2024届广东省新高考高三数学一模练习卷及答案

2024新高考数学一模练习卷(一)

数学试卷

本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟.

考生注意事项：

1.答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答

题卡的张数与印刷情况.

2.在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动,

用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑.

3.在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将

原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域.

4.答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.集合4={%忧2—4%+3V0},B={x\y=ln(x—1)},则CB』=(*).

(A){x\x>1](B){x\x>3)

(C){x|l<x<3}(D){x\x<3}

2.在复平面中，点Zi对应的复数为z,点Z2对应的复数为之，若|Z1|=|ZiZ2l=2,则

西•西=(*).

(A)-5(B)-4

(C)4(D)5

3.已知事件B,C相互独立，且PQ4),P(B),P(C)€(0,1),则在以下说法中，错误的

是(*).

(A)事件B,C均为随机事件

(B)事件B,C均与必然事件M相互独立

(C)事件A,B,C均与不可能事件N不互斥

(D)事件B,C均与事件/nBnc对立

数学试卷第1页(共6页)

4.记Sn为数列｛a”｝的前n项和,若cii=1,S"=2an+an+1,则在&〜。2()24中，整数的

个数是(*).

(A)1012(B)1011

(C)2024(D)2023

5.中国是瓷器的故乡.“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所

示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为6cm）的圆台组合

面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm,底面直径48=10cm,底面直径

CD=20cm,EF=16cm,若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（*）.

(A)669TTcm3(B)1338TTcm3

(C)6507rcm3(D)1300TTcm3

6.已知椭圆噂+、=l(a>b>0)过点(|鱼,鱼)，则下列直线方程不与「相切的是

(*).

(A)3V3x+4y-16=0(B)3x+4y+12=0

(C)4%4-6y-17=0(D)x-4y-10=0

7.已知函数f（%）=2sin（cox+§在区间（0,兀）上有3个极值点（eo€N*）,则3的最小

值是（*）.

（A）1（B）2

（C）3（D）4

已知1c=1.011。，d=匕则(*).

8.a=1+sin—,b=y/e,16

(A)b>a>d>c(B)b>c>a>d

(C)b>a>c>d(D)b>c>d>a

数学试卷第2页（共6页）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论.某

课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为

其采访记录表：

您是否愿意生育孩子

愿意(X=1)不愿意(X=0)

男同学4060

女同学6040

考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25

至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：

您是否愿意生育孩子

愿意(X=1)不愿意(X=0)

男士6040

女士7030

则(*).

(A)该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验

(B)高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5,25至30周岁的为0.65

(C)通过下表的小概率值a=0.005的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关

(D)通过下表的小概率值a=0.005的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关

注：

n(ad—be)2

/=-------------------------，

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.89710.828

Xa

10.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3,沿着BBi和DD］分别作上底面的

垂面，垂面经过棱EP,PH,HQ,QE的中点F,G,M,N,则两个垂面之间的几何

体2如图4所示，若EN=AB=E4=2,则(*).

(A)BBr=2V2(B)FG//AC

(C)BD1平面BFBjG(D)几何体2的表面积为16V3+8

数学试卷第3页(共6页)

*

图3图4

22

11.已知椭圆E:9+彳=1,过椭圆E的左焦点Fi的直线匕交椭圆E于/、B两点，过椭

圆E的左焦点尸2的直线％交椭圆E于C、。两点，则(*)

(A)若丽=20，则。的斜率k=手

(B)|明|+4IBFJ的最小值为区

(C)以AFi为直径的圆与圆X2+y2=4相切

(D)若/]_L/2，则四边形/BCD面积的取值范围为[翼,6]

图5

12.已知正实数TH,n,q满足：[2Z+on=ca^则(*)・

lZ•3=5"

(A)ln2<q<l(B)0<mn<-

r2

(C)A/2<叫？<V6(D)等<m2+n2<In5+In6

qIn6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在(正+y的展开式中，々的系数是.(用数字作答)

14.函数/(%)=sin\x\+|cosx|,xe(0,2兀)的极值点个数为.

15.已知函数/"(%)={(；：：)；,3。，若方程/'(%)=加有三个不同的实根a,b,c,则

S=\af(_a)+bf(b)+c/(c)|的取值范围是.

16.若实数a,b满足a?+序W6a,则(2a+b)(2b-a4-3)<0的概率为.

数学试卷第4页(共6页)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知在△ABC中，角/、8、C所对的边分别为a,b,c.且有tan/+tanB—

V3tanAtanB=—V3.

（1）求sinC；

（2）若c=2,记AB的中点为M,求CM的取值范围.

18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后,

小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：

小李同学找来了小王同学；

小李同学制作了三张标号，分别为1，2,3的相同规格纸片；

每轮开始前，小李同学心里默想1,2,3中的一个随机数字；

小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同

标号的纸片；

小王同学再进行一次选择；

小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分,

否则记录一次0分；

重复进行多轮试验.

（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；

（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望E（X2）；

19.（12分）记数列｛an｝的前几项和为Sn,已知Sn=ncin+i-/一71.

（1）证明：是等差数列；

（2）若为=\证明：=+=+=+…+=

3bi52033nNU

数学试卷第5页（共6页）

20.（12分）如图6,在四棱柱A8C0中，底面/BCO和侧面BB'C'C均为正方

形，AB=2.连接B'D,点E、尸分别为B'D、C'D，的中点.

（1）求4F和C'E夹角的正弦值；

（2）求平面4B尸和平面CC'E的夹角.

21.（12分）如图7,已知。为坐标原点，抛物线的方程为/=2py（p>0）,F是抛物线的

22

焦点，椭圆的方程为今+£=（）过的直线与抛物线交于两点，

a2b2la>b>0,F1M,N

反向延长。M,ON分别与椭圆交于P,Q两点.

（1）求kOM、%的值；

（2）若|OP『+|0Q|2=5恒成立，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，若冷的最小值为1,求抛物线的方程.（其中S^OMN，SAOPQ

分别是aOMN和△OPQ的面积）\v't/

22.(12分)已知函数/(%)=alnx-x+Ina-1,g(x)=-1.(其中a>0)

2

(1)若3x0>0,f(%o)>e+1,求a的取值范围；

(2)若y=f(%)与y=g(x)有且仅有一个交点，求实数a的值.

数学试卷第6页（共6页）

2024年广东省新高考数学一模练习卷（一）

数学参考答案

、选择题

题号12345678

答案BDDABCAB

二、选择题

题号9101112

答案BCDABCBCDABC

三、填空题

题号13141516

1

答案44[0,e-2]

2

四、解答题

17.（1）

由题tan4+tan5—V3tanAtanB=-V3=tanZ+tan5=—V3(l-tan4tan3)

tanA+tanB

=-V3=>tan(i4+B)=-V3=tanC=-tanQ4+B)=V3=C=§

1—tanAtanB

所以sinC=y.

(2)

如图所示，构造△ABC的外心N,连接AN,BN,CN,MN

由题得4M=BM=1,AN=CN=BN=R=^=等,MN=^AN”

由三角形三边关系得CN-MN<CM<CN+MN,

即4WCMW百，故CM6[y,V3].

数学参考答案第1页（共5页）

18.(1)记事件必为“第二次选择时不换纸片”，&为“第二次选择时换纸片”，Bi为“记

1分”，B2为“记0分”，由贝叶斯公式得：

P(B])PQ4i|Bi)P(Bi)PG4/Bi)1

111

-一时——P(，-I)+P(B2)P(&|B2)3

2

P(B/&)=1-P(BilAi)=->P(Bi]4)

所以如果我是小王同学，我会选择换纸片

(2)记2轮的总得分为X,结合(1)得X的分布列为

P(X=O)=g,P(X=l)=g,P(X=2)=g

用表格表示X的分布列，如下表所示：

X012

144

P

999

1444

E(X?)=0x-+lx-+2x-=-

故进行2轮试验总计分的数学期望F(X2)为[

19.(1)

22

由题意Sn=nan+1-n-n,Sn+an+1=Sn+1=(n+l)an+1-n-n

n2

=(ri+l)(an+i-)=(n+l)an+2-(n4-1)-(n4-1)=(n4-l)(an+2-n-2),

所以与+i-n=册+2-九一2,即册+2=册+i+2,所以｛册｝是以2为公差的等差数列

(2)

由(1)及题意得等差数列｛an｝的前n项和

n、xi(2+2n\=n/n+1\

5n=2(«i+«n)=2(3)(3)

113

111/111\

—+7—I-•••+=3I-----T+o----三+…H----------------T)

SiS2Sn\1X42x7nx(3n+1)/

3339

即证荻彳+方行+…+3.x(3九+1)〈元

易知(3n-l)(3n+2)<3n(3n+1)

nil33

人3n(3n+1)<(3n—l)(3n+2)

3331/33\

--------1----------1--|--------------------<-+---------(•—|---------------------------

3x46x73nx(3n+1)4\5x8(3n-1)x(3n+2)/

数学参考答案第2页(共5页)

1/111111\119

=—|-I-----1---------F•••+---------------I<—F-=—

4\588113n-13n+2/4520

原题得证，证毕

Z

20.(1)B

如图，以4为坐标原点，4夕为x轴，4。为y轴，AA为

z轴，建立空间直角坐标系DZ—y―

则4(0,0,2),5(2,0,2),C(2,—2,2),0(0,—2,2),夕(2,0,0),

C，(2,-2,0),。'(0,—2,0),,F(l,-2,0)/

则WF=(1,-2,0),CF=(-1,1,1)，丫

__>__>A7?-C7^-3V15

cos<A'F,C'E>=-=；————==———

\A'F\x\C'E\V155

—►—>I'-2A/5

sin>=Jl-cos2<A'F,C'E>=—

(2)

设3为平面A'BF和平面CC'E的夹角

由(1)得加=(2,0,2),WF=(l,-2,0),设平面ABF的法向量近=(/Ji，Zi),则有

曹卷=；，令Q2得空二2,所以苏=(2，1，-2)；

CC=(0,0,2),OE=(-1,14)，设平面CCE的法向量山=(x2fy2tz2)，则有

Lx.o,令匕=1得匕］；，所以<=(1,1,0)；

1%2十十Z2—U(Z2—U

A/-----.、济•芯3V2

cos0=cos<,n>=—r=rr=-u—k

2同x同3V22

又因为ee(0,9,所以6=?，

故平面ABF和平面CC'E的夹角为巴

4

21.(1)

设直线OM的斜率为左式七＞0),直线ON的斜率为七，由题可知，直线MN的斜率不为

0,设MQi，y。。(%2,丫2)，

.P

y=%+2,可得％2-2p——p2=0,

(x2=2py

数学参考答案第3页(共5页)

易知4>0,由韦达定理得X1%2=_p2,yiy2=出曹~=?，则卜也=+名=一：

4Pz4%]#24

(2)

设P（%3，y3），Q（%4,、4），

由题可知，，OM：y~k]X»ION：y=,其中心心=-—

y—k^Xa2^2日工m2_16a2b2胫

联立方程江+乃=1=知=词西'同理"4=淳+16施好，

-a2b2

因为：\0P\2+\0Q\2=蟾+於+/+对=若+(1-孰2+媛+(1-孰2

=2炉+(14

侬+瓷）

a2-b2a2b216a2b2好

=2b2+b2+a2k1+a

a22+16b2k：

a2—b2,a2b2+(32b4)/c?+16a2b2k^

=2b2+■QN--------------------------------------------------------------

a2a2b2+(a4+16b4)蜉+16a2b2抬

a2b2+(32。4)账+16Q2匕2媚

222

=2b+(a-ZJ)a2b2+(“4+16匕4)后+16a2b2左;

因为|OP『+|OQ|2=5为定值，所以上式与心无关，

2

所以当32b4=Q4+162J4,即。2=4炉时，此时+匕2=5,所以Q2=4,b=19

2

所以椭圆的方程为亍+y2=i.

（3）因为也驷5|OM||ON|sin/MON_|OM||ON|

S4OPQ^\OP\\OQ\sinNPOQ|OP||OQ|=1鬻，

2_4_16k彳__„2

由（2）可知，当a2=4,b2=1时,v2vv

%3-1+4好'％-1+4k2，%62~P

2

SAOMNXl%2P+4隹",

SAOPQ%3%481kliW(高

1+4田

故!=l=p=仿当且仅当七=±5寸，等号成立，此时抛物线方程为/=2&y.

22.(1)

+

/(%)=a\nx-x+\na-1fxER,，(x)=三—1=,令f'(x)=0得x=a

当0cx<a时，f'(x)>0,/(x)T；当x>a时，f'(x)<0,/(%)I.

所以/(%)max=/(a)=aIna—a+Ina—1=(a+1)(Ina—1).

令h(a)=(a+l)(lna