寿险精算学课件-生存年金

生存年金本章结构生存年金简介1.

连续生存年金2.

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一年给付H次生存年金4.

离散生存年金生存年金的定义定义所谓生存年金（lifeannuity）是以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保险金的保险类型。生存年金通常出现在生存保险场合比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的系列付款就构成了生存年金。生存年金和确定性年金的区别生存年金支付期数是不确定的，它以被保险人生存为给付条件，被保险人一旦死亡，给付就终止年金确定性年金支付期数是确定的，无论中间发生什么事情，支付时期都不可发生更改生存年金的分类与应用分类连续年金/离散年金定期年金/终身年金非延期年金/延期年金年金在保险中的重要性它是一种常见的保险金支付方式广泛应用在养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。生存年金也是一种常见的保费缴纳方式。被保险人除了可以采用保险合同签订时一次性缴纳所有保费的趸缴方式之外，还可以采用分期缴纳的方式缴纳保费，保费缴纳以被保险人在保费缴纳期间是否生存为缴纳条件，这时保费缴纳方式就是一种生存年金方式。本章结构生存年金简介1.

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离散生存年金连续生存年金的定义连续生存年金定义在被保险人存活的条件下，保险人向其每年连续支付年金的保险种类连续生存年金的种类终身连续生存年金定期连续生存年金连续生存年金精算现值的估计方法综合支付技巧当期支付技巧方法一：综合支付技巧（终身生存）步骤1步骤2步骤3计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的确定性年金的现值以死亡事件发生为考虑线索考虑这个生存赔付发生的概率，计算这个确定性年金现值的期望值相关公式及理解方法二：当期支付技巧（终身生存）步骤1步骤2步骤3计算当期生存给付的现值以生存给付事件发生为考虑线索考虑该次生存赔付发生的概率，计算该年金现值的期望值例4.1假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且计算（30）所购买的连续生存年金的精算现值。例4.1解方法一：综合支付技巧方法二：当期支付技巧方法三：利用寿险与年金的关系连续给付终身生存年金现值变量方差的估计方法一：寿险精算现值表达形式例4.2在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求（1）（2）的标准差（3）超过的概率。例4.2解例4.2解年金精算现值变量方差的计算方法二：用年金精算现值表达方差公式证明例4.3已知，，，求例4.3解方法一：方法二：例4.4某一终身年金产品，每年连续给付生存年金1000元。现在在原来年金给付的基础上，增加死亡即刻给付。假定利息力为5%，求：（1）当死亡赔付定为多少时，该产品赔付现值的方差最小？（2）当方差最小时，该产品的趸缴保费等于多少？例4.4解例4.4解定期连续生存年金定义定期连续生存年金精算现值的估计当期支付技巧综合支付技巧相关公式及理解例4.5已知：求例4.5解连续给付延期生存年金定义:种类延期M年终身连续生存年金延期M年终身定期生存年金适用领域养老金延期生存年金的计算方法一：综合支付技巧方法二：当期支付技巧例4.6在死亡力为0.04，利息力为0.06的场合，计算：例4.6解证明设一现值变量为证明例4.5答案例4.7已知：求：例4.7解延期M年N年定期生存年金定义：计算：本章结构生存年金简介1.

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离散生存年金离散生存年金简介离散生存年金定义所谓离散生存年金是指在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险。离散生存年金与连续生存年金的关系理论基础完全相同连续-积分，离散-求和离散场合要考虑年金期初支付还是期末支付的问题与生存相关联的一次性给付n年定期生存称为生存贴现因子，它具有如下性质延期寿险还可以表现为期初支付终身生存年金的概念期初支付终身生存年金的计算123当期支付技巧综合支付技巧函数变换关系期初支付定期生存年金当期支付技巧综合支付技巧方差的计算方差期初支付终身生存年金期初支付定期生存年金例4.8某人购买了一个3年期定期生存年金，支付方式为年初支付，生存给付金额及各年生存概率如下表所示。假如贴现因子，现值变量为Y，求：(1)此人所得生存年金的现值超过E(Y)的概率。(2)该生存年金现值变量的方差Var(Y)。第k年生存给付金额010.7120.6230.5例4.8解综合支付技巧第k年支付金额年金现值Y发生概率0111223例4.8解延期初付生存年金精算现值估计险种延期M年期初支付终身生存年金延期M年期初支付N定期生存年金精算现值估计延付生存年金精算现值的估计期初支付生存年金称为初付生存年金，期末支付生存年金称为延付生存年金。期末支付终身生存年金期末支付n年定期生存年金期末支付终身生存年金期末支付定期生存年金例4.9已知：计算例4.9解期末支付延期生存年金延期终身延期定期本章结构生存年金简介1.

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离散生存年金年付h次生存年金简介在保险实务中，生存年金常常按月、按季度或半年给付一次，这时称为年付h次的生存年金。一年给付若干次的生存年金给付频率与利息转换频率不同，给付事件的发生概率也涉及分数年龄的存活或死亡概率，这显然增加了生存年金精算现值的厘定难度，但它具有非常重要的实务价值。推导思路寻找与年付年金之间的关系终身生存年金基本定义UDD假定下的推导公式近似公式（实际操作公式）证明证明近似公式例4.10（50）投保半年期初给付的终身生存年金。已知：假定年内死亡服从均匀分布，计算该生存年金的精算现值例4.10解定期生存年金基本定义UDD假定下的推导公式近似公式（实际操作公式）延期生存年金延期终身生存年金（UDD假定）延期定期生存年金（UDD假定）例4.11现年35岁的人预购买如下生存年金，切均于每月月初给付，每次给付1000元，年实质利率为6%，且已知：求下列年金现值：（1）月付终身生存年金（2）延期15年月付终身生存年金（3）15年定期月付终身生存年级例4.11解Woolhouse公式Woolhouse公式是根据欧拉-迈克劳林（Euler-Maclaurin）公式推导出来的不依赖于分数期死亡分布假定的一年多次给付的年金精算现值计算公式。欧拉-迈克劳林公式是欧拉和迈克劳林分别在1735年左右推导出的积分近似计算公式。假设是在区间(a,b)光滑函数（保证高次可导），记为的积分欧拉-迈克劳林推导出能用如下多项式之和近似Woolhouse公式欧拉-迈克劳林还给出了用多项式之和S近似积分值的误差为其中称为伯努利数（BernoulliNumber）为函数的阶导函数为服从零均值的白噪声误差项Woolhouse公式可以通过调节误差项积分的次数，控制用多项式近似积分的精度，比如误差项仅保留一阶导数时，积分的欧拉-迈克劳林近似公式为Woolhouse公式在年金计算场合，年金现值函数记为年金的精算现值为的积分根据欧拉-迈克劳林公式，我们可以用多项式之和S近似Woolhouse公式误差项取一阶导函数则，，所以连续年金精算现值为Woolhouse公式如果如果Woolhouse公式上面两式都是

的近似，有整理得三项式Woolhouse公式如果保留其中两项，就得到两项式Woolhouse公式例4.12证明定期年金和延期年金的三项式Woolhouse公式如下例4.12证明（1）定期年金场合根据欧拉-迈克劳林公式，我们可以用多项式之和S近似误差项取一阶导函数，其中例4.12证明所以如果h=1，