2=12;

(3)解：由已知点A(-2,0),5(6,0),C(0,6),

设直线BC的表达式为y=kx+b,

将5(6,0),C(0,6)代入y^kx+b中，〃「，解得〃八

二直线BC的表达式为y=-x+6,

同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6,

•；PD\AC,

,设直线PD表达式为y=3x+a,

由（1）设P^,-i/n2+2m+6j，代入直线PD的表达式

得：a=--m2—m+6,

2

1

・••直线PD的表达式为：y=3x--m9^-m+6,

11

Xm2

y=-x+6-8-4-

由＜，12,

y-3x——m-m+oy=-「2-0+6

2

-84

r/1211，1八

D\—m+—m,——m~——根+6

（8484）'

・・,P,D都在第一象限，

♦•S=SPAD+SPUD-SPAH-SDAB

=—IABI\--in24-2m+6>1---m2--m+6

21'K2八84

3,9

4x8-—m~+—m

84

--^m2+9m=一6/〃）

、

——3,（m—32）2H--2--7,

22

.♦.当机=3时，此时P点为

【解析】【分析】(1)先根据题意设抛物线的表达式为丁=。(*+2)(%-6),进而代入(0,6)即可求解；

(2)作点O关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,进而根据题意得到OB=OC=6,进而根据正方形

的性质得到点E的坐标，连接AE,交BC于点D,由对称性目=|。0|,此时|OO|+|D4|有最小值为

AE的长，进而跟进勾股定理求出AE,再根据一A。。的周长为D4+DO+4O结合题意即可求解；

(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6,

再根据一次函数平行即可设直线PO表达式为y=3x+a，由(1)设P,,-；/+2m+6)，代

入直线PD的表达式即可得到y=3x-g_〃?+6,进而联立解析式即可得到

<191191、

。+6,再根据S=S,D+SPBD=SPAB-S结合二次函数的最值即可求

\o4o4)

解。

18.【答案】(1)解：将点3(3,-1)代入M=-龙+能得：_3+〃?=一1

解得:m=2

k

将B(3,—1)代入%=［得：Z=3x(—1)=—3

,3

・・%=—

x

(2)解：由X=%得：一九+2=口，解得X=-1，％=3

X

所以4B的坐标分别为A(-1,3),5(3,-1)

由图形可得：当x<T或0<x<3时，,〉必

【解析】【分析】(1)根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；

(2)先求出两个函数的交点坐标，再结合题意观察图像即可求解。

19.【答案】(1)解：函数图象如图所示,

=

(2)解：①y=—②y2-------5③减小；减小;下

XX

30025

(3)解：当％=19时，19=——5解得X=K,

x2

当%=45时，45=迎一5解得了=6,

X

•••托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围64x4万.

【解析】【解答］（2）①观察图象可知，y,可能是x反比例函数，设乂="（2力0）

X

把（30,10）的坐标代入X=：，得k=300,

经检验，其余各个点坐标均满足X=理，

X

关于》的函数表达式另=出；

X

JT1

②观察表格以及①可知，%+5可能与x成反比例，设%+5=—（左。0）

x

把（30,5）的坐标代入y2+5=-，得m=300,

经检验，其余各个点坐标均满足为+5=&,

X

•••乃关于X的函数表达式J=--5；

2X

③由图图像可知，当0<xW60时，％随x的增大而减小，乃随x的增大而减小，％的图

象可以由M的图象向下平移得到，

故答案为：减小，减小，下；

【分析】（1）平滑的连接平面直角坐标系中的点即可求解；

k

（2）①先观察图象可知，/可能是x反比例函数，设y=—（AN0），进而待定系数法求出反比例

x

函数的解析式，再检验即可求解；②观察表格以及①可知，%+5可能与x成反比例，设

iri

%+5=—(A70),进而即可求解；③根据反比例函数的性质即可求解;

x

(3)根据反比例函数的性质代入>2T9和必=45即可求解。

20.【答案】(1)解：•••抛物线丁加+芯+4与x轴相交于点A(l,0),5(4,0),

.-Ja+b+4=0解得./a=1

116a+4b+4=0'畔仲-lb=-5'

y=x2-5x+4;

(2)解：•.•'=/_5尤+4,当％=0时，y=4,

AC(0,4)，抛物线的对称轴为直线*=

的周长等于尸A+PC+AC,AC为定长，

...当PA+PC的值最小时，_PAC的周长最小，

VAB关于对称轴对称,

：.PA+PC^PB+PC>BC，当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为

直线8c与对称轴的交点，

设直线BC的解析式为:y=rm+n,

则：I4•北曾；°,解得：

,y=-x+4,

当x=*时，y=——+4=—

2'」22

53

P

2J2

•••4(1,0),C(0,4),

(3)解：存在，

为0C的中点，

0(0,2),

OD—2,

•••8(4,0),

.•.08=4,

在Rt一BOD中,tanNOBD=—=-

OB2

tcmNQDB=g=tanNOBD,

：.ZQDB=ZOBD,

①当。点在。点上方时：

过点。作。QOB,交抛物线与点。，则：ZQDB=ZOBD,此时。点纵坐标为2,

则：/一5/+4=2,

②当点。在。点下方时：设OQ与*轴交于点E,

则：DE=BE,

设七（仍0）,

则：DE2=OE2+0D2=p